高二數(shù)學(xué)典型例題分析 不等式的證明

1、不等式的證明典型例題 【例1】 已知a，b，cR+，求證：a3+b3+c33abc【分析】 用求差比較法證明證明：a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)a2+b2+c2-ab-bc-caa，b，cR+，a+b+c0(c-a)20即 a3+b3+c3-3abc0，a3+b3+c33abc【例2】 已知a，bR+，nN，求證：(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)【分析】 用求差比較法證明證明：左-右=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=ab

2、n+anb-an+1-bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(bn-an)(a-b)(*)當(dāng)ab0時(shí)，bn-an0，a-b0，(*)0；當(dāng)ba0時(shí)，bn-an0，a-b0，(*)0；當(dāng)a=b0時(shí)，bn-an=0，a-b=0，(*)=0綜上所述，有(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)0即 (a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)【說(shuō)明】 在求差比較的三個(gè)步驟中，“變形”是關(guān)鍵，常用的變形手段有配方、因式分解等，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式【例3】 已知a，bR+，求證aabbabba【分析】 采用求商比較法證明證明：a，bR+，abba0綜上所述，

3、當(dāng)a0，b0，必有aabbabba【說(shuō)明】 商值比較法的理論依據(jù)是：【例4】 已知a、b、c是不全等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc【分析】 采用綜合法證明，利用性質(zhì)a2+b22ab證明：b2+c22bc，a0，a(b2+c2)2abc同理b(c2+a2)2abcc(a2+b2)2abca，b，c不全相等，中至少有一個(gè)式子不能取“=”號(hào)+，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc【例5】 已知a，b，cR+，求證：(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc；【分析】 用綜合法證明，注意構(gòu)造定理所需條件證明：(1

4、)ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)16abc因此，當(dāng)a，b，cR+，有(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc【說(shuō)明】 用均值定理證明不等式時(shí)，一要注意定理適用的條件，二要為運(yùn)用定理對(duì)式子作適當(dāng)變形，把式子分成若干分，對(duì)每部分運(yùn)用均值定理后，再把它們相加或相乘【分析】 采用分析法證明(*)ac，bc，a+b2c，(*)式成立原不等式成立用充分條件代替前面的不等式【例7】 若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：證明二：(綜合法)a，b，cR+，abc成立上式兩邊同取常用對(duì)數(shù)，得【說(shuō)明】 分析

5、法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面在證法一中，前面是分析法，后面是綜合法，兩種方法結(jié)合使用，使問(wèn)題較易解決分析法的證明過(guò)程恰恰是綜合法的分析、思考過(guò)程，綜合法的證明方法是分析思考過(guò)程的逆推【例8】 已知a2，求證loga(a-1)loga(a+1)1【分析】 兩個(gè)對(duì)數(shù)的積不好處理，而兩個(gè)同底對(duì)數(shù)的和卻易于處理因?yàn)槲覀兛梢韵劝颜鏀?shù)相乘再取對(duì)數(shù)，從而將兩個(gè)對(duì)數(shù)合二為一，平均值不等式恰好有和積轉(zhuǎn)化功能可供利用證明：a2，loga(a-1)0，loga(a+1)0又loga(a-1)loga(a+1)loga(a-1)loga(a+1)1【說(shuō)明】 上式證明如果從loga(a-1)loga(a+1)入手，得

6、loga(a-1)二為一了另外，在上述證明過(guò)程中，用較大的logaa2代替較小的loga(a2-1)，并用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連結(jié)，從而得出證明這種方法通常叫做“放縮法”同樣，也可以用較小的數(shù)代替較大的數(shù)，并用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連結(jié)【例9】 已知：a，b，c都是小于1的正數(shù)；【分析】 采用反證法證明其證明思路是否定結(jié)論從而導(dǎo)出與已知或定理的矛盾從而證明假設(shè)不成立，而原命題成立對(duì)題中“至少a，b，c都是小于1的正數(shù)，故與上式矛盾，假設(shè)不成立，原命題正確【說(shuō)明】 反證法是利用互為逆否命題具有等價(jià)性的思想進(jìn)行推證的反證法必須羅列各種與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，則反證都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、

7、“唯一”等字句的命題常用反證法|a|1【說(shuō)明】 換元法是將較為復(fù)雜的不等式利用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想轉(zhuǎn)換成易證明的不等式常用的換元法有(1)，若|x|1，可設(shè)x=sin，R；(2)若x2+y2=1，可設(shè)x=sin，y=cos；(3)若x2+y21，可設(shè)x=【例11】 已知a1、a2、an，b1、b2、bn為任意實(shí)數(shù)，求證明：構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)它一定非負(fù)，因它可化為(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+(anx-bn)20，(當(dāng)a1，a2，an都為0時(shí)，所構(gòu)造式子非二次函數(shù)，但此時(shí)原不等式顯然成立)【說(shuō)明】上例是用判別式法證明的“柯西不等式”，它可寫為：變量分別取|a+b|，|a|、|b|時(shí)就得到要證的

8、三個(gè)式子因此，可考慮從函數(shù)f（x2）f（x1），f（x）在0，+）上是增函數(shù)取x1=|a+b|，x2=|a|+|b|，顯然0x1x2f（|a+b|）f（|a|+|b|）【說(shuō)明】這里是利用構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合放縮法來(lái)證明不等式的應(yīng)注意的是，所給函數(shù)的單調(diào)整性應(yīng)予以論證【例13】已知a，b，m，nR，且a2+b2=1，m2+n2=1，求證：|am+bn|1證法一：（比較法）證法二：（分析法）a，b，m，nR，上式成立，因此原不等式成立證法三：（綜合法）a，b，m，nR，（|a|-|m|）20，（|b|-|n|）20即a2+m22|am|，b2+n22|bn|a2+m2+b2+n22（|

9、am|+|bn|）a2+b2=1，m2+n2=1，|am|+|bn|1|am+bn|am|+|bn|1證法四：（換元法）由已知，可設(shè)a=sin，b=cos，m=sin，n=cos于是|am+bn|=|sinsin+coscos|=|cos（-）|1【說(shuō)明】一個(gè)不等式的證明方法往往不只一種，要注意依據(jù)題目特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ā纠?4】已知f（x）=x2-x+c，且|x-a|1，（a，b，cR）求證：|f（x）-f（a）|2（|a|+1）【分析】絕對(duì)值不等式的證明充分利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)：證明：|f（x）f（a）|=|x2-x+c-a2+a-c|=|（x+a）（x-a）-（x-a）|=|x-a|x+