北京四中網(wǎng)校參數(shù)方程與極坐標(biāo)

1、參數(shù)方程與極坐標(biāo)目標(biāo)認(rèn)知考試大綱要求：1. 理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；2. 能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；3. 能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義；4. 了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別；5. 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義，能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、

2、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程；6. 了解平擺線、漸開線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程，了解其他擺線的生成過程，了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用，了解擺線在表示行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用。重點(diǎn)、難點(diǎn)：1理解參數(shù)方程的概念，了解常用參數(shù)方程中參數(shù)的意義，掌握參數(shù)方程與普通方程的互化。2理解極坐標(biāo)的概念，掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；直線和圓的極坐標(biāo)方程。知識(shí)要點(diǎn)梳理:知識(shí)點(diǎn)一：極坐標(biāo)1極坐標(biāo)系平面內(nèi)的一條規(guī)定有單位長度的射線，為極點(diǎn)，為極軸，選定一個(gè)長度單位和角的正方向（通常取逆時(shí)針方向），這就構(gòu)成了極坐標(biāo)系。2極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)平面上一點(diǎn)到極點(diǎn)的距離稱為極徑，與軸的夾角稱為極角，有序?qū)崝?shù)對(duì)就叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)。（

3、1）一般情況下，不特別加以說明時(shí)表示非負(fù)數(shù)； 當(dāng)時(shí)表示極點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的位置這樣確定：作射線， 使，在的反向延長線上取一點(diǎn)，使得，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)與點(diǎn)（）所表示的是同一個(gè)點(diǎn)，即角與的終邊是相同的。 綜上所述，在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與其點(diǎn)的極坐標(biāo)之間不是一一對(duì)應(yīng)而是一對(duì)多的對(duì)應(yīng)， 即，, 均表示同一個(gè)點(diǎn).3. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 當(dāng)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系在特定條件下（極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；極軸與軸正半軸重合；長度單位相同），平面上一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)有如下關(guān)系：直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)：；極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)：.此即在兩個(gè)坐標(biāo)系下，同一個(gè)點(diǎn)的兩種坐標(biāo)間的互化關(guān)系.4. 直線的極坐標(biāo)方程：（1）過極點(diǎn)傾斜角

4、為的直線：或?qū)懗杉? （2）過垂直于極軸的直線：5. 圓的極坐標(biāo)方程：（1）以極點(diǎn)為圓心，為半徑的圓：. （2）若，以為直徑的圓：知識(shí)點(diǎn)二：柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系：1. 柱坐標(biāo)系的定義：空間點(diǎn)與柱坐標(biāo)之間的變換公式：2. 球坐標(biāo)系的定義：空間點(diǎn)與球坐標(biāo)之間的變換公式：知識(shí)點(diǎn)三：參數(shù)方程1. 概念：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)：，并且對(duì)于的每一個(gè)允許值，方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系間的關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)（簡稱參數(shù)）.相對(duì)于參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程。 知識(shí)點(diǎn)四：常見曲

5、線的參數(shù)方程1直線的參數(shù)方程（1）經(jīng)過定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為： （為參數(shù)）；其中參數(shù)的幾何意義：，有，即表示直線上任一點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離。（當(dāng)在上方時(shí)，在下方時(shí)，)。 （2）過定點(diǎn)，且其斜率為的直線的參數(shù)方程為： （為參數(shù)，為為常數(shù)，）；其中的幾何意義為：若是直線上一點(diǎn)，則。2圓的參數(shù)方程（1）已知圓心為，半徑為的圓的參數(shù)方程為： （是參數(shù)，）； 特別地當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，其參數(shù)方程為（是參數(shù)）。 （2）參數(shù)的幾何意義為：由軸的正方向到連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的半徑所成的角。 （3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地指出圓心和半徑，圓的一般方程突出方程形式上的特點(diǎn)，圓的參數(shù)方程則直接指出圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的

6、特點(diǎn)。3. 橢圓的參數(shù)方程（1）橢圓（）的參數(shù)方程（為參數(shù)）。（2）參數(shù)的幾何意義是橢圓上某一點(diǎn)的離心角。 如圖中，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角為（過作軸， 交大圓即以為直徑的圓于），切不可認(rèn)為是。（3）從數(shù)的角度理解，橢圓的參數(shù)方程實(shí)際上是關(guān)于橢圓的一組三角代換。 橢圓上任意一點(diǎn)可設(shè)成， 為解決有關(guān)橢圓問題提供了一條新的途徑。4. 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線（,）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。5. 拋物線的參數(shù)方程拋物線()的參數(shù)方程為（是參數(shù)）。參數(shù)的幾何意義為：拋物線上一點(diǎn)與其頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，即。6. 圓的漸開線與擺線的參數(shù)方程：（1）圓的漸開線的參數(shù)方程（是參數(shù)）；（2）擺線的參數(shù)方程 （是參數(shù)）。規(guī)律方法

7、指導(dǎo)：1、把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒? 常見的消參方法有：代入消法 ；加減消參；平方和（差）消參法；乘法消參法；比值消參法；利用恒等式消參法；混合消參法等. 2、把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r(jià)性， 注意方程中的參數(shù)的變化范圍。經(jīng)典例題精析類型一：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程1在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_ ，關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_，思路點(diǎn)撥:畫出極坐標(biāo)系，結(jié)合圖形容易確定。解析：它們依次是或；（）. 示意圖如下：總結(jié)升華：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，抓住對(duì)稱點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的極徑與極角

8、的聯(lián)系，同時(shí)應(yīng)注意點(diǎn)的極坐標(biāo)的多值性。舉一反三：【變式】已知點(diǎn)，則點(diǎn) （1）關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_， （2）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_ 。【答案】(1) 由圖知：,，所以；(2) 直線即，所以或（）2. 化下列極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線。(1) ； (2) ；(3) ； (4) .思路點(diǎn)撥:依據(jù)關(guān)系式，對(duì)已有方程進(jìn)行變形、配湊。解析：（1）方程變形為, 或，即或， 故原方程表示圓心在原點(diǎn)半徑分別為1和4的兩個(gè)圓。(2) 變形得,即， 故原方程表示直線。(3) 變形為, 即，整理得，故原方程表示中心在，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。（4）變形為, ,即, 故原方程表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上

9、的拋物線?？偨Y(jié)升華：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，關(guān)鍵是依據(jù)關(guān)系式，把極坐標(biāo)方程中的用、表示。舉一反三：【變式1】把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明它們是什么曲線.(1)； (2), 其中；(3) (4) 【答案】：(1) ，即,故原方程表示是圓.(2), ， ，或，或故原方程表示圓和直線.(3)由，得即，整理得 故原方程表示拋物線.(4)由得,，即故原方程表示圓.【變式2】圓的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程為_. 【答案】將代入方程得.3. 求適合下列條件的直線的極坐標(biāo)方程：（1）過極點(diǎn)，傾斜角是；（2）過點(diǎn)，并且和極軸垂直。思路點(diǎn)撥:數(shù)形結(jié)合，利用圖形可知過極點(diǎn)傾斜角為的直線為.過點(diǎn)垂直于

10、極軸的直線為；或者先寫出直角坐標(biāo)方程，然后再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程。解析：（1）由圖知，所求的極坐標(biāo)方程為； （2）（方法一）由圖知，所求直線的方程為，即. （方法二）由圖知，所求直線的方程為，即.總結(jié)升華：抓住圖形的幾何性質(zhì)，尋找動(dòng)點(diǎn)的極徑與極角所滿足的條件，從而可以得到極坐標(biāo)方程.也可以先求出直角坐標(biāo)方程 運(yùn)用所得的方程形式，可以更簡捷地求解.舉一反三：【變式1】已知直線的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是_?！敬鸢浮浚?。（方法一）把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：，則原點(diǎn)（極點(diǎn)）到該直線的距離是；（方法二）直線是將直線繞極點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得到，易知，極點(diǎn)到直線的距離為。【變式2】解下列各題（

11、1）在極坐標(biāo)系中，以為圓心，半徑為1的圓的方程為_，平行于極軸的切線方程為_；（2）極坐標(biāo)系中，兩圓和的圓心距為_ ；（3）極坐標(biāo)系中圓的圓心為_?！敬鸢浮浚?）（方法一）設(shè)在圓上，則，由余弦定理得 即，為圓的極坐標(biāo)方程。其平行于極軸的切線方程為和。 （方法二）圓心的直角坐標(biāo)為，則符合條件的圓方程為，圓的極坐標(biāo)方程：整理得，即.又圓的平行于（軸）極軸的切線方程為：或，即和（2）（方法一）的圓心為，的圓心為，兩圓圓心距為. （方法二）圓即的圓心為， 圓即的圓心為， 兩圓圓心距為.（3）（方法一）令得，圓心為。 （方法二）圓即的圓心為，即.類型二：參數(shù)方程與普通方程互化4把參數(shù)方程化為普通方程(1

12、) (，為參數(shù))； （2） (，為參數(shù)）；（3）(,為參數(shù))； （4） (為參數(shù)).思路點(diǎn)撥: （1）將第二個(gè)式子變形后，把第一個(gè)式子代入消參；（2）利用三角恒等式進(jìn)行消參；（3）觀察式子的結(jié)構(gòu)，注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因而可以采取加減消參的辦法；或把用表示，反解出后再代入另一表達(dá)式即可消參；（4）此題是（3）題的變式，僅僅是把換成而已，因而消參方法依舊，但需要注意、的范圍。解析：（1），把代入得；又 , , 所求方程為：(,)（2）,把代入得. 又， ,. 所求方程為(,).（3）（法一）：, 又，, 所求方程為(,).（法二）：由得,代入,（余略）.（4）由 得, ,由得, 當(dāng)時(shí)，

13、；當(dāng)時(shí)，從而. 法一:，即（），故所求方程為（）法二: 由 得，代入得，即再將代入得，化簡得.總結(jié)升華：1. 消參的方法主要有代入消參，加減消參，比值消參，平方消參，利用恒等式消參等。2.消參過程中應(yīng)注意等價(jià)性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來說應(yīng)分別給出、的范圍.在這過程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法.舉一反三：【變式1】化參數(shù)方程為普通方程。（1）(t為參數(shù)) ； （2）（t為參數(shù)）.【答案】：（1）由得，代入化簡得. , ,. 故所求方程為（，）（2）兩個(gè)式子相除得，代入得，即. ，故所求方程為().【變式2】（1）圓的半徑為_ ；（2）參數(shù)方程(表示的曲線為

14、（ ）。 A、雙曲線一支，且過點(diǎn) B、拋物線的一部分，且過點(diǎn) C、雙曲線一支，且過點(diǎn)D、拋物線的一部分，且過點(diǎn)【答案】：（1）其中， 半徑為5。（2），且，因而選B?！咀兪?】（1）直線: (t為參數(shù))的傾斜角為（ ）。A、 B、 C、 D、 （2）為銳角，直線的傾斜角（ ）。 A、 B、 C、 D、【答案】：（1），相除得，傾斜角為，選C。（2），相除得， 傾角為，選C。5已知曲線的參數(shù)方程（、為常數(shù)）。 （1）當(dāng)為常數(shù)()，為參數(shù)()時(shí)，說明曲線的類型； （2）當(dāng)為常數(shù)且，為參數(shù)時(shí)，說明曲線的類型。思路點(diǎn)撥:通過消參，化為普通方程，再做判斷。解析：（1）方程可變形為（為參數(shù)，為常數(shù)）取兩式

15、的平方和，得 曲線是以為圓心，為半徑的圓。 （2）方程變形為（為參數(shù)，為常數(shù)）, 兩式相除，可得，即, 曲線是過點(diǎn)且斜率的直線。總結(jié)升華：從本例可以看出：某曲線的參數(shù)方程形式完全相同，但選定不同的字母為參數(shù)，則表示的意義也不相同，表示不同曲線。因此在表示曲線的參數(shù)方程時(shí)，一般應(yīng)標(biāo)明選定的字母參數(shù)。舉一反三：【變式】已知圓錐曲線方程為。（1）若為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離。（2）若為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的離心率?！敬鸢浮浚海?）方程可化為 消去,得： 曲線是拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離即為。（2）方程化為，消去，得， 曲線為橢圓，其中，從而。類型三：其他應(yīng)用6橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為_.思路點(diǎn)撥: 由橢圓的對(duì)稱性知內(nèi)接矩形的各邊平行于兩軸，只需求出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以用來表示面積，再求出最大值。解析：設(shè)橢圓上第一象限的點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)點(diǎn).