方向?qū)?shù)與梯度（課堂PPT）

1、.1方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度實例實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？達較涼快的地點？問題的問題的實質(zhì)實質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行.2

2、一、方向?qū)?shù)的定義一、方向?qū)?shù)的定義 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點P沿某一沿某一方向的變化率問題方向的變化率問題),(yxfz 引射線引射線內(nèi)有定義，自點內(nèi)有定義，自點的某一鄰域的某一鄰域在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一點且上的另一點且為為并設(shè)并設(shè)為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設(shè)設(shè) oyxlP xyP.3 |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且, z 考慮考慮當當 沿著沿著 趨于趨于 時，時，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？是否存在？的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)沿沿方

3、方向向則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點點在在，時時，如如果果此此比比的的極極限限存存趨趨于于沿沿著著當當之之比比值值，兩兩點點間間的的距距離離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量定定義義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( .4記為記為.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點點P沿沿著著x軸軸正正向向0 , 11 e、y軸軸正正向向1 , 02 e的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,；沿著沿著x軸負向、軸負向、y軸負向的方向?qū)?shù)是軸負向的方向?qū)?shù)是 yxff ,.方向?qū)?shù)的幾何意義方向?qū)?shù)的幾何意義 ),(),(lim),

4、(0000000yxfyyxxflyxfx .5 yyyxxx 00過直線過直線 作平行于作平行于 z 軸的平面軸的平面 與曲面與曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲線記為所交的曲線記為 C C上上考考察察在在 對對應(yīng)應(yīng)的的方方向向與與lPP0 ),(),(0000yxfyyxxf 表示表示C 的割線向量的割線向量 的的交交角角的的正正切切值值與與lPP0即即的的斜斜率率關(guān)關(guān)于于lPP0時時當當0 ),(),(0000yxyyxx 即即割線轉(zhuǎn)化為切線割線轉(zhuǎn)化為切線.6上式極限存在就意味著當點上式極限存在就意味著當點),(00yyxx ),(00yx趨于點趨于點 曲線曲線C在點在點 P

5、0 有唯一的切線有唯一的切線它關(guān)于它關(guān)于 方向的斜率方向的斜率l就是方向?qū)?shù)就是方向?qū)?shù)),(00yxlf LCM0TP0PMl.7證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到.8 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) lf ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf cossin例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點點)0 , 1(P處處沿沿從從點點 )0 , 1(P到到點點)1, 2( Q的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).9解解這

6、這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù) lz)4sin(2)4cos( .22 .10解解由方向?qū)?shù)的計算公式知由方向?qū)?shù)的計算公式知 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當當4 時時，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當當45 時時，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達達到到最最小小值值2 ;（3）當當43 和和47 時時，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于

7、0.11推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點，它在空間一點),(zyxP沿著方向沿著方向 L的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf （ 其其中中222)()()(zyx ）設(shè)設(shè)方方向向 L 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z 同同理理：當當函函數(shù)數(shù)在在此此點點可可微微時時，那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點點沿沿任任意意方方向向 L 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，且且有有.coscoscos zfyfxflf .12解解令令, 632),(2

8、22 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos .13PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 故故PPzuyuxunu)coscoscos( .711 .14二、梯度的概念二、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點函數(shù)在點問題問題P定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于

9、每一點一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點DyxP ),(，都可定出一個向量都可定出一個向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yxP的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .設(shè)設(shè)jie sincos 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量，由由方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)公公式式知知.15sin,cos, yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其其中中),(,eyxgradf 當當1),(cos( eyxgradf時時，lf 有最大值有最大值. 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的函數(shù)在某點

10、的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.gradfgradf P.16當當xf 不不為為零零時時，x軸軸到到梯梯度度的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角的的正正切切為為xfyf tan),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx1),(cyxf2),(cyxfPcyxf),(),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為

11、等高線上的法向量等高線等高線.17等高線的畫法等高線的畫法.18例如例如,圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin .19等高線圖舉例等高線圖舉例-2-1012-2-101200.511.52-2-1012-2-1012-2-101222122)2(yxeyxz-2-1012-2-1012這是利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 繪制的曲面及其等高線圖, 帶陰影的等高線圖中, 亮度越大對應(yīng)曲面上點的位置越高等高線圖帶陰影的等高線圖.20梯度與等高線的關(guān)系：梯度與等高線的關(guān)系：向?qū)?shù)向?qū)?shù)的方的方于函數(shù)在這個法線方向于函數(shù)在這個法線方向模等模等高的等高線，而梯度的高的等高線，而梯度

12、的值較值較值較低的等高線指向數(shù)值較低的等高線指向數(shù)從數(shù)從數(shù)線的一個方向相同，且線的一個方向相同，且在這點的法在這點的法高線高線的等的等的梯度的方向與點的梯度的方向與點在點在點函數(shù)函數(shù)cyxfPyxPyxfz ),(),(),(.21此時此時 f ( x , y ) 沿該法線方向的方向?qū)?shù)為沿該法線方向的方向?qū)?shù)為2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf 故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向高線，梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)，這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的導(dǎo)數(shù)，這個法線方向就是

13、方向?qū)?shù)取得最大值的方向。方向。.22梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在空空間間區(qū)區(qū)域域 G 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則對對于于每每一一點點GzyxP ),(，都都可可定定義義一一個個向向量量(梯梯度度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.23類似地類似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的

14、等量面，此函數(shù)在點的等量面，此函數(shù)在點),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與過點過點 P的等量面的等量面czyxf ),(在這點的法線的一在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).24例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)2

15、4()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為 0.25例例5 求函數(shù)求函數(shù))(12222byaxz 沿曲線沿曲線12222 byax在點在點)2,2(ba處處的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)解一解一用方向?qū)?shù)計算公式用方向?qū)?shù)計算公式 即要求出從即要求出從 x 軸正向沿逆時針軸正向沿逆時針轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角在在12222 byax兩邊對兩邊對x 求導(dǎo)求導(dǎo)02222 dxdybyax.26解得解得yaxbdxdy22 abdxdyM 0（切線斜率）（切線斜率）故法線斜率為故法線斜率

16、為ba tan內(nèi)法線方向的方向余弦為內(nèi)法線方向的方向余弦為22cosbab 22cosbaa 而由而由)(12222byaxz 得得222,2byyzaxxz byzaxzMM2,200 .27 coscosyzxzlz )(2()(22222baabbaba )( 2122baab 解二解二用梯度用梯度梯度是這樣一個向量，其方向與取得最大方向梯度是這樣一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大導(dǎo)數(shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值值, 即梯度是函數(shù)在這點增長最快的方向即梯度是函數(shù)在這點增長最快的方向 從等高線的角度來看，從等高線的角度來看，f ( x , y

17、) 在點在點 P 的梯度的梯度 .28方向與過點方向與過點P 的等高線的等高線 f ( x , y ) = C 在這點在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線指向數(shù)值較高的等高線)(1),(2222byaxyxfz 等高線為等高線為f ( x , y ) = C 即即Cbyax 12222212111CCCC 若若橢圓橢圓122221Cbyax 222221Cbyax 大于橢圓大于橢圓因此因此12222 byax在點在點)2,2(ba處的內(nèi)法線恰好是梯度方向處的內(nèi)法線恰好是梯度方向.29故故22)()(|yzxzgradzl

18、z Pbyax424244 )(2122baab 1),(cyxf 2),(cyxf 方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微.30三、小結(jié)三、小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別區(qū)別）2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一個（注意梯度是一個向量向量）3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系.),(最最快快的的方方向向在在這這點點增增長長梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)yxf思考題思考題討論函數(shù)討論函數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？點處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？.31思考題解答思考題解答xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個偏導(dǎo)數(shù)均不存在.沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.32練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點在點)2 , 1(處沿從點處沿從點)2 , 1(到點到點 )32 ,