第8講函數(shù)與方程

1、第8講 函數(shù)與方程一、選擇題1“a<2”是“函數(shù)f(x)ax3在區(qū)間1,2上存在零點(diǎn)x0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析 當(dāng)a<2時(shí)，函數(shù)f(x)ax3在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，此時(shí)f(1)3a>0，f(2)32a<0，所以函數(shù)f(x)ax3在區(qū)間1,2上存在零點(diǎn)x0；當(dāng)函數(shù)f(x)ax3在區(qū)間1,2上存在零點(diǎn)x0時(shí)，有f(1)f(2)<0，即2a23a9>0，解得a>3或a<.答案 A2下列函數(shù)圖像與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是()解析 能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在含零點(diǎn)的區(qū)間(a，

2、b)內(nèi)連續(xù)，并且有f(a)·f(b)0.A、B、D中函數(shù)不符合答案 C3函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析由條件可知f(1)f(2)<0，即(22a)(41a)<0，即a(a3)<0，解之得0<a<3.答案C4已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0x<2時(shí)，f(x)x3x，則函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()A6 B7 C8 D9 解析當(dāng)0x<2時(shí)，令f(x)x3x0，得x0或x1.根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，由f(x

3、)的最小正周期為2，可知yf(x)在0,6)上有6個(gè)零點(diǎn)，又f(6)f(3×2)f(0)0，f(x)在0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.答案B5函數(shù)f(x)cos x在0，)內(nèi) ()A沒有零點(diǎn) B有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D有無窮多個(gè)零點(diǎn)解析令f(x)0，得cos x，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)y與ycos x的圖象如圖所示，由圖象知，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，從而方程cos x只有一個(gè)解函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)答案B6已知函數(shù)f(x)xexax1，則關(guān)于f(x)零點(diǎn)敘述正確的是()A當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)B函數(shù)f(x)必有一個(gè)零點(diǎn)是正數(shù)C當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

4、D當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)解析f(x)0exa在同一坐標(biāo)系中作出yex與y的圖象，可觀察出A、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確答案B二、填空題7用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_解析 f(x)x33x1是R上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)<0，f(0.5)>0，則f(x)在x(0,0.5)上存在零點(diǎn)，且第二次驗(yàn)證時(shí)需驗(yàn)證f(0.25)的符號(hào)答案 (0,0.5)f(0.25)8函數(shù)f(x)則函數(shù)yff(x)1的所有零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為_解析本題即求方程ff(x)1的所有根的集合，先解方程f

5、(t)1，即或得t2或t.再解方程f(x)2和f(x).即或和或得x3或x和x或x.答案9已知函數(shù)f(x)ex2xa有零點(diǎn)，則a的取值范圍是_解析由原函數(shù)有零點(diǎn)，可將問題轉(zhuǎn)化為方程ex2xa0有解問題，即方程a2xex有解令函數(shù)g(x)2xex，則g(x)2ex，令g(x)0，得xln 2，所以g(x)在(，ln 2)上是增函數(shù)，在(ln 2，)上是減函數(shù)，所以g(x)的最大值為：g(ln 2)2ln 22.因此，a的取值范圍就是函數(shù)g(x)的值域，所以，a(，2ln 22答案(，2ln 2210若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：P、Q都在函數(shù)f(x)的圖象上；P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)(

6、P、Q)是函數(shù)f(x)的一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)(P、Q)與點(diǎn)對(duì)(Q，P)看作同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”)已知函數(shù)f(x)則f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)是_解析設(shè)P(x，y)、Q(x，y)(x>0)為函數(shù)f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”，則y，y2(x)24(x)12x24x1，2x24x10，在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y1、y22x24x1的圖象，y1、y2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以f(x)有2個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”，故填2.答案2三、解答題11設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)0<a<b，且f(a)f(b)時(shí)，求的值；(3)若方程f(x)m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍解

7、(1)如圖所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是減函數(shù)，而在(1，)上是增函數(shù)，由0<a<b且f(a)f(b)，得0<a<1<b，且11，2.(3)由函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)0<m<1時(shí)，方程f(x)m有兩個(gè)不相等的正根12已知函數(shù)f(x)4xm·2x1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)思路分析由題意可知，方程4xm·2x10僅有一個(gè)實(shí)根，再利用換元法求解解析f(x)4xm·2x1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程(2x)2m·2x10僅有一個(gè)實(shí)根設(shè)2xt(t0)，則t2mt10.當(dāng)0時(shí)，即m240，m2

8、時(shí)，t1；m2時(shí)，t1(不合題意，舍去)，2x1，x0符合題意當(dāng)0時(shí)，即m2或m2時(shí)，t2mt10有兩正或兩負(fù)根，即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或沒有零點(diǎn)這種情況不符合題意綜上可知：m2時(shí)，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x0.13已知二次函數(shù)f(x)x216xq3.(1)若函數(shù)在區(qū)間1,1上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；(2)是否存在常數(shù)t(t0)，當(dāng)xt,10時(shí)，f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D，且區(qū)間D的長度為12t(視區(qū)間a，b的長度為ba)解(1)函數(shù)f(x)x216xq3的對(duì)稱軸是x8，f(x)在區(qū)間1,1上是減函數(shù)函數(shù)在區(qū)間1,1上存在零點(diǎn)，則必有即20q12.(2)0t<10，f(x)在區(qū)間0,

9、8上是減函數(shù)，在區(qū)間8,10上是增函數(shù)，且對(duì)稱軸是x8.當(dāng)0t6時(shí)，在區(qū)間t,10上，f(t)最大，f(8)最小，f(t)f(8)12t，即t215t520，解得t，t；當(dāng)6<t8時(shí)，在區(qū)間t,10上，f(10)最大，f(8)最小，f(10)f(8)12t，解得t8；當(dāng)8<t<10時(shí)，在區(qū)間t,10上，f(10)最大，f(t)最小，f(10)f(t)12t，即t217t720，解得t8,9，t9.綜上可知，存在常數(shù)t，8,9滿足條件.14已知函數(shù)f(x)x22exm1，g(x)x(x>0)(1)若g(x)m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根解 (1)法一：g(x)x22e，等號(hào)成立的條件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，則g(x)m就有零點(diǎn)法二：作出g(x)x(x>0)的大致圖象如圖：可知若使g(x)m有零點(diǎn)，則只需m2e.法三：由g(x)m得x2mxe20.此方程有大于零的根，故等價(jià)于，故m2e.(2)若g(x)f(x)0有兩個(gè)相異的實(shí)根，即g(x)與f(x)