計(jì)算行列式的若干基本方法

1、第1講 計(jì)算行列式的若干基本方法計(jì)算行列式并無(wú)固定的方法其實(shí)，同一個(gè)行列式可以有多種不同的方法進(jìn)行計(jì)算因此，除了掌握好行列式的基本性質(zhì)外，針對(duì)行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ拍茌^快地酸楚行列式這一講，我們將介紹一些常用的方法1 化為已經(jīng)熟悉的行列式來(lái)計(jì)算我們已經(jīng)知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如，的行列式的結(jié)果如果利用行列式的性質(zhì)可把給定的行列式化為以上這些形式，則不難求出所給行列式的值為了敘述簡(jiǎn)便，仍用記號(hào)表示互換行列式的第i行（列）與第j行（列）；用表示將行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用表示將第i行（列）乘以非零的數(shù)c例1 計(jì)算行列式解 這是一個(gè)階數(shù)不高的數(shù)值行列

2、式，通常將它化為上（下）三角行列式來(lái)計(jì)算例2 計(jì)算n階行列式解 這個(gè)行列式每一列的元素，除了主對(duì)角線上的外，都是相同的，且各列的結(jié)構(gòu)相似，因此n列之和全同將第2，3，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1例3 計(jì)算階行列式其中解 這個(gè)行列式的每一行元素的形狀都是，0，1，2，n即按降冪排列，按升冪排列，且次數(shù)之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，則D可化為一個(gè)轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即2 降階法當(dāng)一個(gè)行列式的某一行（列）的元素有比較多0時(shí)，利用行列式的依行（列）展開(kāi)定理將它化為較低階的行列式來(lái)計(jì)算例4 計(jì)算n（n2）階行列式解 按第一行展開(kāi)，得再將上式等號(hào)右邊的

3、第二個(gè)行列式按第一列展開(kāi)，則可得到3 拆項(xiàng)法拆項(xiàng)法是將給定的行列式的某一行（列）的元素都寫(xiě)成同樣多的和，然后利用性質(zhì)6將它表成一些比較容易計(jì)算的行列式的和例5 計(jì)算n（n2）階行列式解 將按第一列拆成兩個(gè)行列式的和，即再將上式等號(hào)右端的第一個(gè)行列式第i列（，3，n）減去第一列的i倍；第二個(gè)行列式提出第一列的公因子，則可得到當(dāng)n3時(shí)，當(dāng)時(shí)，例6 計(jì)算n階行列式，（）解 將第一行的元素都表成兩項(xiàng)的和，使變成兩個(gè)行列式的和，即將等號(hào)右端的第一個(gè)行列式按第一行展開(kāi)，得： 這里是一個(gè)與有相同結(jié)構(gòu)的階行列式；將第二個(gè)行列式的第一行加到其余各行，得：于是有 （1）另一方面，如果將的第一行元素用另一方式表成兩

4、項(xiàng)之和：仿上可得： （2）將（1）式兩邊乘以，（2）式兩邊乘以，然后相減以消去，得：4 加邊法在給定的行列式中添上一行和一列，得加邊行列式，建立新的行列式與原行列式的聯(lián)系，以求得結(jié)果例7 計(jì)算n（n2）階行列式，其中解 先將添上一行一列，變成下面的階行列式：顯然，將的第一行乘以后加到其余各行，得因，將上面這個(gè)行列式第一列加第i（，）列的倍，得：故5 遞推法遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)，將給定的行列式表成若干個(gè)具有相同形狀以及一些容易計(jì)算的，但階數(shù)較低的行列式之和，然后利用這種關(guān)系式計(jì)算原行列式的值，最后再用數(shù)學(xué)歸納法證明所得到的結(jié)果正確這是一種頗常使用的方法，在計(jì)算范德蒙行列

5、式時(shí)已建立過(guò)遞推關(guān)系式，本講的例6也利用了遞推關(guān)系式使用遞推法計(jì)算行列式，一般分三個(gè)步驟，首先找出遞推關(guān)系式，然后算出結(jié)果，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)果正確例8 計(jì)算n階行列式解 首先建立遞推關(guān)系式按第一列展開(kāi)，得：這里與有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是的行列式現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計(jì)算結(jié)果對(duì)此，只需反復(fù)進(jìn)行代換，得：因，故最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的當(dāng)時(shí)，顯然成立設(shè)對(duì)階的情形結(jié)果正確，往證對(duì)n階的情形也正確由可知，對(duì)n階的行列式結(jié)果也成立根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù)n，結(jié)論成立例9 證明n階行列式證明 按第一列展開(kāi)，得其中，等號(hào)右邊的第一個(gè)行列式是與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作；第二個(gè)行列式，若將它按第一列展開(kāi)就得到一個(gè)也與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作這樣，就有遞推關(guān)系式：因?yàn)橐褜⒃辛惺降慕Y(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)