2012年高考真題匯編——理科數(shù)學(xué)（解析版）14：推理與證明

1、2012高考真題分類匯編：推理與證明1.【2012高考真題江西理6】觀察下列各式：則A28 B76 C123 D199【答案】C【命題立意】本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式?！窘馕觥康仁接颐娴臄?shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列1,3,4,7,11，數(shù)列的前兩項(xiàng)相加后面的項(xiàng)，即，所以可推出，選C.2.【2012高考真題全國(guó)卷理12】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AEBF.動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線喜愛(ài)那個(gè)F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的方向的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（A）16（B）14（C）12(D)10 【答案】B【解析】結(jié)合

2、已知中的點(diǎn)E,F的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過(guò)程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點(diǎn)時(shí)，需要碰撞14次即可.3.【2012高考真題湖北理10】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑. “開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑的一個(gè)近似公式. 人們還用過(guò)一些類似的近似公式. 根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是11. B C D【答案】D【解析】4.【2012高考真題陜西理11】 觀察下列不等式，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為 .【答案】.【解析】通過(guò)觀察易知第五個(gè)不等式為.5.【2012高考真題湖南理1

3、6】設(shè)N=2n（nN*，n2），將N個(gè)數(shù)x1,x2,，xN依次放入編號(hào)為1,2，N的N個(gè)位置，得到排列P0=x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前和后個(gè)位置，得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到；當(dāng)2in-2時(shí)，將Pi分成2i段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時(shí)，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置.（1）當(dāng)N=16時(shí)，x7位于P2中的第_個(gè)位置；（2）當(dāng)N=2n（n8）時(shí)，x173位于P4中的第_個(gè)位置.【答案】（1

4、）6；（2）【解析】（1）當(dāng)N=16時(shí),可設(shè)為,即為,即, x7位于P2中的第6個(gè)位置,；（2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第個(gè)位置.【點(diǎn)評(píng)】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問(wèn)題.6.【2012高考真題湖北理13】回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22，121，3443，94249等顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，993位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，191，202，999則（）4位回文數(shù)有 個(gè)；（）位回文數(shù)有 個(gè)【答案】90，【解析】（）4位回文數(shù)只用排列前面

5、兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（19）種情況，第二位有10（09）種情況，所以4位回文數(shù)有種。答案：90 （）法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)。2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，所以個(gè)數(shù)為. 法二、可以看出2位數(shù)有9個(gè)回文數(shù)，3位數(shù)90個(gè)回文數(shù)。計(jì)算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對(duì)的“00,11,22,99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個(gè)按此規(guī)律推導(dǎo),而當(dāng)奇數(shù)位時(shí)，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加09這十個(gè)數(shù)，因此,則答案為

6、.7.【2012高考真題北京理20】（本小題共13分）【答案】解：（1）由題意可知，（2）先用反證法證明：若則，同理可知，由題目所有數(shù)和為即與題目條件矛盾易知當(dāng)時(shí)，存在的最大值為1（3）的最大值為.首先構(gòu)造滿足的：，.經(jīng)計(jì)算知，中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1，所有元素之和為0，且，.下面證明是最大值. 若不然，則存在一個(gè)數(shù)表，使得.由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)1的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超過(guò)2，故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間中. 由于，故的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于.設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對(duì)稱性不妨設(shè)，則. 另外，由對(duì)稱

7、性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù).考慮的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過(guò)個(gè)正數(shù)和不少于個(gè)負(fù)數(shù)，每個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)1（即每個(gè)正數(shù)均不超過(guò)1），每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值不小于（即每個(gè)負(fù)數(shù)均不超過(guò)）. 因此，故的第一行行和的絕對(duì)值小于，與假設(shè)矛盾. 因此的最大值為。8.【2012高考真題湖北理】（本小題滿分14分）（）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且. 求的最小值；（）試用（）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)，為正有理數(shù). 若，則；（）請(qǐng)將（）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式.【答案】（），令，解得.當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，所以在內(nèi)是增函數(shù).故

8、函數(shù)在處取得最小值. （）由（）知，當(dāng)時(shí)，有，即 若，中有一個(gè)為0，則成立；若，均不為0，又，可得，于是在中令，可得，即，亦即.綜上，對(duì)，為正有理數(shù)且，總有. （）（）中命題的推廣形式為：設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù). 若，則. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，有，成立. （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即若為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù)，且，則. 當(dāng)時(shí)，已知為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù)，且，此時(shí)，即，于是=.因，由歸納假設(shè)可得，從而. 又因，由得，從而.故當(dāng)時(shí)，成立.由（1）（2）可知，對(duì)一切正整數(shù)，所推廣的命題成立. 說(shuō)明：（）中如果推廣形式中指出式對(duì)成立，則后續(xù)證明中不需討論的情況.9.【2012高考真題福建理17】（本小題滿分13分）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18&