二倍角公式教學設計

1、人教 A 版教學設計3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 廣州市第三中學 數(shù)學科 劉窗洲一、教學目標：1、培養(yǎng)學生利用化歸思想(指將一般化歸為特殊)導出倍角公式，了解倍角公式與兩角和公式的內(nèi)在聯(lián)系并熟練倍角公式結構 。2、領會重點與難點，包括倍角公式的形成和公式的變形(突出 的兩種變形)并理解 倍角 的 相對性 。3、會利用倍角公式進行求值運算、化簡，培養(yǎng)學生運算、分析和邏輯推理能力 。二、重點與難點：1、重點是二倍角的正弦、余弦、正切公式 。2、難點是倍角公式的形成 及 公式的變形 。三、教學過程(師生互動):1、公式的導出：(先與學生一起復習兩角和的正弦、余弦、正切公式，以達到溫故而知

2、新。)復習回顧： 我們已經(jīng)學習了和角公式，還掌握了和角公式與差角公式可以互相化歸 。那么，如何把和角公式化歸為二倍角公式呢 ? 現(xiàn)在研究二倍角，線索是兩角和的正弦、余弦、正切公式，請同學們自己先試一試發(fā)現(xiàn)“二倍角” 與 “兩角和” 的內(nèi)在聯(lián)系 。讓學生領悟到： 舉一例引導化歸思想： ( 表示任意角) 當 取特殊角 時，上述公式表示為: 即： ，接著依此類推讓學生自行動手體會由一般過渡到特殊的化歸思想 。 雙向溝通： (請把化歸的結果填入下面的式中) 簡記： 簡記： 且 簡記： 我們發(fā)現(xiàn) 公式的右邊既有 也有 ，假設已知 的值，要求 的值，就必然要再求到 的值，然后再代入公式求解 。如果每次都如

3、此，則會變得工作重復，試問是否可通過公式變形用 或 來單獨表示 以達到公式簡潔，從而避免重復工作，提高解題速度 。 利用 ， 公式 還可以變形為： 或 階段小結：倍角公式與兩角和公式的內(nèi)在聯(lián)系是：令 = (實現(xiàn)一般化歸為特殊) 。 上面這些公式都叫做倍角公式 。有了倍角公式，就可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù) 。讓同學們自己填寫公式，是為了使大家學會怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，并體會化歸(這里是將一般化歸為特殊)這一基本數(shù)學思想所起的作用 。 2、公式的運用： 師生互動：教師在黑板上板書且同時啟發(fā)學生注意公式結構中等號兩邊角度倍數(shù)的對比、系數(shù)的對比、冪次數(shù)的對比學生思考并回答問題以達到熟練公式

4、結構的目的 。 注意以下題組的變化：(讓學生自己發(fā)現(xiàn)變化之處) 在以上問題中主要突出的是倍角的相對性，以及公式左右兩邊的角的變化 。為了進一步鞏固所學公式與更深入熟練地掌握公式變形，特意由淺入深設計三個梯度的課堂練習以達到相關目的 。 梯度一：(熟練公式結構)（1） (公式的逆用) （2） (公式的逆用) （3） (公式的逆用) （4） (公式的逆用) （5） (公式的逆用) 梯度二：(倍角的相對性) (1) (2) (3) (公式的逆用伴有系數(shù)的變化) (4) (公式的逆用伴有系數(shù)的變化) (5) (公式的逆用伴有系數(shù)的變化) (6) (公式的逆用) 梯度三：(公式的靈活運用) （1） (分

5、析：先引導學生觀察分析正弦的二倍角公式的右邊為 即一個正弦、一個余弦，而本題為兩個正弦且角度也不同，提醒學生進行思考且注意變形手段，變成角度相同且一個正弦、一個余弦再求值 。) (2) (分析：引導學生觀察分析，此題設計的目的是讓學生學會構造法與滾雪球法，體會公式的靈活多變，發(fā)現(xiàn)數(shù)學美 。) 解：原式 （3） (此題留為課后練習，讓學生進一步思考 。) 經(jīng)過三個梯度的訓練，學生對公式的結構與公式的應用達到基本熟練之后，下一步應該提供機會讓學生利用倍角公式進行求值運算、化簡，以培養(yǎng)學生運算、分析和邏輯推理能力 ，這也正是本課時的教學目標之一與難點之一 。 3、典型例題: 例 1、已知 ，求 ，

6、的值 ? 分析 本題求值時，由于運用了公式 ，所以要根據(jù)角 的范圍確定取哪一個平方根 。另外，在求 值時，應使用公式的三種等價式中的: . 因為本題在前幾節(jié)書中類似問題曾在多處出現(xiàn)，故可將詳細解題步驟用實物投影展示給學生，以節(jié)約課堂時間 。 解： ， (角的范圍目的在于確定的正負取值) (公式有三種選擇，應以方便計算為出發(fā)點) 本題結束后，可考慮將原題進行如下一組變換: 變式 1、已知 ，求 ， 的值 ? 變式 2、已知 ，求 ， 的值 ? (以上題組學生能口述解答方法即可，目的是訓練并提高學生靈活選擇公式的能力) 例 2、化簡: , . 分析 本題要化簡，則根號里面必須產(chǎn)生某式的平方，啟發(fā)學

7、生聯(lián)想到有沒有一個公式右邊能產(chǎn)生平方 。一旦學生聯(lián)想到余弦的二倍角公式便讓其自己動手去完成化簡 。由于有可能學生們選擇了公式的三種不同等價式： 則產(chǎn)生三種思路與三種解法，但其結果應該是一致的，只不過速度的快慢、解法的簡易與復雜有差異，學生解答后再請其自己敘述其解題思路，并能互相交流、對比以達到優(yōu)化教學的效果 ，如若出現(xiàn)另類解法 ，只要不違背數(shù)學思想應給予正面鼓勵以促進學生積極思維 。 教師可介紹一種相對理想的解法且板書： 解： ，則 原式 (解答中角度 范圍的確定目的是去絕對值時正負值的取舍，這也是本題目標訓練之一，即符號看象限 。) 在本題結束后，亦可考慮將原題進行如下一組變換，以加強訓練學生靈活選擇公式的意識與能力，也為后面的升冪公式學習打下基礎 。 變式 1、化簡: , . 變式 2、化簡: , . 變式 3、化簡: , . (此題組留為課后練習，學生繼續(xù)思考、鞏固所學知識從而升華課堂教學 。) 例 2、在 中，求 的值？分析 本題是涉及三角形的求值問題，可溯引學生熟練三角形中的三角問題，讓數(shù)學回歸生活、生產(chǎn)實際問題。難點在于突破角度的限制性，符號確定與公式的正確選擇。解：在 中，由 ，得 ，又 ，所以 ，于是 (此題還有多種求解方法，學生可繼續(xù)思考、各抒己見、課內(nèi)課后可充分交流從而提高課堂教學的有效性 。)若