利用常數(shù)分離法解決一類(lèi)恒成立問(wèn)題

1、利用常數(shù)分離法解決一類(lèi)恒成立問(wèn)題 甌海二高 翁德旺教學(xué)目標(biāo)：1會(huì)求三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如，則 ；2會(huì)求函數(shù)形如在給定區(qū)間上的最值；3會(huì)用基本不等式：.教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：利用常數(shù)分離法解決含一個(gè)參數(shù)的二次函數(shù)恒成立問(wèn)題；難點(diǎn)：如何解決形如：或的問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程：一、引入：1通過(guò)這兩年的高考樣卷和一些模擬卷，發(fā)現(xiàn)解答題中通常會(huì)出現(xiàn)有關(guān)恒成立的問(wèn)題，恒成立問(wèn)題類(lèi)型很多,這節(jié)課來(lái)研究其中一類(lèi)恒成立問(wèn)題的解法。（引出課題）二、新課：基礎(chǔ)自測(cè):引例.已知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是（ ） 設(shè)置說(shuō)明：(1)已知單調(diào)性可得出，學(xué)生的可能錯(cuò)誤是，又是導(dǎo)函數(shù)在上恒大于等于O，也是恒成立問(wèn)題）(2)通過(guò)學(xué)生對(duì)在上

2、恒成立問(wèn)題的解法討論，學(xué)生的可能解法有: 解法2：記，求其最小值大于等于0即可?？梢酝ㄟ^(guò)配方法或求導(dǎo)來(lái)求出在上的最小值.（3）通過(guò)對(duì)以上解法的更正（也許學(xué)生討論會(huì)有不周到之處），追問(wèn)學(xué)生是否有不對(duì)a進(jìn)行討論的方法？可以讓學(xué)生回答或教師得出本堂課要學(xué)習(xí)的方法: 常數(shù)分離法。（4）通過(guò)對(duì)以上這幾種方法的對(duì)比，得出常數(shù)分離法的優(yōu)點(diǎn)，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。（5）對(duì)該引例進(jìn)行小結(jié)：若在上遞增在上恒成立；使用基本不等式需滿(mǎn)足：“一正、二定、三相等”。典例剖析：例1已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，.（1）若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)滿(mǎn)足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1） 即對(duì)一切恒成立 學(xué)生回

3、答：解法1：即對(duì)一切恒成立 記在上恒成立有在上恒大于0，即在上單調(diào)遞增 可能的陷阱：學(xué)生會(huì)回答用基本不等式去解決，利用基本不等式解決時(shí)要注意適用的條件：“一正、二定、三相等、四檢驗(yàn)”會(huì)發(fā)現(xiàn)取不到等號(hào)。另解：由幾何畫(huà)析給出的圖象，知在上為增函數(shù)，所以及，變式1：若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：即對(duì)一切恒成立 記當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，于 另解：由幾何畫(huà)析給出的圖象，知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以及，變式2：若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：若則恒成立， 若同變式1 若則 綜上所述：（學(xué)生思考回答，若有錯(cuò)誤由學(xué)生糾正，在下結(jié)論時(shí)，也許學(xué)生會(huì)回答將以上三種情況用集合并起來(lái)，這里要重點(diǎn)指出，應(yīng)該是

4、用集合交起來(lái)）（3）即對(duì)一切恒成立同變式2的解法：若，則不滿(mǎn)足 若，則對(duì)一切恒成立若，則對(duì)一切恒成立 綜上所述：另解：可以用改換變量的方法去考慮，這樣會(huì)更加簡(jiǎn)便，即把看作關(guān)于a的一次函數(shù)，這樣就得出：三、隨堂練習(xí)：已知函數(shù),.若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：即 若，則恒成立， 若，則，綜上所述：四、課堂小結(jié)1用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為形如：形如：或的問(wèn)題；2可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤：（1）變形 （2）基本不等式五、課后作業(yè)：設(shè)函數(shù)，其中常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。教后反思：設(shè)計(jì)本堂課的出發(fā)點(diǎn)有兩個(gè)：一是要與課題研究相關(guān)，體現(xiàn)陷阱導(dǎo)學(xué)稿的作用，二是要與高三現(xiàn)階段

5、的二輪復(fù)習(xí)相呼應(yīng)。參考了這兩年的高考樣卷與一些模擬卷，大題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)恒成立問(wèn)題，學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的解決能力還有待加強(qiáng)。因此，設(shè)計(jì)了本節(jié)課的主線(xiàn)是以三次函數(shù)為研究對(duì)象，經(jīng)過(guò)求導(dǎo)變?yōu)槎魏瘮?shù)的恒成立問(wèn)題，再用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為形如：或的恒成立問(wèn)題，而解決這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求的最值問(wèn)題。具體過(guò)程是以基礎(chǔ)自測(cè)這個(gè)問(wèn)題出發(fā)：通過(guò)對(duì)學(xué)生的多種解法進(jìn)行比較，得出使用分離常數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于分離后常數(shù)a的另一邊是形如的函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)基本不等式或利用導(dǎo)數(shù)或觀察圖象等方法進(jìn)行求值。學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤為：函數(shù)單調(diào)遞增得出其導(dǎo)數(shù)大于等于0，使用基本不等式時(shí)，沒(méi)有對(duì)等號(hào)進(jìn)行檢驗(yàn)，變形時(shí)未注意是否變號(hào)？例子（1）中設(shè)置變式的目的是：一個(gè)是提醒學(xué)生變形時(shí)要注意是否變號(hào)，另一個(gè)是通過(guò)使用基本不等式時(shí)，有時(shí)取到等號(hào)