大一(第一學期)高數(shù)期末考試題及答案

1、10.大一上學期高數(shù)期末考試、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1設f(x)cosx(xsinx),則在x設2.(A)f(0)2/、1x(x)，1x(B)f1(C)0處有(f(0)0(D).f(x)不可導.(x)33 次，則當 x1 時(x)與(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小;(B)(x)與(x)是等價無窮??；(C)(x)是比(x)高階的無窮小;無窮小.(D)是比(x)高階的3.f.F若(x)x(x)0(2tx)fdt,其中f(x)在區(qū)間上(T)二階可導且4.5.6.7.8.(A)(B)(C)0,則().函數(shù)F(x)必在 x0 處取得極大值；函數(shù)F(x)必在 x0 處取得極

2、小值；函數(shù)F(x)在 x0 處沒有極值，但點(0,F(0)為曲線yF(xq拐點;(D)函數(shù)F(x)在x0處沒有極值，點(0,F(0)也不是曲線yF(x)的拐點。設f(x)是連續(xù)函數(shù),且f(x)120f(t)dt,則f(x)(A)2(B)22(C)x填空題(本大題有4小題，每小題2lim(13x)s1nxx0已知cos 二是 f(x)的一個原函數(shù) xlimn12一(cos2-c-2.一xarcsinx1dx三、解答題 (本大題有9.設函數(shù)yy(x)由方程求dx.x(1x)(D)x2.4分，共16分)2n1、cos)n5小題,每小題8分，共40分)exysin(xy)1確定，求y(x)以及y(0)

3、.10.g(x)并討論g(x)在 x0處的連續(xù)性.-yy13 .求微分方程xy2yx1nx滿足四、解答題(本大題 10 分)14 .已知上半平面內(nèi)一曲線yy(x)(x0),過點(01),且曲線上任一點M(xo,yo)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xx0所圍成面積的 2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題(本大題 10 分)15 .過坐標原點作曲線y1nx的切線，該切線與曲線y1nx及 x 軸圍成平面圖形 D.(1)求 D 的面積 A;(2)求 D 繞直線 x=e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V.六、證明題(本大題有 2 小題，每小題 4 分，共 8 分)16.設函數(shù)f(x)

4、在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的q0,1,q1f(x)dxqf(x)dx00.f(x)dx0f(x)cosxdx017.設函數(shù)f(x)在 0,上連續(xù)，且0,0證明：在,內(nèi)至少存在兩個不同的點1,2,使f(1)f(2)0.(提xF(x)f(x)dx示：設0)設f(x)11.12.g(x)設函數(shù)f(x)連續(xù),x0q求0 x11f(xt)dtlim0且x0f(x)dx.f(x)x19的解.解答一、單項選擇題(本大題有 4 小題，每小題 4 分，共 16 分)1、D2、A3、C4、C二、填空題(本大題有 4 小題，每小題 4 分，共 16 分)1,cosx、26()C5.e.6.2x.7.2.8

5、.3三、解答題(本大題有 5 小題，每小題 8 分，共 40 分)9.解：方程兩邊求導exy(1y)cos(xy)(xyy)0y(x)10.解:原式u171.0,yx7(1u(1xexe0ycos(xy)xcos(xy)y(0)r6.7xdx以duu)du17(-u)duu111.解:12.解:7(ln|u|71n|x7|2ln|u1|)cx7|1303f(x)dx0 xe3xdx2xx20dxxd(xxe2e34由f(0)g(x)g(x)g(0)10031(x1)2dx0_cosd(令x21sin)1f(xt)dt0 xf(x)知g(0)0Oxf(u)duxtu0 xxf(u)du02x(x

6、0)(x0)xf(u)dulim2x0 x2ym0f(x)2xxf(x)f(u)du02xA5,g(x)在x0處連續(xù)。dy13.解：dx2一 yx2dxx(Inx2dxexlnxdxC)1.一 xlnx31-y(1)-,C9Cx21xlnx3四、解答題(本大題14.解：由已知且 y10 分)x20ydxy將此方程關于x求導得2y特征方程:其通解為yCeC2e解出特征根:2x1,2.代入初始條件y(0)(0)1故所求曲線方程為:覆1e3C12x五、解答題(本大題 10 分)15.解：(1)根據(jù)題意，先設切點為(x0,lnx)由于切線過原點，解出x0A則平面圖形面積1(ey0(2)三角形繞直線3,

7、C2y，切線方程：e,從而切線方程為:ey)dy1e1x=e 一周所得圓錐體體積記為lnx0-(xXO)0VI則曲線y1nx與 x 軸及直線 x=e 所圍成的圖形繞直線 x=e 一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為 V21V2(eey)2dy0D 繞直線V旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積VIV2-(5e212e3)六、證明題(本大題有qf(x)dx2 小題,每小題 4 分,1qqf(x)dx共 12 分)qf(x)dxq(f(x)dx1f(x)dx)16.證明：010,q2q,1q(1q)f(1)故有：q1f(1)f(2)q(1q)f(2)0f(x)dxqf(x)dx00證畢。17.xF(x)f(t)dt,0 x證：構造輔助函數(shù)：0。其滿足在0,上可導。F(x)f(x)，且F(0)F()00f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx由題設，有000，F(xiàn)(x)sinxdx0有0，由積分中值定理，存在(0,)，使F()s