初三數(shù)學競賽數(shù)與式

1、競賽考題分類匯編（一）數(shù)與式1.設(shè) r4，a11rr+1，b11rr+1，c1r( r+ r+1)，則下列各式一定成立的是。A、abc B、bcaC、cabD、cba2.設(shè) a,b 是不相等的任意正數(shù),又,則有 x,y 這兩個數(shù)一定( )21bxa+=21ayb+=A.都不大于 2B. .都小于 2C.至少有一個大于 2D.至少有一個小于 23.設(shè)的平均數(shù)為 M，的平均數(shù)為 N，N，的平均數(shù)為 P，若，則 M 與 P 的大小關(guān)系是（ ） 。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不確定。4.不超過 100 的自然數(shù)中，將凡是 3 或 5 的倍數(shù)的數(shù)相加，其和為。5.若 x1，x2，x3，x4

2、，x5為互不相等的正奇數(shù)，滿足(2005x1)(2005x2)(2005x3)(2005x4)(2005x5)242，則2222212345x +x +x +x +x的未位數(shù)字是。6.a、b、c 為正整數(shù)，且 a2b3c4，求 c 的最小值。7.已知：，那么_。8.若aaa20062005，則22005a=_9.已知a，b，c 為整數(shù)，且ab=2006，ca=2005若ab，則abc 的最大值為 10.已知 0aba，選 D解法 2：a11111rrr r，b11111111rrrrr rr rrr c1r( r+ r+1) 4,111111111 110111,111110111,:,Drr

3、 rr rrrr rr rrrr rrrr rr rrrabr rrrrrrrrr rrr rrrrrrbcabc 故又故綜上所述選解法 3：r4111rr1111111111abrrrrrrc111111rrrrbrrrrr abc，選 D3.M，N，P，MP，即 MP0，即MP。4.不超過 100 的自然數(shù)中，將凡是 3 或 5 的倍數(shù)的數(shù)相加，其和為。解：(3132333)(5152520)(151152156)1683105031524185.解：因為 x1，x2，x3，x4，x5為互不相等的正奇數(shù)，所以(2005x1)、(2005x2)、(2005x3)、(2005x4)、(2005

4、x5)為互不相等的偶數(shù)而將 242分解為 5 個互不相等的偶數(shù)之積，只有唯一的形式：2422(-2)46(-6)所以(2005x1)、(2005x2)、(2005x3)、(2005x4)、(2005x5)分別等于 2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005x1)2(2005x2)2(2005x3) 2(2005x4) 2(2005x5) 222(-2) 24262(-6) 296展開得： 22222212345123455 2005 -4010 x +x +x +x +x+ x +x +x +x +x962222221234512345x +x +x +x +x =96-5 2005 +40

5、10 x +x +x +x +x1 mod10A，選6.設(shè) a、b、c 為正整數(shù)，且 a2b3c4，求 c 的最小值。解：顯然 c1.由題設(shè)得：(c2-a)(c2+a)=b3 若取22221,2b bcabccab則由大到小考察 b，使12b b為完全平方數(shù)，易知當 b8 時，c236，則 c=6，從而 a=28。下面說明 c 沒有比 6 更小的正整數(shù)解，列表如下：cc4x3(x3c4)c4-x32161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,34

6、3,512624,617,598,561,500,409,282,113顯然，表中 c4-x3的值均不是完全平方數(shù)。故 c 的最小值為 67.答：，即。10.解：因為 01當a1 時， 14162222aacb=0712)(aa10 分又當ba 時，由，得 141622aac， 542aaac 將兩邊平方，結(jié)合得2222541416)()(aaaaa化簡得 0254082423aaa， 故 0524562)(aaa，解得65a，或4211a 所以，a的取值范圍為a1 且65a，4211a15 分解法二：因為14162222aacb，542aabc，所以222221448454214162)()

7、()(aaaaaaacb，所以 )(12acb 又542aabc，所以b，c為一元二次方程0541222aaxax)( 的兩個不相等實數(shù)根，故05441422)()(aaa，所以a1當a1 時， 14162222aacb=0712)(aa10 分 另外，當ba 時，由式有 0541222aaaaa)(，即 05242 aa 或 056 a，解得，4211a或65a當ca 時，同理可得65a或4211a所以，a的取值范圍為a1 且65a，4211a15 分18.225；設(shè)(ba,)d，且mda ，ndb ，其中nm ，m與n互質(zhì)。于是ba,的最小公倍數(shù)為mnd。依題意有120105mdndmndd，即3()23 5(1)3 5 7(2)mn dmn 又mn，據(jù)式(2)可得1051