任意角的三角函數(shù)公開課教案

1、.任意角的三角函數(shù)（第一課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義（包括定義域、正負(fù)符號(hào)判斷）；了解任意角的余切、正割、余割函數(shù)的定義. 2經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過度到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程，體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程. 領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系的工具功能，豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn). 3培養(yǎng)學(xué)生通過現(xiàn)象看本質(zhì)的唯物主義認(rèn)識(shí)論觀點(diǎn)，滲透事物相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義世界觀. 4培養(yǎng)學(xué)生求真務(wù)實(shí)、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度. 一、 重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義、定義域、（正負(fù)）符號(hào)判斷法. 難點(diǎn)：把三角函數(shù)理解為以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù). 關(guān)鍵：如何想到建立直角坐標(biāo)系

2、；六個(gè)比值的確定性（ 確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著的變化而變化）. 二、 教學(xué)過程執(zhí)教線索：回想再認(rèn)：函數(shù)的概念、銳角三角函數(shù)定義（銳角三角形邊角關(guān)系）問題情境：能推廣到任意角嗎.它山之石：建立直角坐標(biāo)系（為何.）優(yōu)化認(rèn)知：用直角坐標(biāo)系研究銳角三角函數(shù)探索發(fā)展：對(duì)任意角研究六個(gè)比值（與角之間的關(guān)系：確定性、依賴性，滿足函數(shù)定義嗎.）自主定義：任意角三角函數(shù)定義登高望遠(yuǎn)：三角函數(shù)的要素分析（對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域與正負(fù)符號(hào)判定）例題與練習(xí)回顧小結(jié)布置作業(yè) （一）復(fù)習(xí)引入、回想再認(rèn)開門見山，面對(duì)全體學(xué)生提問： 在初中我們初步學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，前幾節(jié)課，我們把銳角推廣到了任意角，學(xué)習(xí)了

3、角度制和弧度制，這節(jié)課該研究什么呢.探索任意角的三角函數(shù)（板書課題），請(qǐng)同學(xué)們回想，再明確一下：（情景1）什么叫函數(shù).或者說函數(shù)是怎樣定義的.讓學(xué)生回想后再點(diǎn)名回答，投影顯示規(guī)范的定義，教師根據(jù)回答情況進(jìn)行修正、強(qiáng)調(diào)：傳統(tǒng)定義：設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量，自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域.現(xiàn)代定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù) f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱映射：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：y= f（x），xA ，其

4、中x叫自變量,自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域. （情景2）我們?cè)诔踔型ㄟ^銳角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切等三個(gè)三角函數(shù). 請(qǐng)回想：這三個(gè)三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的.對(duì)邊鄰邊sin=，con=，tan=（圖1）引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景（情景3）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎.試試看，可以獨(dú)立思考和探索，也可以互相討論！留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對(duì)學(xué)困生作啟發(fā)引導(dǎo). 能推廣嗎.怎樣推廣.針對(duì)剛才的問題點(diǎn)名讓學(xué)生回答. 用角的對(duì)邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于前面已經(jīng)以直角坐標(biāo)系為工具來研究任意角了，學(xué)生一般會(huì)

5、想到（否則教師進(jìn)行提示）繼續(xù)用直角坐標(biāo)系來研究任意角的三角函數(shù). 教師對(duì)學(xué)生回答情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)后布置任務(wù)情景：請(qǐng)同學(xué)們用直角坐標(biāo)系重新研究銳角三角函數(shù)定義！把銳角安裝（如何安裝.角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合）在直角坐標(biāo)系中，在角終邊上任取一點(diǎn)P，作PMx軸于M，構(gòu)造一個(gè)RtOMP，則 MOP=（銳角），設(shè)P（x,y）（x0、y0），的臨邊OM =x、對(duì)邊MP=y，斜邊長(zhǎng)|OP=r.根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角的正弦、余弦、正切三個(gè)比值，并補(bǔ)充對(duì)應(yīng)列出三個(gè)倒數(shù)比值：xOMP(x,y)ysin=，con=，tan= = = =（圖2）（情景4）各個(gè)比值與角之間有怎樣的關(guān)

6、系.比值是角的函數(shù)嗎.追問：銳角大小發(fā)生變化時(shí)，比值會(huì)改變嗎.先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動(dòng)畫演示，同時(shí)作好解釋說明：保持r不變，讓P繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)即在銳角范圍內(nèi)變化，六個(gè)比值 隨之變化的直觀形象。結(jié)論是：比值隨的變化而變化. xOMPy（圖3）PM引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識(shí)，探索發(fā)現(xiàn)： 對(duì)于銳角的每一個(gè)確定值，六個(gè)比值都是確定的，不會(huì)隨P在終邊上的移動(dòng)而變化. 得出結(jié)論(強(qiáng)調(diào))：當(dāng)為銳角時(shí)，六個(gè)比值隨的變化而變化；但對(duì)于銳角的每一個(gè)確定值，六個(gè)比值都是確定的，不會(huì)隨P在終邊上的移動(dòng)而變化. 所以，六個(gè)比值分別是以角為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù). （三）分析歸納、自主

7、定義（情境5）能將銳角的比值情形推廣到任意角嗎水到渠成，師生共同進(jìn)行探索和推廣：對(duì)于一個(gè)任意角，它的終邊所在位置包括下列兩類共八種情形（投影展示并作分析）：終邊分別在四個(gè)象限的情形： 終邊分別在四個(gè)半軸上的情形：P(x,y)yxOyxP(x,y)O角終邊P(x,y)yxOP(x,y)yxO（圖4）P(x,y)yxOP(x,y)yxOP(x,y)yxOP(x,y)yxO（圖5）；（指出：不畫出角的方向，表明角具有任意性）怎樣刻畫任意角的三角函數(shù)呢.研究它的六個(gè)比值：（板書）設(shè)是一個(gè)任意角，在終邊上除原點(diǎn)外任意取一點(diǎn)P（x，y），P與原點(diǎn)O之間的距離記作r（r=0），列出六個(gè)比值：=k+/2時(shí)，x

8、=0，比值 y/x、r/x 無意義；= k時(shí)，y=0，比值x /y、r /y無意義.追問：大小發(fā)生變化時(shí)，比值會(huì)改變嗎.先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動(dòng)畫演示，同時(shí)作好解釋說明：使r保持不變，P繞原點(diǎn)O逆時(shí)針、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即角變化，六個(gè)比值隨之改變的直觀形象。結(jié)論是：各比值隨的變化而變化. 再引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形知識(shí)，探索發(fā)現(xiàn)： 對(duì)于任意角的每一個(gè)確定值，六個(gè)比值都是確定的，不會(huì)隨P在終邊上的移動(dòng)而變化. 綜上得到（強(qiáng)調(diào)）：當(dāng)角變化時(shí)，六個(gè)比值隨之變化；對(duì)于確定的角， 六個(gè)比值（如果存在的話）都不會(huì)隨P在角終邊上的改變而改變，六個(gè)比值是確定的(對(duì)應(yīng)的多值性即誘導(dǎo)公式一留到下節(jié)課分

9、析). 因此，六個(gè)比值分別是以角為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).根據(jù)歷史上的規(guī)定，對(duì)比值進(jìn)行命名，指出英文記法和讀法，記作（承前作復(fù)合板書）：=sin（正弦） =cos（余弦） =tan（正切） =csc（余割） =sec（正弦） =cot（余切） 教師強(qiáng)調(diào)：sin表示sin與的乘積嗎.不是，sin是函數(shù)記號(hào)，是一個(gè)整體,相當(dāng)于函數(shù)記號(hào)f（x）. 其它幾個(gè)三角函數(shù)也如此投影顯示圖六，指導(dǎo)學(xué)生分析其對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)其函數(shù)內(nèi)涵：yr正弦xr余弦yx正切ry余割rx正割xy余切（圖六）指導(dǎo)學(xué)生識(shí)記六個(gè)比值及函數(shù)名稱. 教師指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個(gè)函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，三角函數(shù)有

10、非常豐富的知識(shí)和思想方法，我們以后主要學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切三個(gè)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)和方法，對(duì)于余切、正割、余割，只要同學(xué)們了解它們的定義就夠了（遵循大綱要求）. 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析理解：已知角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于每一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，把它看成一個(gè)弧度數(shù)，就對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)角，從而分別對(duì)應(yīng)著六個(gè)唯一的三角函數(shù)值. 因此，（板書）三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，這將為以后的應(yīng)用帶來很多方便. （四） 探索定義域（情景6）（1）函數(shù)概念的三要素是什么.函數(shù)三要素：對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域. 正弦函數(shù)sin的對(duì)應(yīng)法則是什么.正弦函數(shù)sin的對(duì)應(yīng)法則，實(shí)質(zhì)上就是sin的定義：對(duì)的每一

11、個(gè)確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對(duì)應(yīng)，即 y/r= sin.(2)布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域.請(qǐng)求出六個(gè)三角函數(shù)的定義域，填寫下表：三角函數(shù)sincostancotcscsec定義域引導(dǎo)學(xué)生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角的取值范圍. 關(guān)于sin=y/r、cos=x/r，對(duì)于任意角（弧度數(shù)），r0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實(shí)數(shù)集R. 對(duì)于tan=y/x，= k+/2 時(shí)x=0，y/x無意義，tan的定義域是：|R，且k+/2 . 教師指出: sin、cos、tan的定義域必須緊

12、扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟，cot、csc、sec的定義域不要求記憶. （關(guān)于值域，到后面再學(xué)習(xí)）.（五）符號(hào)判斷、形象識(shí)記（情景7）能判斷三角函數(shù)值的正、負(fù)嗎.試試看！引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，r0,三角函數(shù)值的符號(hào)決定于x、y值的正負(fù)，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識(shí)記口訣：yxyxyx（同好得正、異號(hào)得負(fù)）sin= y/r：上正下負(fù)橫為0 cos=x/r：左負(fù)右正縱為0 tan=y/x：交叉正負(fù)練習(xí)鞏固、理解記憶1、 自學(xué) 例1：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（2，-3），求的六個(gè)三角函數(shù)值. 要求：讀完題目，思考：計(jì)算什么需要準(zhǔn)備什么閉目心算，對(duì)照解答，模仿書面表達(dá)格式，鞏固定義.

13、 課堂練習(xí)：p19題1：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-3，-1），求的六個(gè)三角函數(shù)值. 要求心算，并提問中下學(xué)生檢驗(yàn)，- -點(diǎn)評(píng)：角終邊上有無窮多個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，只要知道終邊上任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以計(jì)算這個(gè)角的三角函數(shù)值（或判斷其無意義）. 補(bǔ)充例題：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x，-3），cos=4/5，求的其它五個(gè)三角函數(shù)值. 師生探索：已知y=-3，要求其它五個(gè)三角函數(shù)值，須知r=.，x=.根據(jù)定義得=（方程思想）， x0，解得x=4，從而- -.解答略.2、 自學(xué) 例2：求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值：(1) 0；(2)/2 ；(3) 3/2.提問，據(jù)反饋信息作點(diǎn)評(píng)、修正. 師生探索：緊扣三角函數(shù)定義求解，首先要在終邊上取定一點(diǎn)。終邊在哪兒呢.取定哪一點(diǎn)呢.任意點(diǎn)、還是特殊點(diǎn).要靈活，只要能夠算出三角函數(shù)值，都可以。取特殊點(diǎn)能使計(jì)算更簡(jiǎn)明。課堂練習(xí)：p19題2.（改編）填表：角（角度）090180270360角（弧度）sincostan處理：要求取點(diǎn)用定義求解，針對(duì)計(jì)算過程提問、點(diǎn)評(píng)，理解鞏固定義. 強(qiáng)調(diào)：終邊在坐標(biāo)軸上的角叫軸線角，如0、/2 、3/2 等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值. （六） 回顧小結(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)要求全體學(xué)生根據(jù)教師所提問題進(jìn)行總結(jié)識(shí)記，提問檢