拉普拉斯變換及反變換（課堂PPT）

1、第第1頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換一、拉氏變換及其特性一、拉氏變換及其特性1 1、 拉氏變換定義拉氏變換定義t tf0t tf 0edstF sL f tf tt如果有一個(gè)以時(shí)間 為自變量的實(shí)變函數(shù) ，它的定義域是 ，那么 的拉普拉斯變換定義為第第2頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院式中，s是復(fù)變數(shù)，js0ste sF sF tf tf tf sF（ 、 均為實(shí)數(shù)），稱為拉普拉斯積分；是函數(shù)的拉氏變化，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)，通常稱為的象函數(shù)，而稱為 的原函數(shù)；L是表示進(jìn)行拉氏變換的符號(hào)。第第3頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程

2、基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院)()(tfLsF)()(1sFLtf tf拉氏變換是這樣一種變換，即在一定的拉氏變換是這樣一種變換，即在一定的條件下，它能把一實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)條件下，它能把一實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù) sF變換為一個(gè)在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的變換為一個(gè)在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 。第第4頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院1 1）、）、 典型函數(shù)的拉氏變換典型函數(shù)的拉氏變換000)(tkttf（k =const） ttt)(tr0000tRa0t)(t0ttt00)(tr（a） 階躍函數(shù)（b） 斜坡函數(shù)（c） 拋物函數(shù)（d） 脈沖函數(shù)（e） 單位脈沖函數(shù)（f） 正弦

3、函數(shù)k)(tf)(tf)(tf1skdtketfLsFst0)()(單位階躍函數(shù)，記作單位階躍函數(shù)，記作1( t ) 0100)( 1tttstL1)( 1 （1 1）階躍函數(shù)（位置函數(shù)）階躍函數(shù)（位置函數(shù)）第第5頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院（2 2）斜坡函數(shù)（又稱速度函數(shù)）斜坡函數(shù)（又稱速度函數(shù)）（k =const） 000)( 1)(tktttkttf)(tf)(tf)(tfttt)(tr0000tRa0t)(tk0ttt00)(tr1（a） 階躍函數(shù)（b） 斜坡函數(shù)（c） 拋物函數(shù)（d） 脈沖函數(shù)（e） 單位脈沖函數(shù)（f） 正弦函數(shù)20)()(skdtktetfL

4、sFst單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)000)( 1)(ttttttf21)(ssF第第6頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院（3）拋物函數(shù)（又稱加速度函數(shù)）拋物函數(shù)（又稱加速度函數(shù)）（k =const） 02100)( 121)(22tktttkttf)(tf)(tf)(tfttt)(tr0000tRa0t)(tk0ttt00)(tr1（a） 階躍函數(shù)（b） 斜坡函數(shù)（c） 拋物函數(shù)（d） 脈沖函數(shù)（e） 單位脈沖函數(shù)（f） 正弦函數(shù)30221)()(skdtekttfLsFst單位拋物函數(shù)單位拋物函數(shù)02100)( 121)(22ttttttf31)(ssF第第7頁頁控制工程基礎(chǔ)

5、控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院（4）單位脈沖函數(shù)）單位脈沖函數(shù)000)(ttt)(tft)(tf00)(tt01tete1t1)()()(0dtetdtettLstst重要性質(zhì)重要性質(zhì) )0()()(fdttft001)()(dttdtt第第8頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院（5）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù))(tft)(tf00)(tt01tete1t)( 1)( 1)(tetetftt0sdteeeLsttt10指數(shù)增長函數(shù)指數(shù)增長函數(shù)sdteeeLsttt10指數(shù)衰減函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù) 指數(shù)增長函數(shù)指數(shù)增長函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù) 第第9頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河

6、科技學(xué)院黃河科技學(xué)院)( 1sin)(tttf)(tft)(tf00)(tt01tete1t220)(21sinsdteeejtLsttjtj（6）正弦函數(shù)）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)）余弦函數(shù))( 1cos)(tttf220)(21cosssdteeetLsttjtj第第10頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院第第11頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院第第12頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院2 2、拉氏變換的運(yùn)算法則、拉氏變換的運(yùn)算法則)()(sFetfLs)()()()(sbGsaFtbgtafL（1 1）線性定理）線性定理（2 2）延遲定

7、理）延遲定理)( tftt)(tf0)( tt0第第13頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院)()()()(0)(0sFdtetfdtetfetfeLtssttt)()(sFtfeLt（3 3）位移定理）位移定理第第14頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院（4 4）相似定理）相似定理)(1)(asFaatfL（5 5）微分定理）微分定理)0()()(fssFtfL第第15頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院微分定理推論微分定理推論)0()0()0()0()()()1()2(21)( nnnnnnfsffsfssFstfL0)0()0()0()1(

8、 nfff特別在零初始條件下特別在零初始條件下 )()()(sFstfLnn第第16頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院（6 6）積分定理）積分定理000)(1)(1)(tttdttfssFsdttfL)(1)(0sFsdttfLt)(1)(00sFsdttfLntnt 當(dāng)初始條件為零時(shí)，則當(dāng)初始條件為零時(shí)，則第第17頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院（7 7）初值定理）初值定理)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)0(ssFfs（8 8）終值定理）終值定理)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(0ssFfs第第18頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程

9、基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院 sFdsdttfL)(ttf（1010）象函數(shù)的積分性質(zhì)象函數(shù)的積分性質(zhì) dssFttfLsttf)(（9 9）象函數(shù)的微分性質(zhì)）象函數(shù)的微分性質(zhì)的拉氏變換的拉氏變換的拉氏變換的拉氏變換第第19頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院（1111）卷積定理）卷積定理dtgftgtf)()()(*)(tdtgf0)()()()()()()(*)(sFsGsGsFtgtfL第第20頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院二、二、 拉氏反變換及其計(jì)算方法拉氏反變換及其計(jì)算方法jcjcstdsesFjsFLtf)(21)()(1式中式中表示拉普拉斯反

10、變換的符號(hào)表示拉普拉斯反變換的符號(hào)1L1 1、拉氏反變換、拉氏反變換第第21頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院2 2、拉氏反變換的計(jì)算方法、拉氏反變換的計(jì)算方法第第22頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院 應(yīng)用部分分式展開式計(jì)算拉氏逆變換的應(yīng)用部分分式展開式計(jì)算拉氏逆變換的一般步驟一般步驟 ：（1 1）計(jì)算有理分式函數(shù)）計(jì)算有理分式函數(shù)F F（s s）的極點(diǎn)；）的極點(diǎn)；（2 2）根據(jù)極點(diǎn)把）根據(jù)極點(diǎn)把F F（s s）的分母多項(xiàng)式進(jìn)行因）的分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解、并進(jìn)一步把式分解、并進(jìn)一步把F F（s s）展開成部分分式；）展開成部分分式；（3 3）對(duì)）對(duì)F F

11、（s s）的部分分式展開式兩邊同時(shí)進(jìn)）的部分分式展開式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏逆變換。行拉氏逆變換。第第23頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院1）當(dāng)解出 為單根時(shí)，對(duì) F(s) 作因式分解：ips ),.,2 , 1(ni nnnpskpskpskpspspssNsF.221121 ipsiipssFk)(其中第第24頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院例例651)(2ssssF0652 ss21s解：解：（1）F（s）的極點(diǎn)的極點(diǎn)32s（2）對(duì)）對(duì)F（s）的分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解、并把的分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解、并把F（s）展開展開成部分分式成部分分式32) 3)(2

12、(1651)(212scscsssssssF1)3)(2(1)2(21sssssc2) 3)(2(1) 3(32sssssc第第25頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院3221651)(2ssssssF（3）進(jìn)行拉氏反變換）進(jìn)行拉氏反變換tteesLsLsFLtf3211123221)()(第第26頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院2）當(dāng)解出s有重根時(shí)，對(duì)F(s)作因式分解：)()()()()()(11111111nnrrrrrrpsapsapsbpsbpsbsF 1)(1psrrpssFb 1)(11psrrpssFdsdb 1)(!11psrjjjrpss

13、Fdsdjb 1)()!1(11111psrrrpssFdsdrb其中 第第27頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院例例) 3()2(1)(3ssssF3)2()2(2)3()2(1)(4332213scscscscssssF1)3(123sssc2)3(122sssdsdc2) 3(1212221sssdsdc解：解：2) 3()2(1) 3(334sssssc第第28頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院3）當(dāng)解出 s 有共軛復(fù)根時(shí)，對(duì) F(s) 作因式分解：nnpsapsapspsasasF 332121)()( 11)(2121pspspspssFasa第

14、第29頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院例例)52(1)(2sssssF52)52(1)(23212sscscscsssssF212252jssss解：解：兩邊同乘以兩邊同乘以32)21(21121cjcjj512c533c51)52(1021ssssssc得得乘共軛(-1-j2)第第30頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院3)2()2(2)3()2(1)(4332213scscscscssssF32)2(1)2(222) 3()2(1)(323ssssssssFtteettsLsLsLsLtf3221312112)2122(32)2(1)2(222)(tte

15、ettsLsLsLsLtf3221312112)2122(32)2(1)2(222)(第第31頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院52)52(1)(23212sscscscsssssF4) 1(44) 1() 1(4) 1(3212121sLssLssL)2sin(5)2sin22cos(tettett523151)52(1)(22sssssssssF21tan其中其中第第32頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院 tessLsLtft2sin555141351151211第第33頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院 用MATLAB展開部分分式 p

16、=1 -12 0 25 126p = 1 -12 0 25 126設(shè)：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()( 在MATLAB中，多項(xiàng)式通過系數(shù)行向量表示，系數(shù)按降序排列。如要輸入多項(xiàng)式：x4-12x3+25x+126第第34頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項(xiàng)式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 anMATLAB提供函數(shù)residue用于實(shí)現(xiàn)部分分式展開，其句法為：r, p, k = residue(num, den)其中，r, p分別為展開后的留數(shù)及極點(diǎn)構(gòu)成的

17、列向量、k為余項(xiàng)多項(xiàng)式行向量。第第35頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院若無重極點(diǎn)，MATLAB展開后的一般形式為：)()()()2() 1 () 1 () 1 ()(sKnpsnrpsrpsrsF若存在q重極點(diǎn)p(j)，展開式將包括下列各項(xiàng)：qjpsqjrjpsjrjpsjr)()1()()1()()(2第第36頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院例例：求的部分分式展開。2450351026523911)(234234sssssssssF num=1 11 39 52 26; den=1 10 35 50 24; r,p,k=residue(num,den)

18、r = 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k = 1展開式為：115 . 02335 . 241)(sssssF第第37頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院例例：求的部分分式展開。27956510)(23425ssssssssF num=1 0 0 10 5 6; den=1 5 9 7 2; r,p,k=residue(num,den)r = -4.0000 20.0000 -20.0000 10.0000p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000k = 1

19、 -5展開式為：5) 1(10) 1(2012024)(32ssssssF第第38頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院num, den = residue(r, p, k)函數(shù) residue 也可用于將部分分式合并，其句法為： r = 1 2 3 4; p = -1 -2 -3 -4; k = 0; num, den = residue(r, p, k)num = 10 70 150 96den = 1 10 35 50 24例例：24503510961507010)(23423ssssssssF第第39頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院l 應(yīng)用拉氏變換解線

20、性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟q 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方 程； q 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表 達(dá)式；q 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。 第第40頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第第41頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院解解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換： )0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL 實(shí)例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi (t) =1(t)，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求xo(t)。第第42頁頁控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)黃河科技學(xué)院黃河科技學(xué)院) 0() 0() 5()() 65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttx