matlab曲線擬合問(wèn)題分析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2013高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平

2、性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?中國(guó)人民解放軍理工大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 韋煒致 2. 盛 俊 3. 秦鵬飛 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 劉守生 （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無(wú)需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如

3、填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。） 日期： 2014 年 7 月 21 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2013高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：專心-專注-專業(yè)通過(guò)曲線擬合的方法探究?jī)蓚€(gè)相關(guān)量之間的關(guān)系一、摘要本文采用最小二乘法、最小一乘法的分析方法，通過(guò)建立線性規(guī)劃模型與非線性規(guī)劃模型等多種形式，利用Matlab、Lingo編程實(shí)現(xiàn)曲線擬合，以探究?jī)蓚€(gè)相關(guān)量量與量之間的關(guān)系。對(duì)于問(wèn)

4、題一，在擬合準(zhǔn)則為偏差平方和最小的前提下，采用最小二乘法，通過(guò)Matlab編程得到0.012，0.803，即可得擬合直線。對(duì)于問(wèn)題二，在擬合準(zhǔn)則為絕對(duì)偏差總和最小的前提下，采用最小一乘法，并將無(wú)約束不可微最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解決線性規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)Matlab編程得到0.750，0.575，即可得擬合直線。對(duì)于問(wèn)題三，在擬合準(zhǔn)則為最大偏差極小化的前提下，采用線性規(guī)劃模型，通過(guò) Matlab編程得到-4.758，1.130，即得擬合直線。對(duì)于問(wèn)題四，在擬合準(zhǔn)則為偏差平方和最小的前提下，繼續(xù)采用最小二乘法，得到1.425，-0.139，0.097，則為所擬合的曲線。在擬合準(zhǔn)則為絕對(duì)偏差總和最小的前提下，

5、構(gòu)造非線性規(guī)劃模型，得到1.000，-0.805，0.160，則為所擬合的曲線。在擬合準(zhǔn)則為最大偏差極小化的前提下，也是構(gòu)造非線性規(guī)劃模型，得到0.469，0.766，0.025，則為所擬合的曲線。對(duì)于問(wèn)題五，重新觀察散點(diǎn)圖的圖像特征，采用最小二乘法，擬合出相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)曲線圖像和對(duì)數(shù)函數(shù)曲線圖像，發(fā)現(xiàn)的指數(shù)函數(shù)曲線方程較對(duì)數(shù)函數(shù)曲線方程更準(zhǔn)確地表現(xiàn)出量與量之間的關(guān)系。關(guān)鍵詞 最小二乘法 最小一乘法 線性規(guī)劃 曲線擬合二、問(wèn)題重述已知一個(gè)量依賴于另一個(gè)量，現(xiàn)收集有數(shù)據(jù)如下：0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.51.00.90.71.52.02.43.22.02.73.55

6、.05.56.06.67.67.68.59.010.01.04.07.62.75.74.66.06.812.3（1）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線。目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的偏差平方和為最小。（2）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的絕對(duì)偏差總和為最小。（3）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小。（4）求擬合以上數(shù)據(jù)的曲線，實(shí)現(xiàn)（1）（2）（3）三種目標(biāo)。（5）試一試其它的曲線，可否找出最好的？三、問(wèn)題分析由題目可知，量依賴于量，也就是說(shuō)量與量之間存在著必然的聯(lián)系。這就要求我們通過(guò)曲線擬合的方式來(lái)探究量與量之間的

7、關(guān)系。對(duì)于問(wèn)題一，擬合題中所給數(shù)據(jù)的直線，目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的偏差平方和為最小。擬合準(zhǔn)則偏差平方和最小，即為最為常用的最小二乘準(zhǔn)則，故該問(wèn)就轉(zhuǎn)化為了在最小二乘準(zhǔn)則下的曲線擬合問(wèn)題，也就是一個(gè)多元函數(shù)的最小值問(wèn)題，故而可采用最小二乘法，利用Matlab編程進(jìn)行曲線擬合進(jìn)行求解。對(duì)于問(wèn)題二，擬合題中所給數(shù)據(jù)的直線，目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的絕對(duì)偏差總和為最小。對(duì)于要在擬合準(zhǔn)則絕對(duì)偏差總和最小的情況下擬合曲線，應(yīng)采用最小一乘法原理，又因求解存在一定的困難，其困難就在于絕對(duì)值的存在，應(yīng)設(shè)法化去絕對(duì)值，所以在所要求擬合的曲線函數(shù)形式簡(jiǎn)單的前提下，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了線

8、性規(guī)劃的求解問(wèn)題。對(duì)于問(wèn)題三，擬合題中所給數(shù)據(jù)的直線，目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小。對(duì)于要在擬合準(zhǔn)則最大偏差為最小的情況下擬合曲線，可以在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，繼續(xù)采用線性規(guī)劃模型，并利用Lingo編程進(jìn)行問(wèn)題的求解。對(duì)于問(wèn)題四，擬合題中所給數(shù)據(jù)的曲線，分別實(shí)現(xiàn)問(wèn)題一、問(wèn)題二、問(wèn)題三中的三種目標(biāo)。針對(duì)這一問(wèn)題，只需將前三問(wèn)中的原理加以改進(jìn)，將原理中的線性部分轉(zhuǎn)化為非線性部分，即可對(duì)該問(wèn)進(jìn)行求解。對(duì)于問(wèn)題五，因?yàn)榍叭龁?wèn)要求擬合的都是直線，第四問(wèn)要求擬合的是二次曲線，擬合完后發(fā)現(xiàn)均呈現(xiàn)函數(shù)值與觀測(cè)值都存在一定的偏差，說(shuō)明擬合的曲線并非是關(guān)于量和量的最佳擬合曲線。故而

9、可以重新觀察散點(diǎn)圖的圖像特點(diǎn)，充分考慮之前擬合曲線中的奇異點(diǎn)的位置，分別嘗試擬合指數(shù)函數(shù)曲線和對(duì)數(shù)函數(shù)曲線，以找到關(guān)于量和量的最佳擬合曲線。四、模型的建立與求解設(shè)表示按擬合曲線求得的近似值，它不同于實(shí)測(cè)值，兩者之間的差值就是大家熟知的偏差（或殘差）。通常我們構(gòu)造擬合曲線有3種準(zhǔn)則可供選擇（即如題所問(wèn)），具體內(nèi)容如下：1、最大偏差達(dá)到最?。?；2、偏差的絕對(duì)值之和達(dá)到最?。?；3、偏差的平方和達(dá)到最?。?。6.1 問(wèn)題模型的建立和解答6.1.1 問(wèn)題模型的建立直線擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)的最小二乘法，即找一個(gè)一次函數(shù)，使二元函數(shù)達(dá)到最小。由多元函數(shù)取得極值的必要條件知，由方程組：，化簡(jiǎn)可得正規(guī)方程組：。6.1.2

10、 問(wèn)題模型的解答要求解最小二乘線性回歸方程，運(yùn)用Matlab實(shí)現(xiàn)極為簡(jiǎn)潔（具體程序詳見附錄1）。得出0.803，-0.012。也就是說(shuō)擬合成的直線為。擬合后的圖像見下圖1：圖1 問(wèn)題一函數(shù)擬合結(jié)果4.2 問(wèn)題模型的建立和解答4.2.1 建立最小一乘線性回歸模型設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)為，即樣本個(gè)數(shù)大于變量個(gè)數(shù)，線性模型為， （1）其中為元素全為1的維列向量，為回歸系數(shù)向量，。接下來(lái)是確定對(duì)最小一乘線性回歸系數(shù)的估計(jì)，這就需要求解下面的無(wú)約束不可微最優(yōu)化問(wèn)題， （2）即要求超定矛盾線性方程組， （3）的的范數(shù)極小解。令，可以看做兩個(gè)非負(fù)的維列向量之差，令，又設(shè)為非負(fù)的維列向量，則（3）可以變成一個(gè)相容性的線性

11、方程。 （4）問(wèn)題（2）變?yōu)榍笞钚〉膯?wèn)題，再設(shè)分別表示含有個(gè)0，個(gè)1的列向量，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解如下的線性規(guī)劃問(wèn)題模型目標(biāo)值為 ， （5）約束條件為 ， （6）接著利用求解線性規(guī)劃的算法，求出問(wèn)題（5）的最優(yōu)解后，即可得到問(wèn)題（1）的最優(yōu)解。4.2.2求解最小一乘線性回歸模型要求解最小一乘線性回歸方程，關(guān)鍵就是計(jì)算出最小一乘線性回歸系數(shù)向量，而計(jì)算值運(yùn)用Matlab實(shí)現(xiàn)極為簡(jiǎn)潔。故下面就利用Matlab優(yōu)化工具箱中的線性規(guī)劃命令linprog求解最小一乘線性回歸系數(shù)向量（具體程序詳見附錄1）。得出0.5750,0.6500，即0.575，0.750。也就是說(shuō)擬合成的直線為。擬合后的圖像見下圖2

12、：圖2 問(wèn)題二函數(shù)擬合結(jié)果4.3 問(wèn)題模型的建立和解答4.3.1 問(wèn)題模型的建立問(wèn)題三歸結(jié)為求直線。目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最?。醋畲笃顦O小化）。則對(duì)于任意的，令那么，可建立線性規(guī)劃模型如下： 4.3.2 問(wèn)題模型的解答要求解上述線性規(guī)劃的方程，運(yùn)用Lingo實(shí)現(xiàn)極為簡(jiǎn)潔（具體程序詳見附錄2）。得出1.130，-4.758。也就是說(shuō)擬合成的直線為。擬合后的圖像如圖3：圖3 問(wèn)題三函數(shù)擬合結(jié)果4.4 問(wèn)題模型的建立和解答問(wèn)題四歸結(jié)為求非線性曲線，其要求分別從問(wèn)題一、問(wèn)題二、問(wèn)題三的擬合準(zhǔn)則出發(fā)進(jìn)行求解，故而可繼續(xù)采用前三問(wèn)中的原理，將線性部分的約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€

13、性下的約束條件即可對(duì)該問(wèn)進(jìn)行求解。4.4.1 針對(duì)問(wèn)題中的擬合準(zhǔn)則求解問(wèn)題對(duì)于擬合準(zhǔn)則為偏差平方和最小，采用最小二乘法，用Matlab編程（詳見附錄1）得出1.425，-0.139，0.097，即可得出擬合的函數(shù)曲線方程為，圖4 問(wèn)題四（1）函數(shù)擬合結(jié)果擬合后的圖像如下圖4：4.4.2 針對(duì)問(wèn)題中的擬合準(zhǔn)則求解問(wèn)題對(duì)于擬合準(zhǔn)則為絕對(duì)偏差總和最小，通過(guò)建立如下非線性規(guī)劃模型，和利用Matlab編程（詳見附錄1）得出1.000，-0.805，0.1601，即可得出擬合的函數(shù)曲線方程為。擬合后的圖像如下圖5：圖5 問(wèn)題四（2）函數(shù)擬合結(jié)果4.4.3 針對(duì)問(wèn)題中的擬合準(zhǔn)則求解問(wèn)題對(duì)于擬合準(zhǔn)則為絕對(duì)偏差

14、總和最小，通過(guò)非線性規(guī)劃模型，和利用Lingo編程（詳見附錄2）得出0.025，-0.766，0.469，即可得出擬合的函數(shù)曲線方程為，圖6 問(wèn)題四（3）函數(shù)擬合結(jié)果擬合后的圖像如下圖6：4.5 問(wèn)題模型的建立和解答重新觀察散點(diǎn)圖的圖像特點(diǎn)，充分考慮之前擬合曲線中的奇異點(diǎn)的位置，分別嘗試擬合指數(shù)函數(shù)曲線和對(duì)數(shù)函數(shù)曲線，以找到關(guān)于量和量的最佳擬合曲線(采用最小二乘法)。4.5.1 擬合指數(shù)函數(shù)曲線利用Matlab編程（詳見附錄1）得出擬合的函數(shù)曲線方程為擬合后的圖像如下圖7：圖7 問(wèn)題五（1）函數(shù)擬合結(jié)果4.5.2 擬合對(duì)數(shù)函數(shù)曲線利用Matlab編程（詳見附錄1）得出擬合的函數(shù)曲線方程為圖8

15、問(wèn)題五（2）函數(shù)擬合結(jié)果擬合后的圖像如下圖8： 由圖像觀察可得，因擬合得的指數(shù)函數(shù)的圖像較對(duì)數(shù)函數(shù)圖像，以及前四問(wèn)中擬合的直線函數(shù)圖像、二次函數(shù)圖像而言，指數(shù)函數(shù)的圖像中的分散點(diǎn)在曲線上更為均勻地分布，奇異點(diǎn)較少，且更為美觀，故而將量與量之間的關(guān)系擬合為指數(shù)函數(shù)的曲線更為合適。五、模型的評(píng)價(jià)5.1.1 優(yōu)點(diǎn)1、曲線擬合轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)規(guī)劃模型，降低了算法的難度，增強(qiáng)了結(jié)果的準(zhǔn)確性。2、建立的模型對(duì)于實(shí)際應(yīng)用具有一定意義。5.1.2 缺點(diǎn)1、算法較為簡(jiǎn)單，不夠嚴(yán)謹(jǐn)。2、第五問(wèn)中曲線擬合方法只采用了最小二乘法，方法較為單一，應(yīng)嘗試多種方法，以求得更為完善的模型。六、參考文獻(xiàn)1王福昌，胡順昌，張艷芳，最小

16、一乘回歸系數(shù)估計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)，防災(zāi)科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2007年12月。2張小勇，徐香勤，基于LINGO的曲線擬合，2007年1月。3楊啟帆，何勇，談之奕，數(shù)學(xué)建模，浙江：浙江大學(xué)出版社，2006年5月。七、附錄附錄一：matlab相關(guān)程序%求解問(wèn)題一、問(wèn)題二、問(wèn)題四（1）、問(wèn)題五%數(shù)據(jù)為題目所給源數(shù)據(jù)，手動(dòng)輸入%運(yùn)用最小二乘算法和最小一乘算法分別滿足殘差平方極小與殘差絕對(duì)值之和極小的條件%計(jì)算結(jié)果為生成擬合函數(shù)的相關(guān)系數(shù)%大部分程序?yàn)轫樞蚪Y(jié)構(gòu)，部分運(yùn)用了創(chuàng)建和調(diào)用函數(shù)的方法，結(jié)合循環(huán)結(jié)構(gòu)完成算法*%第一問(wèn)的求解%數(shù)據(jù)輸入x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4

17、.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.6 7.6 7.6 8.5 9.0 10.0;y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5 1.0 4.0 7.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 12.3;Y=polyfit(x,y,1);%對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合plot(x,y,'*r');hold onezplot('Y',0,10);*%第二問(wèn)的求解clear all；clc；%定義函數(shù)functionbeta L1norm=ladregression(y,X)n=length(y);p=size(X,2);X=on

18、es(n,1) X;f=zeros(2*(p+1),1);ones(2*n,1);b=y;A=X,-X,eye(n),-eye(n);lb=zeros(2*(n+p+1),1);x,fval=linprog(f,A,b,lb);%調(diào)用線性規(guī)劃函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算beta=x(1:p+1)-x(p+2:2*(p+1);L1norm=sum(abs(y-X*beta);if abs(fval-L1norm)>1e-6 options=optimset('MaxIter','LargeScale','off','Simplex','

19、;on'); x,fval=linprog(f,A,b,lb,options); beta=x(1:p+1)-x(p+2:2*(p+1);end%分支結(jié)構(gòu)L1norm=sum(abs(y-X*beta);%計(jì)算偏差絕對(duì)值之和%數(shù)據(jù)輸入X=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.6 7.6 7.6 8.5 9.0 10.0'y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5 1.0 4.0 7.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 12.3'beta L1norm=l

20、adregression(y,X)%調(diào)用自建函數(shù)*%第四問(wèn)（1）的求解clear all；clc；x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.6 7.6 7.6 8.5 9.0 10.0;y1=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5 1.0 4.0 7.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 12.3;c1=polyfit(x,y1,2)tp1=0:0.01:12.3;x1=polyval(c1,tp1);plot(tp1,x1,x,y1,'*r');*%第五問(wèn)求解%

21、猜測(cè)使用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)擬合題目所給數(shù)據(jù)%數(shù)據(jù)來(lái)源同上%運(yùn)用matlab的擬合工具箱，以及設(shè)定擬合形式來(lái)進(jìn)行最小二乘擬合%結(jié)果為函數(shù)的相關(guān)系數(shù)%程序?yàn)轫樞蚪Y(jié)構(gòu)*%指數(shù)函數(shù)擬合x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.6 7.6 7.6 8.5 9.0 10.0;y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5 1.0 4.0 7.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 12.3;cftool(x,y)%調(diào)用擬合工具箱*%對(duì)數(shù)函數(shù)擬合clear all;clc;x=0.0 0.5 1.0

22、1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.6 7.6 7.6 8.5 9.0 10.0;y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5 1.0 4.0 7.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 12.3;f = fittype('a*log(x+b)'); %擬合自定義函數(shù)的形式fit1 = fit(x',y',f,'StartPoint',x(1) y(1);a = fit1.a; % a的值b = fit1.b; % b的值fdata = feval(fit1,x'); % 用擬合函數(shù)來(lái)計(jì)算yfigureplot(x,y,'*r'); hold onplot(x,fdata','r'); hold offlegend('Ori data',' Fitting data');%作圖例附錄二：lingo相關(guān)程序!運(yùn)用線性規(guī)劃解決問(wèn)題三，問(wèn)題四（2）（3）;!數(shù)據(jù)為題目所給源數(shù)據(jù)，手動(dòng)輸入