矩陣的各種運(yùn)算詳解參考模板

1、一、矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算定義1  設(shè)有兩個(gè)矩陣和,矩陣與的和記作, 規(guī)定為注：只有兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行矩陣的加法運(yùn)算. 兩個(gè)同型矩陣的和，即為兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的矩陣.設(shè)矩陣記,稱(chēng)為矩陣的負(fù)矩陣, 顯然有.由此規(guī)定矩陣的減法為.定義2  數(shù)與矩陣A的乘積記作或, 規(guī)定為數(shù)與矩陣的乘積運(yùn)算稱(chēng)為數(shù)乘運(yùn)算.矩陣的加法與矩陣的數(shù)乘兩種運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算. 它滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)律：設(shè)都是同型矩陣，是常數(shù)，則(1) (2) ;(3) (4) (5)  (6) (7) (8) 注：在數(shù)學(xué)中，把滿(mǎn)足上述八條規(guī)律的運(yùn)算稱(chēng)為線(xiàn)性運(yùn)算. 二、矩陣的相乘定義3&

2、#160; 設(shè)矩陣與矩陣的乘積記作, 規(guī)定為1 / 8其中 ，(記號(hào)常讀作左乘或右乘.注: 只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí), 兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行乘法運(yùn)算. 若，則矩陣的元素即為矩陣的第行元素與矩陣的第列對(duì)應(yīng)元素乘積的和. 即.矩陣的乘法滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的)：（1）（2）（3）（4）注: 矩陣的乘法一般不滿(mǎn)足交換律, 即例如, 設(shè)  則  而                  于是

3、 且從上例還可看出: 兩個(gè)非零矩陣相乘, 可能是零矩陣, 故不能從必然推出或此外, 矩陣乘法一般也不滿(mǎn)足消去律,即不能從必然推出 例如, 設(shè)則             但 定義4  如果兩矩陣相乘, 有則稱(chēng)矩陣A與矩陣B可交換.簡(jiǎn)稱(chēng)A與B可換.注：對(duì)于單位矩陣, 容易證明或簡(jiǎn)寫(xiě)成可見(jiàn)單位矩陣在矩陣的乘法中的作用類(lèi)似于數(shù)1.更進(jìn)一步我們有命題1  設(shè)是一個(gè)n階矩陣，則是一個(gè)數(shù)量矩陣的充分必要條件是與任何n階矩陣可換。命題2  設(shè)均為n階矩

4、陣，則下列命題等價(jià)：（1）（2）（3）（4） 三、線(xiàn)性方程組的矩陣表示設(shè)有線(xiàn)性方程組若記則利用矩陣的乘法, 線(xiàn)性方程組(1)可表示為矩陣形式：                     (2)其中矩陣稱(chēng)為線(xiàn)性方程組(1)的系數(shù)矩陣. 方程(2)又稱(chēng)為矩陣方程. 如果是方程組(1)的解, 記列矩陣則，這時(shí)也稱(chēng)是矩陣方程(2)的解; 反之, 如果列矩陣是矩陣方程(2)的解, 即有矩陣等式成立, 則 即也

5、是線(xiàn)性方程組(1)的解. 這樣, 對(duì)線(xiàn)性方程組(1)的討論便等價(jià)于對(duì)矩陣方程(2)的討論. 特別地, 齊次線(xiàn)性方程組可以表示為將線(xiàn)性方程組寫(xiě)成矩陣方程的形式，不僅書(shū)寫(xiě)方便，而且可以把線(xiàn)性方程組的理論與矩陣?yán)碚撀?lián)系起來(lái)，這給線(xiàn)性方程組的討論帶來(lái)很大的便利. 四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義6  把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣, 稱(chēng)為的轉(zhuǎn)置矩陣, 記作(或). 即若則.矩陣的轉(zhuǎn)置滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律(假設(shè)運(yùn)算都是可行的):(1) (2)  (3) (4)  五、方陣的冪定義5  設(shè)方陣, 規(guī)定稱(chēng)為的次冪.方陣的冪滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：

6、0; (1)  (2) 注: 一般地, 為自然數(shù)命題3 設(shè)均為n階矩陣， 則有 為自然數(shù)，反之不成立。 六、方陣的行列式定義7  由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變),稱(chēng)為方陣的行列式,記作或注: 方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念, 階方陣是個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表,而階行列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一個(gè)數(shù)值（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）.方陣的行列式滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)為階方陣, 為常數(shù)):(1) (2) (3) 進(jìn)一步 七、對(duì)稱(chēng)矩陣定義8 設(shè)為階方陣, 如果 即則稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣. 顯然，對(duì)稱(chēng)矩陣的元素關(guān)于主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng). 例如  &

7、#160;          ，均為對(duì)稱(chēng)矩陣.如果則稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣. 八、共軛矩陣定義9  設(shè)為復(fù)（數(shù)）矩陣, 記其中表示的共軛復(fù)數(shù), 稱(chēng)為A的共軛矩陣.共軛矩陣滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)為復(fù)矩陣,為復(fù)數(shù), 且運(yùn)算都是可行的):(1) (2) (3)  例題選講：    矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算例1 (講義例1) 已知, 求例2 (講義例2) 已知 且求注:  n階數(shù)量矩陣=例3 (講義例3) 若 求例4設(shè)，。A是一個(gè)矩陣，B是矩陣，因此AB有意義，B

8、A也有意義；但。例5設(shè)，B=。（這種記法表示主對(duì)角線(xiàn)以外沒(méi)有注明的元素均為零），則（1）；（2）；（3）例6 (講義例4) 某地區(qū)有四個(gè)工廠(chǎng)、,生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品, 矩陣A表示一年中各工廠(chǎng)生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量, 矩陣B表示各種產(chǎn)品的單位價(jià)格(元)及單位利潤(rùn)(元), 矩陣C表示各工廠(chǎng)的總收入及總利潤(rùn).其中,  是第個(gè)工廠(chǎng)生產(chǎn)第種產(chǎn)品的數(shù)量, 及分別是第種產(chǎn)品的單位價(jià)格及單位利潤(rùn), 及分別是第個(gè)工廠(chǎng)生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總收入及總利潤(rùn). 則矩陣的元素之間有下列關(guān)系:其中，即         例7 (講義例5) 求與矩陣  可交換的一切矩陣.例8 (講義例6) 證明: 如果 則有例9 (講義例7) 解矩陣方程  為二階矩陣?yán)?0（1）設(shè)，則。（2）設(shè)，則。 例11 (講義例8) 已知  求