雙重根號化簡

1、雙重根號化簡及根與系數(shù)的關(guān)系一、雙重根號的化簡：對于p+2q,若存在實數(shù)a,b，滿足a+b=p,ab=q,則p±2q=a+b±2ab=a±b(a>b>0)，例如：4+23=3+1典例：化簡：1、5+26 2、7-2103、3+22 4、8-2155、8-43 6、6+42二、韋達定理：1、若一元二次方程中，兩根為，。則，；補充公式2、一般地，對于關(guān)于x的方程x2pxq0（p，q為已知常數(shù)，p24q0），它的兩個根為x1、x2，則x1x2=-p,x1x2=q即：兩根之和等于一次項系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項典例1：寫出下列方程的兩根和與兩根積：三、韋

2、達定理的應用： 應用（1）：已知方程的一個根，求另一個根 。典例2：1、 已知一元二次方程2x2-7x+6=0的一個根是2，則它的另一個根是2、 .已知關(guān)于x的方程x26xp22p50的一個根是2，求方程的另一個根和p的值.應用（2）：已知方程的兩個根，求做方程（根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，把已知的兩個根的和的相反數(shù)做所求方程的一次項系數(shù)，兩根的積做常數(shù)項，而把二次項系數(shù)作為1，這樣，就能作出這個方程。）典例3：已知方程的兩個實數(shù)根是1+2和1-2，則這個方程是應用（3）：不解這個方程，求某些與根有關(guān)的代數(shù)式的值（這些代數(shù)式是方程兩個根的對稱式）。典例4：已知方程x2+2x-1=0的兩根分別

3、是x1,x2,求x12+x22x12+x1x2+x22 1x12+1x22 x1-x2 的值。 應用（4）：求作另一個方程，使它的根與原方程的根有某些特殊關(guān)系。典例5：已知方程x2+5x-2=0,求作一個新的一元二次方程, 使它的根分別是已知方程各根的平方的倒數(shù)。應用（5）：不解方程，判斷方程根的情況。典例6：若k>1,關(guān)于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0的根的情況是( ) A.有一正根和一負根B.有兩個正根 C.有兩個負根 D.沒有實數(shù)根應用(6)：利用給出的條件，確定一個一元二次方程中某些字母系數(shù)的值。（注意驗證：0）典例7：（2013呼和浩特，9，3分）已知

4、、是關(guān)于x 的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足+=-1，求m 的值應用(7)：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可以把所求的兩個數(shù)當作一元二次方程當中的系數(shù)，然后解這個方程，那么方程的兩個根就是這兩個數(shù)。典例8：已知兩個數(shù)的和是20，乘積是23，求這兩個數(shù)。應用（8）：綜合應用：即已知方程兩根時，要同時考慮根的定義和根與系數(shù)的關(guān)系。（2013煙臺）已知實數(shù)a，b分別滿足a26a40，b26b40，且ab，求的值四、跟蹤練習1、已知、是一元二次方程的兩根，則的值是（）A.0 B.2 C. D.42、已知一元二次方程的一個根是2，則另一個根為（）A.2 B.3 C.4 D.

5、83、關(guān)于x的方程x2pxq0的兩根同為負數(shù)，則()Ap0且q0 Bp0且q0Cp0且q0 Dp0且q04.(2014,陜西)若x=2是關(guān)于x的一元二次方程x2ax+a2=0的一個根，則a的值為（）A1或4B1或4C1或4D15、（2014,廣西來賓）已知一元二次方程的兩根分別是2和3，則這個一元二次方程是（）Ax26x+8=0Bx2+2x3=0Cx2x6=0Dx2+x6=06.（2014,攀枝花）若方程的兩實根為、，那么下列說法不正確的是（）A.B. C. D.7、（2014,萊蕪）若關(guān)于x的方程x2+（k2）x+k2=0的兩根互為倒數(shù)，則k=8、（2014,江西）若是方程的兩個實數(shù)根，則_

6、.9、已知關(guān)于x的方程x2pxq0的兩個根是0和3，則p=_， q=_10、孔明同學在解一元二次方程x23xc0時，正確解得x11，x22，則c的值為_11已知方程x26x50的兩根為a，b，則的值是_12、.已知關(guān)于x的方程x22xm2+m20的一個根是2，求方程的另一個根和m的值.13、（2014山東省煙臺市，8，3分）關(guān)于x的方程的兩個根的平方和5是，求a的值14、已知，關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根、滿足，求實數(shù)的值.15、已知方程x2+3x+m=0的兩根之差為5,求m的值.16、如果m,n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2-m=3,n2-n=3,求代數(shù)式2n2-mn+2m+2015的值。17、已知：a2+2a-1=0,b4-2b2-1=0且1-ab20,求()2004的值。18、已知關(guān)于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m為何值時,方程的兩個根一個大于0,另一個小于0;(2)m為何值時,方程的兩個根都是正數(shù);(3)m為何值時,方程的兩個根一個大于1，一個根小于1。19、（1）已知方程x2-x-6=0的兩個根是、，求2+2（2）已知方程x2-2(k+1