習(xí)題81反常積分的概念和計(jì)算

1、第八章 反常積分習(xí) 題 8.1 反常積分的概念和計(jì)算 xq圖 物理學(xué)中稱(chēng)電場(chǎng)力將單位正電荷從電場(chǎng)中某點(diǎn)移至無(wú)窮遠(yuǎn)處所做的功為電場(chǎng)在該點(diǎn)處的電位。一個(gè)帶電量的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)距離處的單位正電荷的電場(chǎng)力為（為常數(shù)），求距電場(chǎng)中心處的電位。解 。 證明：若和收斂，為常數(shù)，則也收斂，且。證 設(shè)，則。 計(jì)算下列無(wú)窮區(qū)間的反常積分（發(fā)散也是一種計(jì)算結(jié)果）：;；。解（1），所以 。（2），所以 。（3）。（4）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此結(jié)果等于在時(shí)的結(jié)果中以代入后的結(jié)果。（5）當(dāng)時(shí)積分發(fā)散；當(dāng)時(shí)，。（6）當(dāng)時(shí)積分發(fā)散；當(dāng)時(shí)，。（7）令，則。（8）令，則。（9）利用第六章第3節(jié)習(xí)題1(10)的結(jié)果，即可得到。（10）

2、, 對(duì)等式右端任一積分（例如第二個(gè)積分）作變量代換，則，所以。 計(jì)算下列無(wú)界函數(shù)的反常積分（發(fā)散也是一種計(jì)算結(jié)果）：;解（1）。（2）。（3）令，則。（4）令，則。（5） 。，由于極限不存在，所以積分發(fā)散；同理積分也發(fā)散。 （6）令，再利用上面習(xí)題3（9），得到。 求極限。解 , 所以。 計(jì)算下列反常積分：(1);(2)。(3);(4);(5)。解 (1) 令, 再利用例，得到。(2) 令, 由, 得到 。(3) 。(4) 令, 得到。(5) 。 求下列反常積分的Cauchy主值：;。解 (1) 。(2) 。(3) 。 說(shuō)明一個(gè)無(wú)界函數(shù)的反常積分可以化為無(wú)窮區(qū)間的反常積分。證 設(shè)是一個(gè)無(wú)界函數(shù)

3、反常積分，是的唯一奇點(diǎn)（即在的左領(lǐng)域無(wú)界）。令，則，等式右端就是一個(gè)無(wú)窮區(qū)間的反常積分。 以為例，敘述并證明反常積分的保序性和區(qū)間可加性； 舉例說(shuō)明，對(duì)于反常積分不再成立乘積可積性。解 （1）保序性：設(shè)與收斂，且在成立，則；證明：由定積分的保序性，可知，再令。區(qū)間可加性：設(shè)收斂，則對(duì)任意，收斂，且；證明：由定積分的區(qū)間可加性，可知，再令。（2）設(shè)，則與收斂，但不收斂。10. 證明當(dāng)時(shí)，只要下式兩邊的反常積分有意義，就有。證 ，對(duì)上式右端兩積分中任意一個(gè)（例如第二個(gè)）作變量代換，則當(dāng)時(shí)，；且，于是由，得到。11設(shè)收斂，且。證明。證 用反證法。不妨設(shè)，則對(duì)，：，從而。由，可知，與收斂發(fā)生矛盾。同理也可證明不可能有，所以。12