利用常數(shù)分離法解決一類恒成立問題

1、利用常數(shù)分離法解決一類恒成立問題 甌海二高 翁德旺教學目標：1會求三次函數(shù)的導數(shù)，如，則 ；2會求函數(shù)形如在給定區(qū)間上的最值；3會用基本不等式：.教學重、難點：重點：利用常數(shù)分離法解決含一個參數(shù)的二次函數(shù)恒成立問題；難點：如何解決形如：或的問題.教學過程：一、引入：1通過這兩年的高考樣卷和一些模擬卷，發(fā)現(xiàn)解答題中通常會出現(xiàn)有關恒成立的問題，恒成立問題類型很多,這節(jié)課來研究其中一類恒成立問題的解法。（引出課題）二、新課：基礎自測:引例.已知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是（ ） 設置說明：(1)已知單調(diào)性可得出，學生的可能錯誤是，又是導函數(shù)在上恒大于等于O，也是恒成立問題）(2)通過學生對在上

2、恒成立問題的解法討論，學生的可能解法有: 解法2：記，求其最小值大于等于0即可?？梢酝ㄟ^配方法或求導來求出在上的最小值.（3）通過對以上解法的更正（也許學生討論會有不周到之處），追問學生是否有不對a進行討論的方法？可以讓學生回答或教師得出本堂課要學習的方法: 常數(shù)分離法。（4）通過對以上這幾種方法的對比，得出常數(shù)分離法的優(yōu)點，引起學生的學習興趣。（5）對該引例進行小結(jié)：若在上遞增在上恒成立；使用基本不等式需滿足：“一正、二定、三相等”。典例剖析：例1已知函數(shù)的導函數(shù)為，.（1）若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對滿足的一切的值，都有，求實數(shù)的取值范圍.解：（1） 即對一切恒成立 學生回

3、答：解法1：即對一切恒成立 記在上恒成立有在上恒大于0，即在上單調(diào)遞增 可能的陷阱：學生會回答用基本不等式去解決，利用基本不等式解決時要注意適用的條件：“一正、二定、三相等、四檢驗”會發(fā)現(xiàn)取不到等號。另解：由幾何畫析給出的圖象，知在上為增函數(shù)，所以及，變式1：若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；解：即對一切恒成立 記當且僅當即時，于 另解：由幾何畫析給出的圖象，知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以及，變式2：若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；解：若則恒成立， 若同變式1 若則 綜上所述：（學生思考回答，若有錯誤由學生糾正，在下結(jié)論時，也許學生會回答將以上三種情況用集合并起來，這里要重點指出，應該是

4、用集合交起來）（3）即對一切恒成立同變式2的解法：若，則不滿足 若，則對一切恒成立若，則對一切恒成立 綜上所述：另解：可以用改換變量的方法去考慮，這樣會更加簡便，即把看作關于a的一次函數(shù)，這樣就得出：三、隨堂練習：已知函數(shù),.若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍.解：即 若，則恒成立， 若，則，綜上所述：四、課堂小結(jié)1用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為形如：形如：或的問題；2可能出現(xiàn)的錯誤：（1）變形 （2）基本不等式五、課后作業(yè)：設函數(shù)，其中常數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。教后反思：設計本堂課的出發(fā)點有兩個：一是要與課題研究相關，體現(xiàn)陷阱導學稿的作用，二是要與高三現(xiàn)階段

5、的二輪復習相呼應。參考了這兩年的高考樣卷與一些模擬卷，大題中經(jīng)常會出現(xiàn)恒成立問題，學生對這類問題的解決能力還有待加強。因此，設計了本節(jié)課的主線是以三次函數(shù)為研究對象，經(jīng)過求導變?yōu)槎魏瘮?shù)的恒成立問題，再用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為形如：或的恒成立問題，而解決這類問題的實質(zhì)是求的最值問題。具體過程是以基礎自測這個問題出發(fā)：通過對學生的多種解法進行比較，得出使用分離常數(shù)法的優(yōu)點，對于分離后常數(shù)a的另一邊是形如的函數(shù)的最值問題，通過基本不等式或利用導數(shù)或觀察圖象等方法進行求值。學生可能會出現(xiàn)的錯誤為：函數(shù)單調(diào)遞增得出其導數(shù)大于等于0，使用基本不等式時，沒有對等號進行檢驗，變形時未注意是否變號？例子（1）中設置變式的目的是：一個是提醒學生變形時要注意是否變號，另一個是通過使用基本不等式時，有時取到等號