第5課二次根式及其運(yùn)算

1、第6課二次根式及其運(yùn)算 1 1二次根式的概念：二次根式的概念： 式子式子 叫做二次根式叫做二次根式2 2二次根式的性質(zhì)：二次根式的性質(zhì)： (1)( )(1)( )2 2 ； (2) (2) | |a a| | (3) (3) (4) (4) 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理( (a0)0)a( (a0)0)a( (a0)0)0( (a0)0)a( (a0)0)3 3二次根式的運(yùn)算：二次根式的運(yùn)算： (1)(1)二次根式加減法的實(shí)質(zhì)是合并同類根式；二次根式加減法的實(shí)質(zhì)是合并同類根式； (2)(2)二次根式的乘法：二次根式的乘法： ； (3)(3)二次根式的除法：二次根式的除法： 4 4最簡(jiǎn)二次根式：最簡(jiǎn)二次根式

2、： 運(yùn)算結(jié)果中的二次根式，一般都要化成最簡(jiǎn)二次根式運(yùn)算結(jié)果中的二次根式，一般都要化成最簡(jiǎn)二次根式 最簡(jiǎn)二次根式，滿足兩個(gè)條件：最簡(jiǎn)二次根式，滿足兩個(gè)條件： 被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含分母； 被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式( (a00，b0)0)( (a00，b0)0)1 1正確理解二次根式的意義正確理解二次根式的意義 二次根式二次根式 定義中的定義中的“a0”0”是定義的一個(gè)重要組成是定義的一個(gè)重要組成部分，不可以省略，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以當(dāng)部分，不可以省略，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以當(dāng)a00時(shí)，沒(méi)有意義在具體問(wèn)題中，一旦出現(xiàn)了二次根時(shí)，沒(méi)有意義在具

3、體問(wèn)題中，一旦出現(xiàn)了二次根式式 ，就意味著，就意味著a00，這通常作為一個(gè)重要的隱含條，這通常作為一個(gè)重要的隱含條件來(lái)應(yīng)用；被開(kāi)方數(shù)件來(lái)應(yīng)用；被開(kāi)方數(shù)a既可以是具體的數(shù)，也可以是單既可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，如：項(xiàng)式或多項(xiàng)式，如： 、 ( (ab0)0)、 ( (x3)3)都是二次根式都是二次根式 難點(diǎn)正本難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源疑點(diǎn)清源 2 2注意正確的化簡(jiǎn)及二次根式的混合運(yùn)算注意正確的化簡(jiǎn)及二次根式的混合運(yùn)算 實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算與有理數(shù)混合運(yùn)算相似，而二次根式實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算與有理數(shù)混合運(yùn)算相似，而二次根式的混合運(yùn)算則與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之的混合運(yùn)算則與整式、分式的混合運(yùn)算有

4、很多相似之處，處，如：如： 運(yùn)算順序都是先算乘方、開(kāi)方、再算乘除、最運(yùn)算順序都是先算乘方、開(kāi)方、再算乘除、最后算加減，如有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的；后算加減，如有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的； 有理數(shù)、整式、分式運(yùn)算中的運(yùn)算律有理數(shù)、整式、分式運(yùn)算中的運(yùn)算律( (分配律、分配律、結(jié)合律、交換律等結(jié)合律、交換律等) ) 所有的乘法公式所有的乘法公式( (平方差公式、完全平方公式平方差公式、完全平方公式) )在二次根式中的運(yùn)算仍然適用在二次根式中的運(yùn)算仍然適用1 1(2011(2011泉州泉州)()(2)2)2 2的算術(shù)平方根是的算術(shù)平方根是( () ) A. 2 . 2 B2 2 C2 2 D. . 解

5、析：解析： 2.2.2 2(2011(2011廣安廣安) )下列運(yùn)算正確的是下列運(yùn)算正確的是( () ) A( (x1)1)x1 1 B. . C. . 2 2 D( (ab) )2 2a2 2b2 2 解析：因?yàn)榻馕觯阂驗(yàn)?22， 2020，所以，所以 ( ( 2)2) 2 22 2 . .基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)AC3 3(2011(2011泰安泰安) )下列運(yùn)算正確的是下列運(yùn)算正確的是( () ) A. . 5 5 B4 4 1 1 C. . 9 9 D. . 6 6 解析：解析： 6.6.4 4(2011(2011杭州杭州) )下列各式中，正確的是下列各式中，正確的是( () ) A. . 3

6、 3 B 3 3 C. . 3 3 D. . 3 3 解析：因?yàn)榻馕觯阂驗(yàn)?3 3，所以，所以 3.3.DB5 5(2011(2011菏澤菏澤) )實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則則 化簡(jiǎn)后為化簡(jiǎn)后為( () ) A. 7. 7 B7 7 C2 2a1515D無(wú)法確定無(wú)法確定 解析：可知解析：可知5 5a0 0，a11113 3或或k B0 0k3 3 解析：要使等式成立，必須解析：要使等式成立，必須 有有 k k3.3.題型分類題型分類 深度剖析深度剖析D(2)(2)已知已知a、b、c是是ABC的三邊長(zhǎng)，試化簡(jiǎn)：的三邊長(zhǎng)，試化簡(jiǎn)： . . 解：原式解：原式| |a

7、bc| | |abc| | |bca| | |cab| | ( (abc) )( (bca) )( (cab) )( (abc) ) 2 2a2 2b2 2c. .探究提高探究提高 1.1.對(duì)于二次根式，它有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)非負(fù)對(duì)于二次根式，它有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)非負(fù). . 2. 2.注意二次根式性質(zhì)注意二次根式性質(zhì)( )( )2 2a( (a0)0)， | |a| |的區(qū)別，的區(qū)別， 判斷出各式的正負(fù)性，再化簡(jiǎn)判斷出各式的正負(fù)性，再化簡(jiǎn)知能遷移知能遷移1 1(1)(1)( ) )2 2的平方根是的平方根是_，9 9的算術(shù)平的算術(shù)平方根是方根是_，_是是6464的立方根的立方根 解析：解

8、析：( ( ) )2 22,22,2的平方根是的平方根是 ； 3 3； 4.4.3 34 4(2)(2011(2)(2011煙臺(tái)煙臺(tái)) )如果如果 1 12 2a，則，則( () ) Aa B. . a Ca D. . a 解析：由解析：由1 12 2a00，得，得a . .B(3)(3)若化簡(jiǎn)若化簡(jiǎn)|1|1x| | 的結(jié)果為的結(jié)果為2 2x5 5，則，則x的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：|1|1x| | ( (x1)1)(4(4x) )2 2x5 5， |1|1x| |x1010，x11， 且且 4 4x00，x4.4. 1 1x4.4.11x44題型二二次根式的運(yùn)算題型二二次根式的

9、運(yùn)算【例【例2 2】 (1)(1)下列運(yùn)算正確的是下列運(yùn)算正確的是( () ) A2 2 4 4 6 6 B. . 4 4 C. . 3 3 D. . 3 3 解析：解析： 3 3，選，選C. . (2) (2)計(jì)算：計(jì)算： 2 .2 . 解：原式解：原式2 2 . .C(3)(3)計(jì)算：計(jì)算： 解：原式解：原式 1515 6 .6 .探究提高探究提高 1.1.二次根式化簡(jiǎn)，依據(jù)二次根式化簡(jiǎn)，依據(jù) ( (a00，b0)0)， ( (a00，b0)0)，前者將被開(kāi)方數(shù)變形為有，前者將被開(kāi)方數(shù)變形為有m2 2 ( (m為正整數(shù)為正整數(shù)) )因式，后者分子、分母同時(shí)乘一個(gè)適當(dāng)?shù)囊蚴?，后者分子、分母?/p>

10、時(shí)乘一個(gè)適當(dāng)?shù)?數(shù)使分母變形為數(shù)使分母變形為m2 2( (m為正整數(shù)為正整數(shù)) )的形式，即可將其移到的形式，即可將其移到 根號(hào)外根號(hào)外. . 2. 2.二次根式加減，即化簡(jiǎn)之后合并同類二次根式二次根式加減，即化簡(jiǎn)之后合并同類二次根式 3 3二次根式乘除結(jié)果要化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式二次根式乘除結(jié)果要化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式知能遷移知能遷移2 2(1)(2011(1)(2011濰坊濰坊) )下面計(jì)算正確的是下面計(jì)算正確的是( () ) A3 3 3 3 B. . 3 3 C. . D. . 2 2 解析：解析： 3.3.B(2)(2)如圖，數(shù)軸上如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1 1

11、和和 ，點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于 點(diǎn)點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)，則點(diǎn)C所表示的數(shù)為所表示的數(shù)為( () ) A2 2 B1 1 C2 2 D1 1 解析：解析：A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是1 1和和 ， OA| |1|1|1 1，OB| | | ，AB1 1 AC， OCACOA(1(1 ) )1 12 2 . . 點(diǎn)點(diǎn)C所表示的數(shù)為所表示的數(shù)為(2(2 ) )2 2 ，選，選A. . A題型三二次根式混合運(yùn)算題型三二次根式混合運(yùn)算【例【例3 3】 計(jì)算：計(jì)算： (1)(3 (1)(3 1)(11)(13 )3 )(2 (2 1)1)2 2； (2)( (2)( 3)3)20102

12、010( ( 3)3)20102010. . 解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：解：(1)(1)原式原式(3 )(3 )2 21 1(2 )(2 )2 24 4 11 18181 18 84 4 1 21 2分分 8 84 44 4分分 (2) (2)原式原式( ( 3)( 3)( 3)3)2010 2010 22分分 ( )( )2 23 32 2 20102010 (10(109)9)201020101 41 4分分 探究提高探究提高 1.1.二次根式混合運(yùn)算，把若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合在一起，二次根式混合運(yùn)算，把若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合在一起，計(jì)算時(shí)要認(rèn)真

13、仔細(xì)計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì). . 2. 2.可以適當(dāng)改變運(yùn)算順序，使運(yùn)算簡(jiǎn)便可以適當(dāng)改變運(yùn)算順序，使運(yùn)算簡(jiǎn)便知能遷移知能遷移3 3(1) (1) ( )( )0 0 解：原式解：原式3 3 3 3 1 1 1 1(2)(2)(3)3)2 2 ( )( )1 1； 解：原式解：原式9 92 22 29 9(3)(3)已知已知 的整數(shù)部分為的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為，小數(shù)部分為b，求，求a2 2b2 2的的值值 解：解：3 3 4 4， 的整數(shù)部分的整數(shù)部分a3 3，小數(shù)部分，小數(shù)部分b 3.3. a2 2b2 23 32 2( ( 3)3)2 2 9 9(10(106 6 9)9) 10106 .6

14、.題型四二次根式運(yùn)算中的技巧題型四二次根式運(yùn)算中的技巧【例【例4 4】 (1)(1)已知已知x2 2 ，y2 2 ，求：，求：x2 2xyy2 2值；值； (2)(2)已知已知x 3 3，求，求x 的值的值 解：解：(1)(1)x2 2 ，y2 2 ， xy(2(2 ) )(2(2 ) )4 4， xy(2(2 ) )(2(2 ) )1 1， x2 2xyy2 2( (xy) )2 2xy4 42 21 115.15. (2) (2) 4 4( (3)3)2 24 45 5， x . .( ( x ) )2 2( ( x ) )2 2探究提高探究提高 1.1.x2 2xyy2 2是一個(gè)對(duì)稱式，

15、可先求出基本對(duì)稱式是一個(gè)對(duì)稱式，可先求出基本對(duì)稱式xy4 4， xy1 1，然后將，然后將x2 2xyy2 2轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為( (xy) )2 2xy，整體代入即可，整體代入即可. . 2. 2.注意到注意到( (x ) )2 2( (x ) )2 24 4，可得，可得( (x ) )2 25 5， x . .知能遷移知能遷移4 4(1)(1)若若y x3 3，則，則1010 x2 2y的的 平方根為平方根為_(kāi)； 解析：解析：(1) (1) x2 2，y2 23 38 8， 6.6.6 6(2)(2)已知已知a3 32 2 ，b3 32 2 ，求，求a2 2bab2 2的值；的值； 解：解：ab

16、(3(32 )2 )(3(32 )2 )4 4 ， ab(3(32 )(32 )(32 )2 )1111， a2 2bab2 2ab( (ab) )( (11)11)4 4 44 .44 .(3)(3)已知已知x ，y ，求，求 的值；的值； 解：解：x ( ( 1)1)2 23 32 2 ， y ( ( 1)1)2 23 32 2 ， xy6 6，xy4 4 ，xy1.1. 原式原式 . .2 21 12 21 1 2 21 11 1 2 22 21 12 21 1 2 21 12 21 1 (4)(2011(4)(2011內(nèi)江內(nèi)江) )已知已知|6|63 3m| |( (n5)5)2 23

17、 3m6 6 ， 則則mn_._. 解析：由解析：由|6|63 3m| |( (n5)5)2 23 3m6 6 ， 得得|6|63 3m| |( (n5)5)2 2 3 3m6 6， |6|63 3m| |( (n5)5)2 2| |n| | 3 3m6 6， m3 30 0且且n5 50 0， m3 3，n5 5，mn3 35 52.2.2 2答題規(guī)范答題規(guī)范2 2注意二次根式運(yùn)算中隱含條件注意二次根式運(yùn)算中隱含條件考題再現(xiàn)已知：考題再現(xiàn)已知：a ，求，求 的值的值學(xué)生作答解：原式學(xué)生作答解：原式 a1 1 a1 1 . . 當(dāng)當(dāng)a 時(shí)，時(shí)， 原式原式 1 1(2(2 ) )1 12 .2

18、.規(guī)范解答規(guī)范解答 解：解：a 1 1，a1 10.0. | |a1|1|1 1a. . 原式原式 a1 1 . . 當(dāng)當(dāng)a 時(shí)，時(shí)， 原式原式 1 1(2(2 ) )3.3. (1)(1)題目中的隱含條件為題目中的隱含條件為a 1 1，所以，所以 | |a1|1|1 1a，而不是，而不是a1 1； (2)(2)注意挖掘題目中的隱含條件，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵之注意挖掘題目中的隱含條件，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵之一，一，上題中的隱含條件上題中的隱含條件a | |a1|1| 1 1a是進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)的依據(jù)，同學(xué)們應(yīng)注重分析能力是進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)的依據(jù)，同學(xué)們應(yīng)注重分析能力 的培養(yǎng)，提高解題的正確性的培養(yǎng)，提高解題的正確性. . 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法技巧方法技巧1.1.二次根式相加減，必須先化成最簡(jiǎn)二次根式，二次根式相加減，必須先化成最簡(jiǎn)二次根式，才能才能有效地有效地合并同類二次根式合并同類二次根式；二次根式乘除，不必化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次；二次根式乘除，不必化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)橛袝r(shí)在乘除中可直接約分為最簡(jiǎn)二次根式或有根式，因?yàn)橛袝r(shí)在乘除中可直接約分為最簡(jiǎn)二次根式或有理式，即使沒(méi)有約分的情況，一般來(lái)說(shuō)，只需把積理式，即使沒(méi)有約分的情況，一般來(lái)說(shuō)，只需把積( (商商) )進(jìn)進(jìn)行一次化簡(jiǎn)行一次化簡(jiǎn)( (因?yàn)榻Y(jié)果須是最簡(jiǎn)二次根式因?yàn)榻Y(jié)果須是最簡(jiǎn)二次根式) )