矩陣的初等變換與線性方程組

1、第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1教學(xué)目的和要求：（1）了解矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念.（2）理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法.（3）理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件.2教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的秩、線性方程組的解.3教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的初等變換、矩陣的秩的定義及計(jì)算、線性方程組有解的條件及應(yīng)用. 4教學(xué)內(nèi)容：1 矩陣的初等變換本節(jié)介紹矩陣的初等變換，它是求矩陣的逆和矩陣的秩的有利工具。一、矩陣的初等變換在利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式時(shí)，我們對(duì)其行（列）作過(guò)三種變換“初等變換”.定義1 對(duì)

2、矩陣的行(列)施以下述三種變換，稱為矩陣的行(列)初等變換.（1） 行初等變換 ( 列初等變換)（2） ()（3） ()矩陣的行初等變換與列初等變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換. 經(jīng)過(guò)初等變換得到, 記作 定義2 等價(jià)矩陣：若, 稱與等價(jià), 記作 矩陣之間的等價(jià)關(guān)系有下列性質(zhì): (1) 自反性： (2) 對(duì)稱性： (3) 傳遞性：, 二、行階梯形矩陣定義3 在矩陣中可畫(huà)出一條階梯線,線的下方全為0，每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元.若非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0，則稱矩陣

3、為行最簡(jiǎn)形矩陣.例1 設(shè) 解 行最簡(jiǎn)形： 標(biāo)準(zhǔn)形：2 初等矩陣定義4 對(duì)單位矩陣進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣, 稱為初等矩陣 三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣. 1. 2. 3. 設(shè), 性質(zhì)1 , , 由此可得：對(duì)進(jìn)行一次初等行變換, 相當(dāng)于給左乘一個(gè)同類型的初等矩陣.性質(zhì)2 () 由此可得：對(duì)進(jìn)行一次初等列變換, 相當(dāng)于給右乘一個(gè)同類型的初等矩陣. 性質(zhì)3 , , , 定理1 可逆可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積 證 必要性 已知, 則滿秩, 故存在初等矩陣 及, 使得 , 而與都是初等矩陣 充分性 設(shè)，因初等矩陣可逆，有限個(gè)可逆矩陣的乘積仍可逆，故可逆. 定理2 設(shè), 則存在可逆矩陣和, 使得

4、證 必要性 已知, 則存在階初等矩陣和階初等矩陣, 使得, 令 , 則有 充分性 已知, 則由定理1知, 和都可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積, 即 , 故, 也就是 由此可得矩陣求逆方法之二（初等行變換法） （都是初等矩陣） 可見(jiàn) 對(duì)矩陣施行“初等行變換”，當(dāng)前列 （的位置）成為時(shí)，則后列（的位置）為.例2 設(shè) . 用初等變換法求解 所以 例3 設(shè) ，試用初等變換法求解所以 例4 判斷方陣是否可逆.若可逆，求解 因?yàn)椋?，故不可逆，即不存?注 此例說(shuō)明，從用初等變換求逆矩陣的過(guò)程中，即可看出逆矩陣是否存在，而不必先去判斷.例5 解矩陣方程，其中，.解法一 3 矩陣的秩矩陣的秩是一個(gè)很重要的

5、概念，在研究線性方程組的解等方面起著非常重要的作用.一、矩陣的秩的基本概念定義4 在矩陣中任取行列，由位于這些行、列相交處的元素按原來(lái)的次序構(gòu)成的階行列式，稱為的一個(gè)階子式，記作. 共有個(gè).定義5 若矩陣中不等于0的子式的最高階數(shù)是，則稱為矩陣的秩，記作.或者：在中，若(1)有某個(gè)階子式； (2)所有的階子式（如果有階子式）. 稱的秩為, 記作, 或者 規(guī)定：例6 求下列矩陣的秩，解 ，而的所有三階子式（4個(gè)），所以 滿秩.二、矩陣的秩的性質(zhì)及結(jié)論1. ；2. 對(duì)于，有；3. 若，則中至少有一個(gè)，而所有的. 4. 時(shí), 5. 6. 中的一個(gè) 7. 中所有的 8. 9. 10.若, 則注 , 若

6、, 稱為行滿秩矩陣； 若, 稱為列滿秩矩陣 , 若, 稱為滿秩矩陣（可逆矩陣, 非奇異矩陣）； 若, 稱為降秩矩陣（不可逆矩陣, 奇異矩陣）為滿秩方陣 (可逆 為滿秩方陣).定理4 證 只需證明. 設(shè), 僅證行變換之(3)的情形： (1) 若, 則有 不含： 含, 不含： 含, 且含： 故中所有的階子式 于是可得 (2) 若或者, 構(gòu)造矩陣 , 由(1)可得 (其余情形類似可證).三、利用初等變換求矩陣的秩利用定理4可以簡(jiǎn)化求秩的計(jì)算，其常用的方法有：1. 只用初等行變換，可把變成階梯形矩陣.例7 求 其中 解 （階梯形），有此可看出 .2進(jìn)一步，再進(jìn)行列初等變換，可化為標(biāo)準(zhǔn)型.例7中，的特點(diǎn)

7、：左上角為一個(gè)階單位矩陣，其它元素為0.在具體的解題過(guò)程中，如果經(jīng)過(guò)幾次初等變換后即可看出的秩時(shí)，就不必再繼續(xù)將化為階梯形.例8 求 其中 解 至此，易知 (不是階梯矩陣)所以 例9 試分析以下給出的解答的錯(cuò)誤，并給出正確的解答.已知 ， 求錯(cuò)誤解答 即 錯(cuò)誤原因: 沒(méi)有注意到利用來(lái)求時(shí),要使用初等行變換才可以.而在解法中第1、3步卻使用了列變換.正確答案 4 線性方程組的解設(shè)有個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的線性方程組 （1） （1）式可以寫(xiě)成以向量為未知元的向量方程定理5 設(shè), （增廣矩陣） (1) 有解； (2) 有解時(shí), 若, 則有唯一解； 若, 則有無(wú)窮多組解 證明 設(shè), 且的左上角階子式, 則 （行最簡(jiǎn)形） 的同解方程組為 （2） （1）若, 則方程組（2)無(wú)解， （2）若, 則方程組(2)有解， 當(dāng)時(shí), 方程組(2)成為, , , .故有唯一解. 當(dāng)時(shí), 方程組(2)成為 其一般解為 （其中為任意常數(shù)） 定理6 (1) 有非零解； (2) 有非零解 例10 解法一 （消元法） 得 解法二 （初等行變換法） 得 例11 求解, 其中, 解 有無(wú)窮多解 同解方程組為 一般解為 （為任意常數(shù)） 即 例12 求解, 其中, 解 (1) 當(dāng)時(shí) 同解方程組為 一般解為 （為任意常數(shù)）即 (2) 當(dāng)時(shí) 同解方程組為 一般解為 （為任意常數(shù)） 即