五年級(jí)下冊(cè)奧數(shù)教程

1、前 言在琳瑯滿目的教輔類圖書前孩子的心聲：奧數(shù)真難，大人們?yōu)槭裁纯傄覀儗W(xué)習(xí)奧數(shù)呢？家長(zhǎng)的心聲：太難的奧數(shù)，讓孩子越來越?jīng)]自信學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了。教師的心聲：現(xiàn)行的奧數(shù)比課本難多了，若有一套配合課本進(jìn)度，并能提高學(xué)生抽象思維能力的奧數(shù)書，將能真正作為課堂教學(xué)的延伸。針對(duì)以上種種心聲，將此作為課題來研究，在多所名校和社會(huì)信譽(yù)度較高的辦學(xué)單位試行的基礎(chǔ)生，推出了這套同步奧數(shù)培優(yōu)，內(nèi)容力求體現(xiàn)：配套現(xiàn)行教材以新課標(biāo)北師大版內(nèi)容為知識(shí)體系，做到在已有知識(shí)基礎(chǔ)上的拓展，重視知識(shí)的螺旋上升，在和教材同步的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力?！具m當(dāng)加入一些同學(xué)們感興趣的內(nèi)容】。注重素質(zhì)提高學(xué)好數(shù)學(xué)的前提是要有興趣，這是編

2、寫此套叢書的出發(fā)點(diǎn)。為了更全面綜合地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，此書適合大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)與使用。強(qiáng)化思維訓(xùn)練數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是思維的學(xué)習(xí)。此套叢書在章節(jié)安排上，重視對(duì)學(xué)生系統(tǒng)思維的訓(xùn)練，能結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，相對(duì)形成知識(shí)編排上的系統(tǒng)性。即能以知識(shí)為章，以知識(shí)點(diǎn)為節(jié)，由淺入深，層層深入，使學(xué)生的認(rèn)知相對(duì)完整。本書將本著自學(xué)能會(huì)，教師能輔導(dǎo)、家長(zhǎng)能參考的宗旨，全心全意為莘莘學(xué)子、為酷愛奧數(shù)的同學(xué)們而編，望你們用心學(xué)習(xí)，對(duì)以后的學(xué)習(xí)有所幫助，由于編寫時(shí)間倉(cāng)促，書中難免有些不妥之處，敬請(qǐng)廣大同學(xué)們?cè)谑褂眠^程中批評(píng)指正，以使本書更加完善。 五年級(jí)奧數(shù)編寫組 目 錄第一講 分?jǐn)?shù)乘法（乘法中的簡(jiǎn)算） 2練習(xí)卷. 5第二講

3、 長(zhǎng)方體和正方體（巧算表面積） 6練習(xí)卷. 10第三講 分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題 11練習(xí)卷. 15第四講 長(zhǎng)方體和正方體（巧算體積） 16練習(xí)卷 20第五講 較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（尋找不變量） 21練習(xí)卷. 24第六講 百分?jǐn)?shù)（濃度問題） 25練習(xí)卷. 28綜合演習(xí)（1） 29綜合演習(xí)（2） 31第一講 分?jǐn)?shù)乘法例題講學(xué) 例1 （1）×19 （2） 27×【思路點(diǎn)撥】 觀察這兩道題中數(shù)的特點(diǎn)，第（1）題中的比1少，可以把看作1-，然后和19相乘，利用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便；同樣，第（2）題中27與中的分母26相差1，可以把27看作（26+1），然后和相乘，再運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。技

4、巧 把哪個(gè)數(shù)拆分是解決問題的關(guān)鍵，或拆成與1有關(guān)的兩數(shù)之差或和；或者把一個(gè)數(shù)拆分成與分?jǐn)?shù)分母相關(guān)的和或差，最后用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。同步精練1. ×35 2. ×103. 8× 4. ×1265. 17× 6. 例2 【思路點(diǎn)撥】 仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點(diǎn)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1，這樣就把分子轉(zhuǎn)化成與分母完全相同的式子，結(jié)果自然就好計(jì)算了，試試吧！技巧 解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法

5、問題時(shí)，不要慌張，要仔細(xì)觀察數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)一般都能化成分子、分母能約分的情況，然后使計(jì)算簡(jiǎn)便。同步精練1. 2. 例3 【思路點(diǎn)撥】 在這道題中，每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的乘積?？聪旅嬉?guī)律：=1-， =-， =-， 把每個(gè)分?jǐn)?shù)都拆寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，使部分分?jǐn)?shù)前后互相抵消，使計(jì)算簡(jiǎn)便。技巧 做這類題目的關(guān)鍵是把一個(gè)分?jǐn)?shù)式子如何進(jìn)行拆分，并把拆分的結(jié)果統(tǒng)一前后抵消，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。同步精練 1. + 2. + 3. 練 習(xí) 卷1. 27× 2. 3. 4. 5. 6. 7 第二講 長(zhǎng)方體和正方體（巧算表面積）例題講學(xué) 例1 兩個(gè)棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體可以拼成一

6、個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？ 【思路點(diǎn)撥】 先根據(jù)題意畫圖： 從圖上可以清楚地看出：兩個(gè)正方體原先各有6個(gè)正方形的面，當(dāng)把它們拼起來時(shí)就少了2個(gè)正方形的面。這時(shí)，求長(zhǎng)方體的表面積只相當(dāng)于求（12-2=）10個(gè)正方形的面積；還可以這樣想：當(dāng)兩個(gè)正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)，求長(zhǎng)方體的表面積，我們可以先分別求出這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，再求出它的表面積。技巧 1.當(dāng)物體拼合時(shí)表面積之和少了，可以根據(jù)用原來的面去掉減少了的面，從而求出拼合后物體的面積數(shù)量，然后求出表面積。2.還可以求出拼成后大物體的長(zhǎng)、寬、高，再根據(jù)物體形狀直接求表面積。同步精練1. 把兩個(gè)棱長(zhǎng)是3厘米的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)

7、長(zhǎng)方體的表面積是多少？ 2把底面積是36平方厘米的兩個(gè)正方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積是多少？3把三個(gè)完全相同的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是350平方厘米。每個(gè)正方體的表面積是多少平方厘米？ 例2 把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是7厘米、6厘米、5厘米的長(zhǎng)方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體，使這兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和最大，這時(shí)表面積之和是多少平方厘米？ 【思路點(diǎn)撥】把長(zhǎng)方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和等于原長(zhǎng)方體表面積再加上兩個(gè)截面的面積。這個(gè)長(zhǎng)方體幾個(gè)面中，上、下面的面積最大，所以要看哪個(gè)面的面積最大，于是本題就按平行于上、下面的方式去截，才使表面積之和最大。技巧 長(zhǎng)方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體有

8、三種截法，如圖： 每一種截法都會(huì)產(chǎn)生不同的面，所以判斷怎么樣截是解決問題的關(guān)鍵。同步精練1. 把一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬8厘米、高6厘米的長(zhǎng)方體木料截成兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體，怎樣截才能使截成之后，得到兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和最大？最大是多少？2. 把兩個(gè)長(zhǎng)3厘米、寬2厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？3把兩個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積的最大值與最小值相差多少？例3 求出下面立體圖形的表面積。（單位：厘米）6 【思路點(diǎn)撥】 從圖上看出，這個(gè)圖形是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體組成的，求它的表面積時(shí)，可以把正方體的

9、右側(cè)面平移到長(zhǎng)方體上，這個(gè)立體圖形的表面積就可以用一個(gè)完整的長(zhǎng)方體表面積加上一個(gè)正方體的上、下、前、后四個(gè)面的面積。4810 44同步精練1. 在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體（如圖），求這個(gè)立體圖形的表面積。 2.求下列組合圖形的表面積。（三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)從上往下依次是1厘米、2厘米、4厘米） 3. 18個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體堆成如下圖的形狀，求它的表面積。 例4 如圖，從右面這個(gè)圖形的頂點(diǎn)處挖去一個(gè)小正方體，那么所得物體的表面積現(xiàn)在是多少平方厘米？（每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)為1厘米） 【思路點(diǎn)撥】從頂點(diǎn)處挖掉一個(gè)小正方體后，原來的小正方體露在外面的3個(gè)面就少了，但這時(shí)又

10、有3個(gè)同樣大小的面露了出來，所以表面積是沒有大小變化的。 同步精練 1.如上圖，如果從小正方體的上面的中間挖去一個(gè)小正方體，那么此時(shí)正方體的表面積是多少了呢？ 2.如下圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為6厘米的大正方體的6個(gè)面上分別挖去一個(gè)小正方體，現(xiàn)在剩下圖形的表面積是多少？ 2. 從一個(gè)長(zhǎng)方體的上面往下挖通，求現(xiàn)在物體的表面積是多少。（原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是10厘米、8厘米、12厘米，挖去的圖形為長(zhǎng)、寬都是4厘米的小長(zhǎng)方體。）練 習(xí) 卷1.長(zhǎng)方體的底面積是12平方厘米，寬2厘米，高和寬相等，表面積是（ ）平方厘米，底面周長(zhǎng)是（ ）厘米。2.一個(gè)正方體的底面積是25平方分米，它的表面積是（ ）平方分米。3

11、.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是a米、b米、h米，如果高增加4米后，新的長(zhǎng)方體表面積比原來增加了（ ）平方米。4.把一根長(zhǎng)2.4米，寬0.8米，高0.4米的木料鋸成大小相等的2段，它的表面積最少增加多少平方米？5.將兩本長(zhǎng)25厘米、寬20厘米、厚5厘米的書包成一包，怎樣才能節(jié)約包裝紙？請(qǐng)畫圖表示，并求出需要多少包裝紙？6.求下面立體圖形的表面積。（單位：厘米） 614752037 7.把一個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體外面全部涂上紅色，再把它切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，共切成多少塊？在這些小正方體中：三面涂紅的有多少塊？3cm兩面涂紅的有多少塊？3cm3cm一涂紅的有多少塊？任何一面都沒有涂紅的有多少塊

12、？第三講 分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題例題講學(xué)210個(gè)240個(gè) 例1 加工一批零件，第一天加工210個(gè)，第二天加工240個(gè)，這兩天共加工了這批零件的。這批零件共有多少個(gè)？【思路點(diǎn)撥】總個(gè)數(shù)的？個(gè) 技巧根據(jù)題意，把這批零件的總數(shù)看作單位“1”，兩天共加工210+240=450（個(gè)），450正好占這批零件總數(shù)的。求單位“1”的量用除法計(jì)算。 求單位“1”時(shí)，用除法，可以用“具體的量÷它所對(duì)應(yīng)的分率”。同步精練1.超市運(yùn)進(jìn)水果，第一批運(yùn)進(jìn)320千克，第二批運(yùn)進(jìn)400千克，這兩批運(yùn)進(jìn)的水果重量占超市現(xiàn)在所有水果的，超市現(xiàn)在一共有水果多少千克？ 2.一條鐵路，修完900千米后，剩余部分比全長(zhǎng)的少300千米，

13、這條鐵路全長(zhǎng)多少千米？ 3.修路隊(duì)修一條路，第一天修了全長(zhǎng)的，第二天修了1000米。這時(shí)已修的米數(shù)占全長(zhǎng)的。這條路全長(zhǎng)多少千米？例2 李添三天看完一本書，第一天看了這本書的，第二天看了24頁，還剩下全書的未看。這本書共有多少頁？全書的全書的【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)題意畫線段圖，幫助理解題意，分析數(shù)量關(guān)系。？頁24頁 技巧這道題中有一個(gè)具體數(shù)量“第二天看了24頁”，所以這是解決問題的突破口，要找出24頁所對(duì)應(yīng)的分率，即總頁數(shù)-第一天看的-剩下的=1-=，用24除以它所對(duì)應(yīng)的分率，即可求出全書頁數(shù)。 從具體數(shù)量出發(fā)，找出具體數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率，是解決問題的關(guān)鍵之所在。同步精練1.電腦公司要修一批電腦，已經(jīng)修

14、了這批電腦的，再修24臺(tái)就正好修了這批電腦的一半。這批電腦有多少臺(tái)？2.一筐蘿卜賣掉以后，又賣出6千克，這時(shí)賣出的正好是剩下的。這筐蘿卜原有多少千克？3.筑路隊(duì)三天修好一條馬路，第一天修了全長(zhǎng)的，第二天修了全長(zhǎng)的，第一天比第二天少修90米，這條馬路全長(zhǎng)多少米？例3 一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的，第二次用去余下的，這時(shí)還剩下108米。這捆電線共長(zhǎng)多少米？【思路點(diǎn)撥】 這道題中已知的具體數(shù)量是“還剩下108米，”所以要找出它所對(duì)應(yīng)的分率還剩下幾分之幾。 第一次用去全長(zhǎng)的，第二次用去余下的，而余下的即是（1-）的=，108米對(duì)應(yīng)的分率是（1-）=，所以用108除以求出這捆電線的總長(zhǎng)度。技巧 問題的關(guān)鍵

15、還是找題中具體數(shù)量所對(duì)應(yīng)的分率。謹(jǐn)記：“具體量÷對(duì)應(yīng)分率=單位1”同步精練1.工廠進(jìn)了一批原料，第一個(gè)星期用去總數(shù)的，第二個(gè)星期用去總數(shù)的，這時(shí)用去的比剩下的多31噸，這批原料共有多少噸？2.牛師傅計(jì)劃做一批零件，第一天做了計(jì)劃的，第二天又做了余下的，這時(shí)還剩42個(gè)零件沒做。牛師傅計(jì)劃做多少個(gè)零件？3.一批木料，先用去總數(shù)的，又用去剩下的，這時(shí)用去的比剩下的多10立方米，這批木料共有多少立方米？例4 有一堆蘋果，吃了后又買來324個(gè)，這時(shí)這堆蘋果的個(gè)數(shù)比原來多了。原來這堆蘋果有多少個(gè)？ 【思路點(diǎn)撥】 這道題中僅有一個(gè)具體數(shù)量“又買來324個(gè)”所以解決問題的關(guān)鍵即是找準(zhǔn)324的對(duì)應(yīng)分率

16、，也就是找出“又買來的324個(gè)蘋果占幾分之幾”根據(jù)已知條件吃了，還剩下，而買來324個(gè)之后，比原來多了，也就是占原來的，所以買來的324個(gè)蘋果就占（-=），所以用324除以對(duì)應(yīng)的分率就可以求出單位“1”，即原來的蘋果總數(shù)了。【思路點(diǎn)撥】 吃了后總數(shù)少了，而當(dāng)買來324個(gè)蘋果之后，卻比原來的總數(shù)還多了，這說明這324個(gè)蘋果不但把吃了的補(bǔ)上了，而且還多出來了，所以324個(gè)蘋果就占（+=），故而用324÷即可以求出單位“1”了。同步精練1.食堂原有一批大米，吃了后，有運(yùn)進(jìn)170千克，這時(shí)大米的總重量比原來還多了，原來食堂有大米多少千克？2.玩具店開業(yè)當(dāng)天賣出玩具，第二天又新進(jìn)150件新玩具

17、，這時(shí)玩具總數(shù)比原來卻少了。玩具店原來有玩具多少件？練 習(xí) 卷1.某家具店要生產(chǎn)一批沙發(fā)，第一周生產(chǎn)了64套，第二周生產(chǎn)了86套，兩周共生產(chǎn)了這批沙發(fā)總數(shù)的。家具廠還要生產(chǎn)多少套沙發(fā)？2.服裝廠第一車間有工人150人，第二車間的工人數(shù)是第一車間的，兩個(gè)車間的人數(shù)正好是全廠工人總數(shù)的，全廠有工人多少人？3.一根鋼筋截去8米后，所剩部分比原長(zhǎng)的還多2米。這根鋼筋原長(zhǎng)多少米？4.學(xué)校植樹，第一天完成了計(jì)劃的，第二天完成了計(jì)劃的，第三天植樹55棵，結(jié)果超過計(jì)劃的，學(xué)校計(jì)劃植樹多少棵？5.欣欣原有一些糖果，吃了后，媽媽又給她買來14顆，這時(shí)的糖果總數(shù)是原來的。欣欣原來有糖果多少顆？第四講 長(zhǎng)方體和正方體

18、（巧算體積）例題講學(xué) 例1 把一塊棱長(zhǎng)為6分米的正方體鋼坯，熔鑄成橫截面是9平方分米的長(zhǎng)方體鋼材。鑄成的鋼材有多長(zhǎng)？技巧【思路點(diǎn)撥】 把正方體鋼坯熔鑄成長(zhǎng)方體后，雖說形狀變了，可體積沒有變，正方體鋼坯的體積就是長(zhǎng)方體鋼材的體積。所以先求出正方體的體積，也就是長(zhǎng)方體的體積。用體積除以長(zhǎng)方體鋼材的橫截面面積，就可以求出長(zhǎng)方體鋼材的長(zhǎng)度了。抓住體積不變這個(gè)隱藏的量，熔鑄前體積等于熔鑄后的體積，再根據(jù)“體積÷橫截面積=長(zhǎng)”這個(gè)公式，從而輕松解決問題。 同步精練1.把一塊棱長(zhǎng)為0.8米的正方體鋼坯，鍛造成底面積是0.16平方米的長(zhǎng)方體鋼材，鍛造成的鋼材有多高？2.把一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體橡皮

19、泥，重新捏成一個(gè)高和寬都是2厘米的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是多少分米？ 3.棱長(zhǎng)為6分米的正方體容器內(nèi)有4分米高的水，把這些水全部倒入一個(gè)長(zhǎng)4分米、寬3分米、高15分米的長(zhǎng)方體水箱內(nèi)，這時(shí)水深多少？要注滿水箱還需要再倒入多少升水？例2 一只長(zhǎng)15分米、寬12分米的長(zhǎng)方體玻璃鋼中，有10分米深的水。放入一塊棱長(zhǎng)為3分米的正方體鐵塊，鐵塊全部浸沒在水中并且水未溢出，這時(shí)，水面升高了幾厘米？技巧【思路點(diǎn)撥】 將物體放入容器中，水面的高度肯定上升，上升的水的體積其實(shí)就是物體的體積。本題可以先求出正方體鐵塊的體積，也就是增加的水的體積，再用這個(gè)體積除以容器的底面積從而求出水面上升的高度了。 要明白一點(diǎn)：當(dāng)

20、物體完全沉沒在水中時(shí)，物體的體積=上升的水的體積。同步精練1.一個(gè)長(zhǎng)方體容器，底面積是200平方厘米，高10厘米，里面盛有5厘米深的水?，F(xiàn)將一塊石頭放入水中，水面升高到8厘米處，這塊石頭的體積是多少立方厘米？2.一個(gè)長(zhǎng)60厘米、寬20厘米的盛水容器，把5塊體積相等的鐵塊投入水中后，容器中的水面剛好上升了4厘米，求每塊鐵塊的體積。3.在一只長(zhǎng)120厘米、寬60厘米、深70厘米的浴缸中放入水，李明進(jìn)入浴缸后，水剛好沒到李明頸部。已知水上升了20厘米，求出李明頸部以下的體積是多少立方分米？2cm例3 如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體，高截去2cm，表面積就減少了48平方厘米，剩下部分成為一個(gè)正方體，求原長(zhǎng)方體的體積

21、?！舅悸伏c(diǎn)撥】 當(dāng)高少了2cm后，首先明白表面積少了哪些面？應(yīng)該是前后左右四個(gè)小面，因?yàn)樯厦骐m然也少了，但又多出來一個(gè)上面，所以少了4個(gè)小面，因?yàn)槭Ｏ碌牟糠质且粋€(gè)正方體，所以這四個(gè)小面是完全相等的，故用48除以4從而得出一個(gè)小面的面積，再用一個(gè)小面的面積除以2，從而能求出正方體的棱長(zhǎng)，也是原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，接著求出原長(zhǎng)方體的高，最后求出體積。技巧 關(guān)鍵是看截去一個(gè)小長(zhǎng)方體后，表面積是少了哪些面，一般會(huì)認(rèn)為少了5個(gè)小面，其實(shí)上面并沒有少，只少了4個(gè)，而少的這4個(gè)面本題是有關(guān)系的，因?yàn)槭Ｏ碌臑橐粋€(gè)正方體，所以先求出一個(gè)面積，從而打開解決問題的入口。同步精練1.把一個(gè)長(zhǎng)方體的高截去3厘米后，剩下的部

22、分正好是一個(gè)正方體，而表面積卻減少了36平方厘米，求原長(zhǎng)方體的表面積。2.從一個(gè)長(zhǎng)是12厘米、高9厘米的長(zhǎng)方體上，平行于底截掉一個(gè)4厘米高的小長(zhǎng)方體，表面積減少了80平方厘米，求截掉的小長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？例4 一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高以厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？技巧【思路點(diǎn)撥】 要求長(zhǎng)方體的體積，就要求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。因?yàn)檫@個(gè)長(zhǎng)方體的前面和上面的面積之和是209平方厘米，也就是長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高=長(zhǎng)×（寬+高）=209。根據(jù)“長(zhǎng)、寬、高以厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)”這個(gè)條件可知：209=

23、11×19。而11和19哪個(gè)數(shù)能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和呢，只有19=2+17，所以長(zhǎng)、寬、高就分別是11、2、17，從而能求出長(zhǎng)方體的體積了。 解決此類題目的關(guān)鍵是在把面積之和如何分成兩個(gè)數(shù)的積，并且這兩個(gè)數(shù)中首先必須有一個(gè)是質(zhì)數(shù)，再把另一個(gè)數(shù)分成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。同步精練1.一個(gè)長(zhǎng)方體的前面和右面的面積之和是54平方厘米，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是整數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？2.一個(gè)長(zhǎng)方體的上面和右面的面積之和是36平方厘米，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是整數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積分別是多少？練 習(xí) 卷1.一個(gè)正方體玻璃缸棱長(zhǎng)2分米，向容器中倒入5升水，再放入一塊不規(guī)則的石頭，這時(shí)量得容器

24、內(nèi)的水深15厘米。石頭的體積是多少立方厘米？2.一個(gè)封閉的長(zhǎng)方體容器的高是25厘米，長(zhǎng)和寬都是10厘米，容器內(nèi)裝著一些水。如果把該容器長(zhǎng)、寬都是10厘米的面做底面放在桌面上，這時(shí)水的高度是15厘米。如果把容器長(zhǎng)25厘米、寬10厘米的面做底面放在桌子上，這時(shí)水的高度是多少厘米？3.一只底面是正方形的長(zhǎng)方體鐵箱，如果把它的側(cè)面展開，正好得到一個(gè)邊長(zhǎng)是40厘米的正方形。求這只長(zhǎng)方體鐵箱的容積是多少升？4. 一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高截去2厘米，表面積就減少了32平方厘米，剩下的正好是一個(gè)正方體。原來長(zhǎng)方體的體積是多立方厘米？第五講 較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（尋找不變量）例題講學(xué) 例1 乙隊(duì)原有的人數(shù)是甲隊(duì)人數(shù)的。

25、現(xiàn)在甲隊(duì)派30人到乙隊(duì)，則乙隊(duì)人數(shù)現(xiàn)在是甲隊(duì)的。原來兩隊(duì)一共有多少人？ 【思路點(diǎn)撥】 當(dāng)“現(xiàn)在甲隊(duì)派30人到乙隊(duì)”后，甲、乙兩隊(duì)的人數(shù)都發(fā)生了改變，所以單位“1”不好確定，但有一個(gè)未變的量，那就是兩隊(duì)的總?cè)藬?shù)，因此我們可以把兩隊(duì)的總?cè)藬?shù)看作單位“1”。 從“乙隊(duì)原有的人數(shù)是甲隊(duì)人數(shù)的”可以把乙隊(duì)人數(shù)看作3份，甲隊(duì)人數(shù)看作7份，總?cè)藬?shù)為10份，則乙隊(duì)人數(shù)占總?cè)藬?shù)的=，后來甲隊(duì)派30到乙隊(duì)后，乙隊(duì)占總?cè)藬?shù)的=，那么乙隊(duì)多了（-）而正是多了30人所致。求出30人所對(duì)應(yīng)的分率，再求出原來的總?cè)藬?shù)。技巧 此類題目的兩個(gè)量都是變化的，所以單位“1”不能確定，一定要找出不變的量，把它確定為單位“1”，然后再

26、看其中的一個(gè)量前后分別是單位“1”的幾分之幾，最后再利用具體數(shù)量和分率從而求出單位“1”。 同步精練 1.甲、乙兩個(gè)糧庫(kù)，甲糧庫(kù)存糧的噸數(shù)是乙糧庫(kù)的?，F(xiàn)在從乙糧庫(kù)調(diào)6噸糧食到甲糧庫(kù)，則甲糧庫(kù)存糧的噸數(shù)是乙糧庫(kù)的。原來兩個(gè)糧庫(kù)各存糧多少噸？ 2.五（3）班在一次聚會(huì)中，請(qǐng)假人數(shù)是出席人數(shù)的，中途又有一人離開，這樣請(qǐng)假人數(shù)是出席人數(shù)的。五（3）班共有多少人？ 例2 甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，結(jié)果甲捐了另外三人的一半，乙捐了另外三人的，丙捐了另外三人的，丁捐了91元。甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元？【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)題意可知，單位“1”是另外三人的總和，但另外三人的總和是無論如何也不知道，且

27、是變化的，所以行不通。但甲乙丙丁四人的總和是固定不變的，所以可以把四人的錢數(shù)總和看作單位“1”。 “甲捐了另外三人的一半”，可以看作甲捐的錢是1份，另外三人是2份，共3份，甲捐的是四人總數(shù)的，同理，乙捐的是四人總數(shù)的，丙捐的是四人總數(shù)的。那么我們就可以求出剩下的丁捐的錢數(shù)占四人總數(shù)的幾分之幾了，再用具體數(shù)量91除以對(duì)應(yīng)分率，從而求出總數(shù)。技巧 此類題目的難點(diǎn)就在于雖然單位“1”名字上統(tǒng)一，但卻不是固定的，所以要找出固定不變的量作為統(tǒng)一的單位“1”，然后求出每個(gè)量占單位“1”的幾分之幾，最后用對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量除以對(duì)應(yīng)分率，從而求出單位“1”。同步精練 1.三個(gè)小朋友合買一枚價(jià)值24元的2008年奧

28、運(yùn)會(huì)紀(jì)念章，第一個(gè)小朋友付的錢是其他孩子付的錢的一半，第二個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的錢的。問：第三個(gè)孩子付了多少元錢？2.甲乙丙丁四個(gè)數(shù)，甲數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的，乙數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的，丙數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的。已知丁數(shù)是260，求四個(gè)數(shù)的和是多少？甲數(shù)是多少？例3 一堆糖果，其中奶糖占，再放入16塊水果糖后，奶糖就只占。這一堆糖果原來一共有多少塊？【思路點(diǎn)撥】 解答這道題時(shí)，應(yīng)抓住奶糖不變這個(gè)條件。因?yàn)樵诳倲?shù)發(fā)生了變化，水果糖也發(fā)生了變化的時(shí)候，奶糖卻是不變的，所以把變化的量水果糖，求出變化前后分別是奶糖的幾分之幾，再看變化前后的具體數(shù)量，然后求出單位“1”奶糖，最后再求出總數(shù)來。具體解法：變

29、化前，奶糖占總數(shù)的，水果糖就占（1-）=，水果糖占奶糖的（÷）=；加入16塊水果糖后，奶糖占總數(shù)的，水果糖就占（1-）=，水果糖占奶糖的÷=3，水果糖變化前后共增加了（3-）=，正是由于增加16塊所致，所以用16÷=9塊奶糖單位“1”，那么原來的水果糖就有9×=11塊，總數(shù)為9+11=20（塊）。同步精練 1.袋里有若干個(gè)球，其中紅球占，后來又往袋里放了6個(gè)紅球，這時(shí)紅球占總數(shù)的。原來袋里共有多少個(gè)球？ 2.某科技發(fā)明興趣小組中女生占，后來又轉(zhuǎn)來了15名女生，這樣女生占總?cè)藬?shù)的。這個(gè)興趣小組的男生有多少人？練 習(xí) 卷1.某公司男職工比全公司總?cè)藬?shù)的多60

30、人，女職工人數(shù)是男職工的，這個(gè)公司共有多少人？2.某工廠有三個(gè)車間，第一車間的人數(shù)是另外兩個(gè)車間人數(shù)的，第三車間的人數(shù)是另外兩個(gè)車間人數(shù)的，已知第二車間有30人。另兩個(gè)車間各有多少人？3.紡織廠女工占工人總數(shù)的，后來又調(diào)來30名女工，這時(shí)女工人數(shù)是男工人數(shù)的2倍。問：現(xiàn)在廠里共有多少人？4.甲、乙兩人共有郵票若干張，其中甲占，若乙給甲12張，則乙余下的張數(shù)占總數(shù)的。兩人共有郵票多少?gòu)垼?.科技活動(dòng)小組中，男生人數(shù)占，后來又轉(zhuǎn)來4名男生參加，這時(shí)，男生人數(shù)占小組人數(shù)的。求這個(gè)科技活動(dòng)小組女生有多少人？現(xiàn)在共有多少人？第六講 百分?jǐn)?shù)（濃度問題）【知識(shí)概述】 把鹽溶于水就得到鹽水，其中鹽叫做溶質(zhì)，水

31、叫溶劑，鹽與水的混合液叫做溶液。我們把鹽占鹽水的百分比叫做鹽水的濃度，通常濃度用百分?jǐn)?shù)表示，又叫做百分比濃度，這一類問題叫做濃度問題?！钧}水的濃度也就是含鹽率，糖水的濃度也叫做含糖率】例題講學(xué)例1 現(xiàn)有濃度為25%的鹽水80克，加入多少克水就能得到濃度為10%的鹽水？【思路點(diǎn)撥】 將濃度為25%的鹽水變?yōu)闈舛葹?0%的鹽水，鹽水中的水的重量增加了，但是鹽的重量卻沒有任何變化?？梢愿鶕?jù)已知條件先求出不變的量鹽的重量，再求出現(xiàn)在鹽水的重量，最后再用現(xiàn)在鹽水的重量減去原來鹽水的重量，就是增加的水的重量。解：80×25%=20（克），20÷10%=200（克），200-80=120

32、（克）答：加入120克水就能得到濃度為10%的鹽水。同步精練1.把碘溶在酒精里，配成碘酒，現(xiàn)在有含碘15%的碘酒50千克，要把它變成含碘3%的碘酒，需要加入多少千克酒精？2.現(xiàn)有濃度為20%的鹽水80克，加入多少克水就能得到濃度為16%的鹽水？ 例2 現(xiàn)有濃度為25%的鹽水80克，要使鹽水的濃度提高到40%，需要加多少克鹽？【思路點(diǎn)撥】 將濃度為25%的鹽水變?yōu)闈舛葹?0%的鹽水，在鹽水的變化過程中，鹽的重量增加了，但是水的重量并沒有發(fā)生變化，也就是原來鹽水中的水的重量等于現(xiàn)在鹽水中水的重量。解：80×（1-25%）=60（克），60÷（1-40%）=100（克），100-

33、80=20（克）。答：需要加20克鹽。同步精練1.現(xiàn)有濃度為15%的鹽水20千克，要使鹽水濃度提高到20%，需要加多少千克鹽？2.濃度為10%的糖水300克，要把它變成濃度為25%的糖水，需要加糖多少克？3.往40千克含鹽16%的鹽水中加入10千克鹽。求這時(shí)鹽水的濃度。 例3 有濃度為2.5%的鹽水700克，為了制成濃度為10%的鹽水，從中要蒸發(fā)掉多少克水？【思路點(diǎn)撥】 要使溶液的濃度變大，可以采取增加溶質(zhì)（糖、鹽、純酒精等）的方法，也可以用蒸發(fā)水的辦法。把鹽水加熱，一部分水變成水蒸氣蒸發(fā)掉了，于是鹽水中的水的重量減少了，而在變化過程中鹽的重量卻沒有變化。先根據(jù)條件求出原來鹽水中鹽的重量，由于在變化過程中鹽的重量沒有變化，所以原來鹽水中鹽的重量也是現(xiàn)在鹽水中鹽的重量，再求出現(xiàn)在鹽水的重量，最后用原來鹽水的重量減去現(xiàn)在鹽水的重量，就是要蒸發(fā)掉水的重量。解：700×2.5%=17.5（克），17.5÷10%=175（克），700-175=525（克）答：從中要蒸發(fā)掉525克水。同步精練1.現(xiàn)有濃度為12.5%的鹽水40千克，將它變成濃度為20%的鹽水，要蒸發(fā)掉多少千克水？2.有濃度為2.5%的鹽水700克，為了制成濃度為20%的鹽水，從中要蒸發(fā)掉多少克水？練 習(xí) 卷1.一瓶鹽水共重200克，其中鹽有20克，