第09章梁的應(yīng)力

1、第九章第九章 梁的應(yīng)力梁的應(yīng)力9-1平面彎曲的概念及實(shí)例9-2梁的正應(yīng)力9-3常用截面的慣性矩、平行移軸公式9-4梁的切應(yīng)力（可刪去）9-5梁的強(qiáng)度條件9-6提高梁彎曲強(qiáng)度的主要途徑9-1平面彎曲的概念及實(shí)例平面彎曲的概念及實(shí)例1、彎曲：當(dāng)桿件受到垂直于桿軸線的外力（即橫向力）或力偶作用時(shí)，桿的軸線由直線變成曲線的變形?？v向?qū)ΨQ平面、平面彎曲縱向?qū)ΨQ平面、平面彎曲l l 工程上常見的梁，其橫截面都具有一根對(duì)稱軸y。l 縱向?qū)ΨQ面由對(duì)稱軸和梁的軸線組成的平面。平面彎曲：梁由直線在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)變成曲線的彎曲。9-2梁的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力aPaPPPPa計(jì)算簡圖Q圖M圖PCDAB純彎曲梁段：純彎曲梁

2、段：CD段段橫力彎曲梁段：橫力彎曲梁段：AC、BD段段9-2-19-2-1純彎曲時(shí)的變形現(xiàn)象與假設(shè)純彎曲時(shí)的變形現(xiàn)象與假設(shè)Ozyx縱 向 對(duì) 稱 軸m nbabamndx(a)(b)梁橫截面上的變形規(guī)律：(c )(d )(e )zm中 性 層O中性層yxmmnbabam nmmmmm naayd xd OOO12x（2）在變形前，與梁軸線在變形前，與梁軸線垂直的橫向直線垂直的橫向直線m-m和和n-n變形后仍保持為直線，變形后仍保持為直線，且仍與彎曲后的梁軸線保且仍與彎曲后的梁軸線保持垂直。持垂直。 l（1）縱向線縱向線a-a和和b-b，由直，由直線彎曲為曲線。線彎曲為曲線。l - -內(nèi)凹一側(cè)的

3、縱向線內(nèi)凹一側(cè)的縱向線bb縮短，縮短，- -外凸一側(cè)的縱向線外凸一側(cè)的縱向線aa伸長。伸長。中性層既不伸長也不縮短。中性層既不伸長也不縮短。 純彎曲直梁的受力變形的兩個(gè)假設(shè) ：（1） 平面假設(shè)：認(rèn)為梁的橫截面在彎曲后仍保平面假設(shè)：認(rèn)為梁的橫截面在彎曲后仍保持為平面，且仍與變形后的梁軸線保持垂直。持為平面，且仍與變形后的梁軸線保持垂直。（2）單向受力假設(shè)單向受力假設(shè)(纖維互不擠壓假設(shè))：認(rèn)為梁：認(rèn)為梁的各縱向纖維之間沒有因純彎曲而引起相互擠的各縱向纖維之間沒有因純彎曲而引起相互擠壓作用，則橫截面上各點(diǎn)處的縱向線段均處于壓作用，則橫截面上各點(diǎn)處的縱向線段均處于單向應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)。9-2-2

4、正應(yīng)力公式推導(dǎo)正應(yīng)力公式推導(dǎo)綜合考慮：幾何關(guān)系綜合考慮：幾何關(guān)系 物理關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)靜力學(xué)&幾何方面幾何方面ykydddyx）（(c)(d)(e)zm中性層O中性層yxmmnbabamnmmmnaaOOO12xmmydxd 中性層處曲率半徑中性層處曲率半徑微段梁微段梁dx上上a-a處沿處沿 軸線軸線x方向應(yīng)變?yōu)榉较驊?yīng)變?yōu)?k（1）式表明，梁在純彎曲時(shí)，其縱向纖維的線應(yīng)變與纖）式表明，梁在純彎曲時(shí)，其縱向纖維的線應(yīng)變與纖維距中性層的距離維距中性層的距離y成正比。成正比。 曲率曲率 &物理方面物理方面yxzyM(f)xxEEy該式表明，梁橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)距中性軸的該式表明，梁橫截面

5、上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)距中性軸的距離距離y成正比，而且距中性軸等遠(yuǎn)處的各點(diǎn)正應(yīng)力相等。成正比，而且距中性軸等遠(yuǎn)處的各點(diǎn)正應(yīng)力相等。 若純彎曲梁內(nèi)的應(yīng)力不超過材料若純彎曲梁內(nèi)的應(yīng)力不超過材料的比例極限，且材料的拉伸與壓的比例極限，且材料的拉伸與壓縮彈性模量相同時(shí)縮彈性模量相同時(shí),由胡克定律，由胡克定律，即得即得&靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面zyObazyOzyO中性軸yxzyMMxzyydAdAz(a)(b)(c)(d)(f)(e)(g )Ozyx縱向?qū)ΨQ軸mnbabamndxzm中性層O中性層yxmmnbabamnmmmmmnaaydxdOOO12x0 xF 0NAAAzEFdAydAEEydAS因?yàn)?/p>

6、00zzAcESSydAy A即得到中性軸即得到中性軸(Z軸軸) ，過形心。，過形心。MMzzzAAAzEIMMIEdAyEdAyEdAyM122結(jié)合物理方程：結(jié)合物理方程：zxIMy等直梁在純彎曲條件下橫截面上任一點(diǎn)正應(yīng)力公式為等直梁在純彎曲條件下橫截面上任一點(diǎn)正應(yīng)力公式為: :xxEEy 為梁的橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；為梁的橫截面對(duì)中性軸的慣性矩； zEI為梁的抗彎剛度。為梁的抗彎剛度。 x的符號(hào)確定方法：的符號(hào)確定方法： (1) 將彎矩將彎矩M和坐標(biāo)和坐標(biāo)y的正負(fù)號(hào)同時(shí)代入；的正負(fù)號(hào)同時(shí)代入；(2) 以中性層為界，變形后梁凸出邊的應(yīng)力必為拉應(yīng)力，以中性層為界，變形后梁凸出邊的應(yīng)力必為拉應(yīng)

7、力，而凹入邊的應(yīng)力則為壓應(yīng)力。而凹入邊的應(yīng)力則為壓應(yīng)力。 dAyIAz2zxIyxM)( （2 2）對(duì)于細(xì)長梁即）對(duì)于細(xì)長梁即 ，橫截面上的剪，橫截面上的剪力對(duì)正應(yīng)力分布和最大值的影響一般在力對(duì)正應(yīng)力分布和最大值的影響一般在5 5以內(nèi)，因以內(nèi)，因此橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力此橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,下式亦適用下式亦適用5/hl（1）上式雖由矩形截面梁導(dǎo)出，但也適用于）上式雖由矩形截面梁導(dǎo)出，但也適用于所有截面形狀對(duì)稱于所有截面形狀對(duì)稱于y軸的梁，如工字形、軸的梁，如工字形、T字字形、圓形截面梁等形、圓形截面梁等例 如圖（a）所示的簡支梁為56a號(hào)工字型鋼，截面簡化尺寸如圖（b）所示。若梁上

8、作用有集中力P125kN，試求：（1）不計(jì)自重，該梁危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力；（2）不計(jì)自重，該梁危險(xiǎn)截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)正應(yīng)力。ya12.5166(b)560z(mm)213m3m6m(a)(c)375kN m.MCDPPAByaB1 2 .51 6 6(b )560z(m m )2 1ACDPP3 m3 m6 m(a )(c )3 7 5 k Nm.M解解 （1）首先不考慮梁自重，作出梁的彎矩（）首先不考慮梁自重，作出梁的彎矩（c）l 危險(xiǎn)截面應(yīng)在梁段危險(xiǎn)截面應(yīng)在梁段CD中任一截面。中任一截面。l 利用型鋼表，可查得利用型鋼表，可查得56a號(hào)工字鋼的截面幾何性質(zhì)：號(hào)工字鋼的截面幾何性質(zhì)

9、： yaB1 2 . 51 6 6( b )560z( m m )2 1ACDPP3 m3 m6 m( a )( c )3 7 5 k Nm.MmkNMp3753125max465600cmIz32340zWcm危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力（2）危險(xiǎn)截面上翼緣與腹板交界處）危險(xiǎn)截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)的正點(diǎn)的正應(yīng)力應(yīng)力MPaWMzpp12.1601023401037563maxmaxMPayIMazpa09.148106560010)212560(10375833max9-3常用截面的慣性矩、平行移軸公式常用截面的慣性矩、平行移軸公式 矩形截面的慣性矩矩形截面的慣性矩Iz b

10、/2b/2b/2b/2C Cy ydydyz zy yh/2h/2根據(jù)慣性矩定義有：根據(jù)慣性矩定義有： 3222212hhzAbhIy dAy bdya) 慣性矩慣性矩 圓形截面的慣性矩圓形截面的慣性矩Iz dzyyzczyzAAAPIIIdAzdAydAI22226424dIIPz同理，空心圓截面對(duì)中性軸的慣性矩為同理，空心圓截面對(duì)中性軸的慣性矩為)1 (64244DIIPzD為空心圓截面的外徑，為空心圓截面的外徑，為內(nèi)、外徑的比值。為內(nèi)、外徑的比值。&形心和靜矩形心和靜矩形心形心(Centroids)(Centroids)坐標(biāo)公式：坐標(biāo)公式： AdAyyAzdAzACAC,靜矩又稱面積矩靜

11、矩又稱面積矩 zyAASydASzdACACAAzzdAAyydACAyCAzAzzdASAyydAS則有則有&組合截面的慣性矩計(jì)算組合截面的慣性矩計(jì)算將組合截面將組合截面A A劃分為劃分為n n個(gè)簡單圖形，設(shè)每個(gè)簡單圖形面積個(gè)簡單圖形，設(shè)每個(gè)簡單圖形面積分別為分別為A A1 1、A A2 2、AAn n。根據(jù)慣性矩定義及積分的概念，組合截面根據(jù)慣性矩定義及積分的概念，組合截面A A對(duì)某一軸的慣對(duì)某一軸的慣性矩等于每個(gè)簡單圖形對(duì)同性矩等于每個(gè)簡單圖形對(duì)同一軸的慣性矩之和，即：一軸的慣性矩之和，即：1( )nzziII i慣性矩的組合公式慣性矩的組合公式 &平行移軸定理平行移軸定理zyz z0

12、0yy y0 0dCdA20AdIIzz（1）截面對(duì)任一軸（不通過形心）的慣性矩，等于截面對(duì)）截面對(duì)任一軸（不通過形心）的慣性矩，等于截面對(duì)平行于該軸的形心軸的慣性矩與一附加項(xiàng)之和，該附加項(xiàng)等平行于該軸的形心軸的慣性矩與一附加項(xiàng)之和，該附加項(xiàng)等于截面面積與兩軸距離平方之積。于截面面積與兩軸距離平方之積。（2）該附加項(xiàng)恒為正，則截面對(duì)形心軸的慣性矩最小。）該附加項(xiàng)恒為正，則截面對(duì)形心軸的慣性矩最小。例例計(jì)算圖示計(jì)算圖示T 形截面的形心和過它的形截面的形心和過它的形心形心 z軸的慣性矩。軸的慣性矩。 解：選參考坐標(biāo)系解：選參考坐標(biāo)系ozoz y y 11222221000 10850 1600 1

13、04002600 105730iiCCciCA yA yA yyAAmmz（2 2）計(jì)算截面慣性矩）計(jì)算截面慣性矩3294132942941211000 1001000 100 2777.75 10121200 800800 200 17313.32 101221.1 10zzzzzImmImmIIImm9-4梁的切應(yīng)力梁的切應(yīng)力 （要求）（要求）一般在橫力彎曲時(shí)，梁截面上既有彎矩，一般在橫力彎曲時(shí)，梁截面上既有彎矩，又有剪力。又有剪力。當(dāng)梁的跨度很?。ㄩL高比：當(dāng)梁的跨度很小（長高比：l/h5)l/h|M|MB B| |，|y|ya a|y|yd d|, |, 因此因此 |a a|d d| |

14、（2 2）強(qiáng)度校核。）強(qiáng)度校核。MPammmmNmmIyMzaDa8 .591084. 8)950)(1056. 5(466MPaIyMMPaIyMzcBczbDb6 .333 .28tctcacMPaMPa6 .338 .59max,max,梁的彎曲強(qiáng)度符合要求梁的彎曲強(qiáng)度符合要求 例例 懸臂工字鋼梁懸臂工字鋼梁ABAB，長，長l=1.2m，在自由端有一集中荷載，在自由端有一集中荷載F F，工字鋼的型號(hào)為，工字鋼的型號(hào)為1818號(hào)，已知鋼的許用應(yīng)力號(hào)，已知鋼的許用應(yīng)力=170Mpa=170Mpa，略去梁的自重，略去梁的自重，(1)(1)試計(jì)算集中荷載試計(jì)算集中荷載F F的最的最大許可值。大許

15、可值。(2)(2)若集中荷載為若集中荷載為45 kN45 kN，確定工字鋼的型號(hào)。，確定工字鋼的型號(hào)。解：解：1.1.梁的彎矩圖如圖示，最大彎矩在靠近固梁的彎矩圖如圖示，最大彎矩在靠近固定端處，其絕對(duì)值為：定端處，其絕對(duì)值為：Mmax=Fl=1.2F NmF F的最大許可值為：的最大許可值為： 3max18517026.21026.21.2FNKN由附錄中查得，由附錄中查得，1818號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為WWz z=185=18510103 3mmmm3 3公式：公式： 1.2F(1851.2F(1851010-6-6)(170)(17010106 6) )max z

16、MW(2)(2)最大彎矩值最大彎矩值MMmaxmax=Fl=1.2=Fl=1.24545103=54103=54103Nm103Nm按強(qiáng)度條件計(jì)算所需抗彎截面系數(shù)為：按強(qiáng)度條件計(jì)算所需抗彎截面系數(shù)為： 3356max3181018. 31701054cmmmMPaNmmMWZ 查附錄可知，查附錄可知，22b22b號(hào)工字鋼的抗彎截面模量號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為為325cm325cm3 3 ，所以可選用，所以可選用22b22b號(hào)工字鋼。號(hào)工字鋼。 9-6提高梁彎曲強(qiáng)度的主要途徑提高梁彎曲強(qiáng)度的主要途徑在橫力彎曲中，控制梁強(qiáng)度的主要因素是梁的在橫力彎曲中，控制梁強(qiáng)度的主要因素是梁的最大正應(yīng)力最大正應(yīng)

17、力，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 WMmaxmax最大正應(yīng)力與最大正應(yīng)力與MM成正比，與成正比，與WzWz成反比。成反比。所以提高彎曲強(qiáng)度要從提高所以提高彎曲強(qiáng)度要從提高Wz和降低和降低MM值入手。值入手。（1）合理安排梁的受力情況）合理安排梁的受力情況(支座、荷載支座、荷載)(2)選用合理的截面形狀選用合理的截面形狀如：設(shè)正方形邊長為如：設(shè)正方形邊長為a，矩形的寬度為，矩形的寬度為b，高度為，高度為h,且且b/h=1/3。若兩截面面積相等，即。若兩截面面積相等，即A1=A2,a2=bh.正方形截面的抗彎截面模量為正方形截面的抗彎截面模量為矩形截面的抗彎截面模量為矩形截面的抗彎截面模

18、量為兩者之比為：兩者之比為：6/31aW 6/36/322abhW557. 06363321aaWW 一般地把梁的抗彎截面模量一般地把梁的抗彎截面模量W與其橫截面面積與其橫截面面積A之比作之比作為選定合理截面形狀的一個(gè)指標(biāo)。在為選定合理截面形狀的一個(gè)指標(biāo)。在A不變的條件下，不變的條件下，W愈大愈好。即愈大愈好。即WZ/A越大越合理。對(duì)同樣矩形，有越大越合理。對(duì)同樣矩形，有平放時(shí)：平放時(shí)：豎放時(shí)：豎放時(shí)：bbbhbhAWz167. 0662hhbhhbAWz167. 0662 因?yàn)橐驗(yàn)閔b ，所以，所以豎放比平放有較高的抗彎能力豎放比平放有較高的抗彎能力，更為合理。，更為合理。 常見截面的常見截面的WZ/A 值值 截面截面形狀形狀 0.167h0.125d(0.270.31)h(0.270.31)h0.125D(12)AWzzhzdzhzhzDdDd因此：因此：工程上常采用工字形、圓環(huán)形、箱形等截