中考數(shù)學壓軸題破解策略專題角含半角模型

1、專題15角含半角模型破題策略 1 等腰直角三角形角含半角如圖，在ABC中，ABAC，BAC90°，點D，E在BC上且DAE45°（1） BAEADECDA （2）BD2CE2DE2 證明（1）易得ADCBBADEAB，所以BAEADECDA （2）方法一（旋轉(zhuǎn)法）：如圖1，將ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ACF，連結(jié)EF 則EAFEAD45°，AFAD，所以ADEFAE （ SAS ） 所以DE EF 而CFBD，F(xiàn)CEFCAACE90°，所以BD2 CE2CF2CE2EF2DE2 方法二（翻

2、折法）：如圖2，作點B 關(guān)于AD 的對稱點F，連結(jié)AF，DF，EF 因為BADEACDAFEAF，又因為BADDAF，則FAECAE，AFABAC，所以FAECAE（SAS） 所以EF EC 而DFBD， DFEAFD AFE90°，所以BD2 EC2 FD2 EF2 DE2 【拓展】如圖，在 ABC 中，ABAC，BAC90°，點D 在BC 上，點E 在BC 的延長線上，且DAE45°，則BD2CE2DE2 可以通過旋轉(zhuǎn)、翻

3、折的方法來證明，如圖： 將等腰直角三角形變成任意的等腰三角形：如圖，在ABC中，ABAC，點D，E在BC上，且DAEBAC，則以BD，DE，EC為三邊長的三角形有一個內(nèi)角度數(shù)為180°BAC 可以通過旋轉(zhuǎn)、翻折的方法將BD，DE，EC轉(zhuǎn)移到一個三角形中，如圖： 2 正方形角含半角如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF45°，連結(jié)EF，則： （1）EFBEDF;（2）如圖2，過點A作AGEF于點G，則AGAD;（3）如圖3，連結(jié)BD交AE于點H，連結(jié)FH 則FHAE （1）如圖4，將ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ADI證明 則IAFEAF

4、45°，AIAE，所以AEFAIF（SAS），所以EFIFDIDFBEDF （2）因為AEFAIF，AGEF，ADIF，所以AGAD （3）由HAFHDF45°可得A，D，F(xiàn)，H 四點共圓，從而AHF180°ADF90°，即FHAE 【拓展】如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CB，DC 的延長線上，EAF45°，連結(jié)EF，則EFDFBE 可以通過旋轉(zhuǎn)的方法來證明.如圖: 如圖，在一組鄰邊相等、對角互補的四邊形ABCD 中，AB=AD，BAD+C=180 °，點E，F(xiàn)分別在BC、CD上，EAF=BAD，連結(jié)E

5、F，則EF=BE+DF.可以通過旋轉(zhuǎn)的方法來證明.如圖:例題講解例1 如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF45°.（1） 試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.（2） 如圖2，在四邊形ABCD中，BAD90°，ABADBD180°，點E、F分別在BC、CD上，則當EAF 與BAD 滿足關(guān)系時，仍有EFBEFD. （3）如圖3在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD.已知ABAD 80m，B60°，ADC120°，BAD150°，道路BC，CD上分別有景點 E，F(xiàn)，且AEADDF40（1）m現(xiàn)要在E、F

6、之間修一條筆直的道路，求這條道路EF的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）解： （1）由“正方形內(nèi)含半角模型”可得EFBEFD（2）BAD2EAF，理由如下：如圖4，延長CD至點G，使得DGBE連結(jié)AG.易證ABEADG（SAS）.所以AEAG， 即EFBEDFDGDFGF. 從而證得AEFAGF（ SSS）所以EAFGAFEAGBAD. （3）如圖5，將ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)1 50°至ADG連結(jié)AF由題意可得BAE60°所以ABE 和ADG均為等腰直角三角形.過點A作 AHDG于點H則DHAD40m，AH AD40 m.而DF40（1）m.所以EAFGAF45

7、°.可得EAFGAF（SAS） 所以EF GF80m+40（l）m109. 2m. 例2如圖，正方形ABCD的邊長為a，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足MA N45°連結(jié)MC、NC、MN （1）與ABM相似的三角形是，BMDN（用含有a的代數(shù)式表示）； （2）求MCN的度數(shù)； （3）請你猜想線段BM、DN和MN之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解：（1）NDA，. （2）由（1）可得，所以易證CBMNDC45°，所以BCMDNC則BCMDNC，所以MCN =360°一BCD一BCM一DCN 270° （DNC+DCN） 270°

8、;（180°DNC） 135°（3） ，證明如下：如圖，將ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到ABE，連結(jié)EM. 易得AEAN. MAEMAN45°，EBM90°， 所以A MEAMN.（SAS）. 則MEMN 在RtBME中， 所以. 倒3 如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，BCD90°，ABBCAD，DAC45°，E為CD上一點，且BAE45°.若CD4，求ABE的面積.解：如圖1過點A作CB的垂線，交CB的延長線于點F.由DAC=45°，ADC90°，可得ADCD.所以四邊形ADCF為正方

9、形.從而AF FC4令BCm，則AB4m，BF4m在RtAFB中，有16（4m）2一（4m）2所以AB5，BF3如圖2將ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AFG.易證AGHAEB令DEn，則CE4 n，BEBG3n在RtBCE中，有1+（4n）2（3n）2，解得n.所以BG.從而.進階訓練 1.如圖，等邊ABC的邊長為1，D是ABC外一點且BDC120°，BDCD，MDN 60°，求AMN的周長 AMN的周長是2【提示】如圖，延長AC至點E，使得CE BM，連結(jié)DE .先證BMDCED，再證MDNEDN即可.2如圖，在正方形ABCD中，連結(jié)BD，E、F是邊BC，CD上的點，CEF的周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，試判斷線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明解：BM2DN2MN2【提示】由CEF周長是正方形ABCD周長的一半，想到“正方形角含半角”，從而旋轉(zhuǎn)構(gòu)造輔助線解決問題（如圖1），證AEFAGF，得MANBAD4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如圖2）即可證得3如圖，在ABC中，ACB90°，點D在邊AB上，DEBC于點E，且DEBC，點F在邊AC上，連結(jié)BF交DE于點G，若DBF45