人教版21章一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、21章 一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等號(hào)兩邊是整式，含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必須是一個(gè)整式方程；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2 ；（4）二次項(xiàng)系數(shù)不能等于02、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次三項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。 注意：（1）二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。（2）要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須

2、把它先化為一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)是一元二次方程。二、 一元二次方程的解 使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)時(shí)，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有兩個(gè)根（相等或不等）三、一元二次方程的解法 1、直接開(kāi)平方法:直接開(kāi)平方法理論依據(jù)：平方根的定義。 利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。 根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。三種類型：（1）的解是； （2）的解是； （3）的解是。2、配方法: 配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，

3、并用x代替，則有。 （一）用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：（1） 把一元二次方程化成一般形式（2） 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；（3） 把原方程變?yōu)榈男问?。?） 若，用直接開(kāi)平方法求出的值，若n0，原方程無(wú)解。（二）用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程當(dāng)一元二次方程的形式為時(shí)，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1：方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)； （3）在方程的左、右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半的平方把原方程化為的形式

4、； （4）若，用直接開(kāi)平方法或因式分解法解變形后的方程。3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號(hào)）；（2）求出的值；并判斷方程根的情況；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。因式分解法的理論依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于0，即若pq=0時(shí)，則p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將

5、方程的右邊化為0（即化為一般式）；（2）將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。（3）令每個(gè)因式分別為0，得兩個(gè)一元一次方程。（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點(diǎn)：（1）要將方程右邊化為0（即化為一般式）；（2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法。注意：一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開(kāi)平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時(shí)，再選用公式法，沒(méi)有特殊要求，一般不采用配方法，因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。三、一元二次方程根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”

6、來(lái)表示，即I 當(dāng)>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；II 當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；III 當(dāng)<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式；確定的值；計(jì)算的值；根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況。 根的判別式的逆用 在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件。四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） 如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的

7、一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。五、一元二次方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1） 審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗(yàn)，（6）作答。關(guān)鍵點(diǎn)：找出題中的等量關(guān)系。(1)“審”指讀懂題目、審清題意，明確已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系這一步是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)；(2)“設(shè)”是指設(shè)元，設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元，所謂直接設(shè)元就是問(wèn)什么設(shè)什么，間接設(shè)元雖然所設(shè)未知數(shù)不是我們所要求的，但由于對(duì)列方程有利，因此間接設(shè)元也十分重要恰當(dāng)靈活設(shè)元直接影響著列方程與解方程的難易；(3)“列

8、”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程找出相等關(guān)系列方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)檢驗(yàn) 應(yīng)注意的是一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長(zhǎng)度不能為負(fù)數(shù)，降低率不能大于100%等等因此，解出方程的根后，一定要進(jìn)行檢驗(yàn) （6）作答 知識(shí)點(diǎn)二 用一元二次方程解與增長(zhǎng)率（或降低率）有關(guān)的問(wèn)題 增長(zhǎng)率問(wèn)題的有關(guān)公式：增長(zhǎng)數(shù)（增長(zhǎng)了多少）=基數(shù)×增長(zhǎng)率實(shí)際數(shù)（增長(zhǎng)后的值）=基數(shù)增長(zhǎng)數(shù)增長(zhǎng)率問(wèn)題與降低率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系及表示法：1. 若基數(shù)為a，增長(zhǎng)率為，則一次增長(zhǎng)后的值為，兩次增長(zhǎng)后的值為

9、；2. 若基數(shù)為a，降低率為，則一次降低后的值為，兩次降低后的值為。 兩次增長(zhǎng)后的總和等于基數(shù)+第一次降低后的值+第二次降低后的值知識(shí)點(diǎn)三 用一元二次方程解與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問(wèn)題與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問(wèn)題：如：營(yíng)銷問(wèn)題、水電問(wèn)題、水利問(wèn)題等。與利潤(rùn)相關(guān)的常用關(guān)系式有：（1） 每件利潤(rùn)=銷售價(jià)-成本價(jià)；（2） 利潤(rùn)率=（銷售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%； （3）銷售額=售價(jià)×銷售量知識(shí)點(diǎn)四 數(shù)與數(shù)字的關(guān)系兩位數(shù)=(十位數(shù)字)×10個(gè)位數(shù)字三位數(shù)=(百位數(shù)字)×100(十位數(shù)字)×10個(gè)位數(shù)字連續(xù)的整數(shù)：設(shè)其中一數(shù)為x，另一數(shù)為x+1；（x-1，

10、x，x+1）。連續(xù)的奇數(shù)：設(shè)其中一數(shù)為x，另一數(shù)為x+2；（x-2，x，x+2）。連續(xù)的偶數(shù)：設(shè)其中一數(shù)為x，另一數(shù)為x+2；（x-2，x，x+2）。和一定的兩數(shù)（和為a）：設(shè)其中一數(shù)為x，另一數(shù)為a-x差一定的兩數(shù)（差為a）：設(shè)其中一數(shù)為x，另一數(shù)為x+a積一定的兩數(shù)（積為a）：設(shè)其中一數(shù)為x，另一數(shù)為a/x商一定的兩數(shù)（商為a）：設(shè)其中一數(shù)為x，另一數(shù)為ax（x/a）知識(shí)點(diǎn)五 傳染問(wèn)題：傳染源：1個(gè)【 每一輪1個(gè)可傳染給x個(gè)】【前后輪患者數(shù)的比例為1：（1+x）】患者： 第一輪后：共（1+x）個(gè)第二輪后：共1+ x +（1+x）x =（1+x）（1+x），即（1+x）2個(gè)第三輪后：共（1+

11、x）2 + （1+x）2 x =（1+x）2 （1+x），即（1+x）3個(gè)第n輪后：共（1+x）n個(gè)注意：上面例舉的是傳染源為“1”的情況得到的結(jié)論。若傳染源為a，則第n輪后患者共為：a（1+X）n個(gè)知識(shí)點(diǎn)六 翻一番即表示為原量的2倍，翻兩番即表示為原量的4倍知識(shí)點(diǎn)七 銀行利率應(yīng)用題（含利滾利問(wèn)題）：年利息本金×年利率（年利率為a%）存一年的本息和：本金×（1+年利率） ，即本金×（1+ a%）存兩年的本息和：本金×（1+年利率）2， 即本金×（1+a%）2存三年的本息和：本金×（1+年利率）3， 即本金×（1+a%）3存n

12、年的本息和：本金×（1+年利率）n， 即本金×（1+a%）n知識(shí)點(diǎn)八 幾何類題：等積變形，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，梯子問(wèn)題，航海問(wèn)題，幾何與圖表信息，探索存在問(wèn)題，平分幾何圖形的周長(zhǎng)與面積積問(wèn)題，利用圖形探索規(guī)律最常見(jiàn)的如：求直角三角形的邊。面積S一定，兩直角邊和（和為a）一定：設(shè)其中一邊為x，另一邊為a-x，則x（a-x）=S面積S一定，兩直角邊差（差為a）一定：設(shè)其中一邊為x，另一邊為x+a或（X-a）則x（x+a）=S或x（x-a）=S斜邊c一定，兩直角邊和（和為a）一定：設(shè)其中一邊為x，另一邊為a-x，則x2+（a-x）2=c2斜邊c一定，兩直角邊差（差為a）一定：設(shè)其中一邊

13、為x，另一邊為x+a或x-a則x2+（x+a）2=c2或x2+（x-a）2=c2知識(shí)點(diǎn)九 賽制循環(huán)問(wèn)題：【單循環(huán)比雙循環(huán)少了一半】單循環(huán)：設(shè)參加的球隊(duì)為x，則全部比賽共 x（x-1）場(chǎng)；雙循環(huán)：設(shè)參加的球隊(duì)為x，則全部比賽共x（x-1）場(chǎng)；注：雙循環(huán)公式X(X-1),單循環(huán)公式X(X-1)，其實(shí)也就可以理解為單循環(huán)循環(huán)賽就是和每個(gè)對(duì)手比賽1次（對(duì)手?jǐn)?shù)量=參賽隊(duì)數(shù)量-1），而每場(chǎng)比賽有2隊(duì)參加，就得除以2。雙循環(huán)比賽場(chǎng)次是單循環(huán)的2倍。類似于本題其它題型如：相互握手；鐵路沿線有n個(gè)站點(diǎn)要設(shè)計(jì)多少種車票；一條線段上有n個(gè)點(diǎn)（含兩個(gè)端點(diǎn)），該線段上共有n（n-1）條有向線段，該線段上共有 n（n-1）條線段。一、二次根式的相關(guān)概念1.平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的平方根，其中正的平方根叫做a的算術(shù)平方根。2二次根式：形如的式子叫做二次根式；3.同類二次根式：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方