高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和的類型及方法例題解析兩課時(shí)新人教A版必修5

1、數(shù)列求和的類型及方法一、分組求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例：Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2n-1)解法：按n為奇偶數(shù)進(jìn)行分組，連續(xù)兩項(xiàng)為一組。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-2n+1) =2+(-2n+1) =-n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-2n+3)+(2n+1) =2-n (n為奇數(shù))n （n為偶數(shù)） =nSn=練習(xí)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時(shí)， （分組求和

2、）當(dāng)時(shí)，二、錯(cuò)位相減這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列2nbn的前n項(xiàng)和，其中 2n 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例：求數(shù)列2,222,323,424,n2n, 的前n項(xiàng)和。解： Sn=2+222+323+424+ n2n2Sn= 22+2 23+3 24+n2n+1(1-2) Sn=2+ 22+ 23+2n- n2n+1=練習(xí)：求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減） 三、倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)之和(或“系數(shù)” 之和)等于首末兩項(xiàng)之和（或等于首末

3、兩項(xiàng)“系數(shù)” 之和）， 那么就可以把正著寫的和與倒著寫的和的兩個(gè)和式相加，從而可求出數(shù)列的前n和例8 已知函數(shù)，數(shù)列中，求數(shù)列的前n項(xiàng)和 解： =，+，設(shè)把上式右邊倒序得：兩式相加得+ +=，四、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：例：求數(shù)列，的前n項(xiàng)和S解：=） Sn= = =例4 求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：因?yàn)?，所以=()+()+()+()=例5 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：由已知得，所以 ，即 當(dāng)n2時(shí), =2n-1所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為因?yàn)樗裕?解析：要先觀察通項(xiàng)類型，在裂項(xiàng)求和，而且要注意剩下首尾兩項(xiàng)，還是剩下象上例中的四項(xiàng)，后面還很可能和極限、求參數(shù)的最大小值聯(lián)系。五、通項(xiàng)分析法通過對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行分析、整理，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)列求和的