概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章習(xí)題解答

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上概率論與數(shù)量統(tǒng)計(jì)第一章習(xí)題解答 1、寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：（1） 記錄一個班 一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（設(shè)以百分制記分）。（2）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（3）對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的產(chǎn)品記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出了2件次品就停止檢查，或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。（4）在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。解：（1） 設(shè)該班有n人，則該班總成績的可能值是0，1，2，100n。 故隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間S=i/n|i=0,1,2,100n。（2）隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間S=10,11,12,。（3）以0表示

2、檢查到一個次品，1表示檢查到一個正品，則隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間S=00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111。（4）隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間S=（x,y）|x2+y2<1。2、設(shè)A，B，C為三個事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：（1）A發(fā)生，B 與C都不發(fā)生。（2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生。（3）A，B，C中至少有一個發(fā)生。（4）A，B，C都發(fā)生。（5）A，B，C都不發(fā)生。（6）A，B，C中不多于一個發(fā)生。（7）A，B，C中不多于兩個發(fā)生。（8）A，B，C中至少有兩個發(fā)生。解：（1）A （2）AB （3）ABC （4）

3、ABC（5） （6）ABC（7）S-ABC （8）ABCABACBC3、（1）設(shè)A，B，C為三個事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一個發(fā)生的概率。（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求AB，ABC，C，C的概率。（3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求 P（A），（ii）若P（AB）=1/8，求P（A）。解：（1）因?yàn)镻（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（ABC）=P（A）+P(B

4、)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。（2）P（AB）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,P（）=1-P（AB）= 4/15,P（ABC）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/60，P()=1- P（ABC）=3/20,P(C)=P（）- P()=7/60，P(C)=P（）+ P(C)- P(C)=4/15+1/5-7/60=7/20。（3）（i）因?yàn)锳，B互不相容，所以AB=，P（AB）=0。故

5、 P（A）=P（A）-P（AB）=1/2。（ii）P（A）= P（A）-P（AB）=1/2-1/8=3/8。4、設(shè)A，B為兩個事件。（1）已知A=B，驗(yàn)證A=B。（2）驗(yàn)證事件A和事件B恰有一個發(fā)生的概率為P（A）+P（B）-2P（AB）。證明：（1）A=A（B）=ABA=ABB=（A）B=B。（2）因?yàn)锳B =，所以P（AB）= P（A）+ P（B）- P（AB）= P（A）+ P（B）=P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）。5、10 片藥片中有5 片是安慰劑。（1）從中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰劑的概率。（2）從中每次取一片，作不放回抽樣，

6、求前3次都取到安慰劑的概率。解：（1）p=1-/-/。（2）p=/。6、在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀(jì)念章，任選3人記錄其紀(jì)念章的號碼。（1）求最小號碼為5的概率。（2）求最大號碼為5的概率。解：（1）從10人中任選3人的選法有種。要求最小號碼為5，即有一個人的號碼是5，其他兩人的號碼都在6到10之間。故共有種不同的選法。故最小號碼為5的概率p=/。（2）同理最大號碼為5的概率p=/。7、某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、紅漆3桶，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落，交貨人隨意將這些油漆發(fā)給顧客。問一個訂貨為4桶白漆、3桶黑漆和2桶紅漆的顧客，能按所訂顏色如數(shù)得到訂貨的概率

7、是多少？解：p=/。8、在1500件產(chǎn)品中有400 件次品、1100件正品。任取200件。（1）求恰有90件次品的概率。（2）求至少有2件次品的概率。解：（1）恰有90件次品的概率p=/。（2）至少有2件次品的概率p=1- /-/。9、從5雙不同的鞋子中任取4只。問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？解： 設(shè)A為事件“這4只鞋子中沒有配成一雙”，則事件“這4只鞋子中至少有兩只配成一雙”是。從10只鞋子中任取4只有種取法，事件A的取法可以有10（第一只的取法）×8（第二只的取法，和第一只一雙的那一只也不能取了）×6（第三只的取法）×4（第一只的取法）。故P（

8、A）=16/。P（）=1-P（A）=1-16/。10、在11張卡片上分別寫上probability這11個字母，從中任意連抽7張，求其排列結(jié)果為ability的概率。解： 從11個字母中選取7個字母有種選法。由于b和i各有兩個，故排列ability共有4種不同的選法。因此排列結(jié)果為ability的概率p=4/。11、將3只球隨機(jī)地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率。解： 杯子中球的最大個數(shù)為1的概率p=/43。杯子中球的最大個數(shù)為2的概率p=1-/43-/43。杯子中球的最大個數(shù)為3的概率p=/43。12、50只鉚釘隨機(jī)地取來用在10個部件上，其中有3只鉚釘強(qiáng)度太弱。

9、每個部件用3只鉚釘。若將3只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強(qiáng)度就太弱。問發(fā)生一個部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？ 解：一個部件強(qiáng)度太弱的事件相當(dāng)于從50只鉚釘中隨機(jī)地選出的3只鉚釘恰好都是強(qiáng)度太弱的且裝在了同一個部件上。故p=/。或p=/。13、一個俱樂部有5名一年級學(xué)生，2名二年級學(xué)生，3名三年級學(xué)生，2名四年級學(xué)生。（1）在其中任選4名學(xué)生，求一、二、三、四年級的學(xué)生各一名的概率。（2）在其中任選5名學(xué)生，求一、二、三、四年級的學(xué)生均包含在內(nèi)的概率。解：（1）在其中任選4名學(xué)生，求一、二、三、四年級的學(xué)生各一名的概率=/。（2）設(shè)事件A為“一年級有2名學(xué)生，其他年級各有一名”，事件B

10、為“二年級有2名學(xué)生，其他年級各有一名”，事件C為“三年級有2名學(xué)生，其他年級各有一名”，事件D為“四年級有2名學(xué)生，其他年級各有一名”，。則A，B，C，D兩兩不相容，且P（A）=/，P（B）=/，P（C）=/，P（D）=/，所以在其中任選5名學(xué)生，一、二、三、四年級的學(xué)生均包含在內(nèi)的概率=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=240/。14、（1）已知P（）=0.3，P（B）=0.4，P（A）=0.5，求條件概率P（B|A）。（2）已知P（A）=1/4，P（BA）=1/3，P（AB）=1/2，求P（AB）。解：（1）因?yàn)镻（B|A）=P（B（A）/P（A），P（A）=P（A）+P（）-P（

11、A）=1- P（）+1- P（B）-0.5=0.8，P（B（A）=P（AB）=P(A)-P（A）=0.7-0.5=0.2，所以P（B|A）=0.25。（2）因?yàn)镻（BA）=P（AB）/P（A），所以P（AB）=1/12。又因?yàn)镻（AB）=P（AB）/P（B），所以P（B）=1/6。故P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=1/3。15、擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）。16、據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P孩子得病=0.6，P母親得病|孩子得病=0.5，P父親得病|母親及孩子得病=0.4，求母親及孩子得病但父親未得病

12、的概率。解：設(shè)事件A為“孩子得病”，事件B為“母親得病”，事件C為“父親得病”，則要求的概率為P（AB）。由已知，P（A）=0.6，P（B|A）=0.5，P（C|AB）=0.4，所以P（AB）=P（AB）P（|AB）=P（A）P（B|A）1- P（C|AB）=0.6×0.5×0.6=0.18。17、已知在10件產(chǎn)品中有2件次品，在其中取兩次，每次任取一件，作不放回抽樣。求下列事件的概率。（1）兩件都是正品。（2）兩件都是次品。（3）一件是正品，一件是次品。（4）第二次取出的是次品。解： 設(shè)事件A為“第一件是正品”，事件B為“第二件是正品”，則（1）兩件都是正品的概率P（AB

13、）=/（或=P（A）P（B|A）=4/5×7/9）。（2）兩件都是次品的概率P（）=/（或=P（）P（|）=1/5×1/9）。（3）一件是正品，一件是次品的概率P（AB）=P（A）P（|A）+P（）P（B|）=4/5×2/9+1/5×8/9。（4）第二次取出的是次品的概率P（）=P（A）+P（）=P（A）P（|A）+P（）P（|）=4/5×2/9+1/5×1/9。18、某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?，求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率。若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，則此概率是多少？解： 設(shè)A表示事件“第一次撥通所需

14、電話”，B表示事件“第二次撥通所需電話”，C表示事件“第三次撥通所需電話”，D表示事件“撥號不超過三次接通所需電話”。則D=ABC，所以P（D）=P（A）+P（B）+P（C）= P（A）+P（）P（B|）+ P（）P（C|）= P（A）+P（）P（B|）+ P（）P（|）P（C|）=1/10+9/10×1/9+9/10×8/9×1/8。當(dāng)已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)時，則P（D）=1/5+4/5×1/4+4/5×3/4×1/3。19、（1）設(shè)甲袋中裝有n只白球、m只紅球；乙袋中裝有N只白球、M只紅球。今從甲袋中任意取一只球放入袋中，再從乙袋

15、中任意取一只球。問取到白球的概率是多少？（2）第一只盒子裝有4只白球、5只紅球；第二只盒子裝有5只白球、4只紅球。先從第一個盒子中任取2只球放入第二個盒子中，然后從第二個盒子中任取一只球。求取到白球的概率。解：（1）設(shè)A表示事件“從甲袋中取到的是紅球”，B表示事件“從乙袋中取到的是白球”。則P（B）=P（AB）+P（B）=+P（C）= P（A）P（B|A）+P（）P（B|）=m/(m+n)×N/(M+N+1)+ n/(m+n)×(N+1)/(M+N+1)。（2）設(shè)A表示事件“從第一個盒子中取到0個紅球”，B表示事件“從第一個盒子中取到1個紅球”，C表示事件“從第一個盒子中取

16、到2個紅球”，D表示事件“從第二個盒子中取到白球”。則P（D）=P（AD）+P（BD）+P（CD）=P（A）P（D|A）+ P（B）P（D|B）+ P（C）P（D|C）=/×/+/×/+/×/。20、某種產(chǎn)品的商標(biāo)是“MAXAM”，其中有2 個字母脫落，有人撿起隨意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。解： 設(shè)A1，A2，A3，A4，A5分別為事件“脫落M、M”，“脫落A、A”，“脫落M、A”，“脫落M、X”，“脫落A、X”，。D為事件“放回后仍為MAXAM”。因?yàn)镻（A1）= P（A2）=/，P（A3）=/，P（A4）=/，P（A5）=/，P（D|A1）= P（

17、D|A2）=1, P（D|A3）= P（D|A4）= P（D|A5）=1/2，所以P（D）=。21、已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？ 解： 設(shè)A表示事件“選出的是男性”，H表示事件“選出的人是色盲患者”。則已知條件P（A）=1/2，P（）=1/2，P（H|A）=0.05，P（H|）=0.0025。由貝葉期公式可得P（A|H）=P（H|A）P（A）/P（H|A）P（A）+ P（H|）P（）。22、一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第

18、一次不及格則第二次及格的概率為p/2。（1） 若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：設(shè)事件A表示“第1次考試及格”，事件B表示“第2次考試及格”，事件C表示“他能取得某種資格”。由已知條件可知，P（A）=p，P（B|A）=p，P（B|）=p/2。（1）因?yàn)镃=AB，所以P（C）=P（A）+P（B）=P（A）+P（）P（B|）=p+(1-p)p/2。（2）P（A|B）=P(AB)/P(B)=P(B|A)P(A)/ P(B|A)P(A)+ P(B|)P()=p2/p2+(1-p)p/2=2p/(p+1)。23、將兩信息分別

19、編碼為A和B傳送出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率是0.02，而B被誤收作A的概率是0.01。信息A 與信息B傳送的頻繁程度為2：1。若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？解：設(shè)A表示事件“將信息A傳送出去產(chǎn)”，B表示事件“接收站收到的信息是A”。則由已知，P（A）=2/3，P（|A）=0.02，P（B|）=0.01。則P（A|B）=P(AB)/P(B)=P(A)P(B|A)/P(A)P(B|A)+P()P(B|)=2/3×0.98/2/3×0.98+1/3×0.01。24、有兩箱同種類的零件，第一箱裝50只，其中10只一等品；第二箱裝30只，其

20、中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。26、病樹的主人外出。委托鄰居澆水，設(shè)已知如果不澆水，樹死去的概率是0.8。若澆水則樹死去的概率是0.15。有0.9的把握確定鄰居會記得澆水。（1）求主人回來樹還活著的概率。（2）若主人回來樹已死去，求鄰居忘記澆水的概率。27、設(shè)本題涉及的事件均有意義。沒A，B都是事件。（1）已知P（A）>0，證明P（AB|A）P（AB|AB）。（2）若P（A|B）=1，證明P（|）=1。（3）若設(shè)C也是

21、事件，且有P（A|C）P（B|C），P（A|）P（B|），證明P（A）P（B）。28、有兩種花籽，發(fā)芽率分別為0.8，0.9，從中各取一顆，設(shè)各花籽是否發(fā)芽相互獨(dú)立。求（1）這兩顆花籽都能發(fā)芽的概率。（2）至少有一顆能發(fā)芽的概率。（3）恰有一顆能發(fā)芽的概率。29、根據(jù)報(bào)道美國人血型的分布近似地為：A型為37%，O型為44%，B型為13%，AB型0 6%。夫妻擁有的血型是相互獨(dú)立的。（1）B型的人只有輸入B、O兩種血型才安全。若妻為B型，夫?yàn)楹畏N血型未知，求夫是妻的安全輸血者的概率。（2）隨機(jī)地取一對夫婦，求妻為B型夫?yàn)锳型的概率。（3）隨機(jī)地取一對夫婦，求其中一人為A型，另一人為B型的概率。（

22、4）隨機(jī)地取一對夫婦，求其中至少有一人是O型的概率。30、（1）給出事件A、B的例子，使得（i）P（A|B）<P（A）。（ii）P（A|B）=P（A）。（iii）P（A|B）>P（A）。（2）設(shè)事件A，B，C相互獨(dú)立，證明（i）C與AB相互獨(dú)立。（ii）C與AB相互獨(dú)立。（3）設(shè)事件A的概率P（A）=0，證明對于任意另一事件B，有A，B相互獨(dú)立。（4）證明事件A，B相互獨(dú)立的充要條件是P（A|B）= P（A|）。31、設(shè)事件A，B的概率均大于零，說明以下的敘述（1）必然對。 （2）必然錯。（3）可能對。并說明理由。（1）若A與B互不相容，則它們相互獨(dú)立。（2）若A與B相互獨(dú)立，則它

23、們互不相容。（3）P（A）=P（B）=0.6，且它們互不相容。（4）P（A）=P（B）=0.6，且它們相互獨(dú)立。32、有一種檢驗(yàn)艾滋病毒的方法，其結(jié)果有概率0.005報(bào)導(dǎo)為假陽性（即不帶艾滋病毒的人被認(rèn)為帶艾滋病毒）。今有140名不帶艾滋病毒的正常人全部接受此種檢驗(yàn)，被報(bào)道至少有一人帶艾滋病毒的概率為多少？33、盒中有編號為1，2，3，4的4只球，隨機(jī)地自盒中取一只球，事件A為“取得的是1號或2號球”，事件B為“取得的是1號或3號球”，事件C為“取得的是1號或4號球”。驗(yàn)證：P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），但P（ABC）P（A）P（B）P（C），即事件A，B，C兩兩獨(dú)立，但A，B，C不是相互獨(dú)立的。35、如果一危險(xiǎn)情況C發(fā)生時，一電路閉合并發(fā)出警報(bào)，我們可以借用兩個或多個開關(guān)并聯(lián)以改善可靠性。在C發(fā)生時這些開關(guān)每一個都 應(yīng)完全，且若至少一個開關(guān)閉合了，警報(bào)就發(fā)出，如果兩個這樣的開關(guān)并聯(lián)連接，它們每個具有0.96的可靠性（