2009—2010第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)B1期末考試試題及答案A卷

1、高數(shù)B武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院20092010第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)B1期末考試試題一、（42分）試解下列各題： 1、計算. 2、求解微分方程的通解。 3、計算. 4、計算. 5、求曲線自至一段弧的長度。 6、設(shè)，求. 二、（8分）已知，其中由方程確定，求. 三、（8分）設(shè),，試證明數(shù)列收斂，并求.四、（8分）證明結(jié)論：可導(dǎo)函數(shù)在其導(dǎo)數(shù)為正值的區(qū)間上為單調(diào)增加函數(shù)。并說明此結(jié)論的幾何意義。五、（15分）已知函數(shù)，求： 1、函數(shù)的單調(diào)增加、單調(diào)減少區(qū)間，極大、極小值； 2、函數(shù)圖形的凸性區(qū)間、拐點、漸近線 。六、（12分）已知函數(shù)滿足微分方程，且軸為曲線的一條切線，在曲線（）上某點處作一切線，使之與曲線

2、、軸所圍平面圖形的面積為，試求：（1）曲線的方程；（2）切點的坐標；（3）由上述所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。七、（7分）若在上連續(xù)，且及，則在內(nèi)至少存在一點，使. 高數(shù)B20092010第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)B1期末考試試題參考答案一、 （42分）試解下列各題：1、解：2、解：方程的特征方程為：，其特征根為，故方程的通解為：3、解：原式= 4、解：5、解：6、解： 二、（8分）解： ，方程兩邊微分得： 故有三、（8分）解：, ，因此設(shè)，則單調(diào)增加，且,故存在設(shè)，則: 解得 .因為非負， 四、（8分）證：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)，且，函數(shù)在上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理得: ，由于由的任意性，在上單調(diào)增加。

3、當在上導(dǎo)數(shù)為正時，函數(shù)曲線在上切線的斜率為正，即切線與軸正向夾角為銳角。五、（15分）解：定義域為 令駐點 ，不可導(dǎo)點 1） 故單調(diào)增加區(qū)間為： ，單調(diào)減少區(qū)間為： 極小值為：，無極大值。2）下凸區(qū)間為： ，無拐點，由，故為函數(shù)圖形的鉛直漸近線。 又 故為函數(shù)圖形的斜漸近線。六、（12分）解：（1）由觀察法知曲線方程為：或解微分方程：特征方程為，故對應(yīng)齊次方程的通解為，由于，所以微分方程的特解設(shè)為，從而有：，故為微分方程的通解，又，由題設(shè)知，所以微分方程滿足初值條件的解為，即曲線方程為：（2）設(shè)切點B的坐標為，則過點B的切線斜率為，于是切線方程為，和軸交點為，由，得a=1，因此切點坐標為。（3）七、（7分）證：因為，不妨設(shè)，于是有： 所以存在，使當時，有，由有又