角動量與角動量守恒

1、o13-6 3-6 角動量定理、角動量守恒定律角動量定理、角動量守恒定律 一、質(zhì)點的角動量一、質(zhì)點的角動量定義質(zhì)點定義質(zhì)點m相對于參考點相對于參考點o的的角動量角動量m對對o點的位矢點的位矢大小：大?。悍较颍悍较颍喊从沂致菪ò从沂致菪▽τ趫A周運動，對于圓周運動， :LrmvsinLrmv2Lmvrm r:r90LvrmLSoxyz2通常將角動量通常將角動量L就畫在參考點就畫在參考點 上，以示對該點的角動量。上，以示對該點的角動量。角動量的定義也可描述作直線運動的質(zhì)點。角動量的定義也可描述作直線運動的質(zhì)點。注意：注意：LrmvsinLmvrmvdmvLmvrrdLmvd3力矩力矩大小：大?。?/p>

2、方向：方向：垂直于垂直于 和和 組成的平面組成的平面( (右旋關(guān)系右旋關(guān)系) )當(dāng)當(dāng) 但：但：有心力的力矩為零有心力的力矩為零則必有：則必有：定義力定義力F 相對于參考點相對于參考點o的力矩矢量的力矩矢量rF0 / /rrF或或0,F |sinMrFFr MrFrFr F0M rFMFSmroMF r4二、質(zhì)點的角動量定理二、質(zhì)點的角動量定理 是相對于同一參考點而言的。是相對于同一參考點而言的。 角動量定理只適用于慣性系。角動量定理只適用于慣性系。注意：注意：質(zhì)點的角動量質(zhì)點的角動量Lrmvrp()dLdrpdtdtdrdpprdtdtvprFrFMdLMdt0vpML、質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的

3、角動量定理5角動量是否守恒，與參考點的選取有關(guān)。角動量是否守恒，與參考點的選取有關(guān)。三、質(zhì)點的角動量守恒定律三、質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點相對于某點所受的合力矩為零時，其對該點的質(zhì)點相對于某點所受的合力矩為零時，其對該點的角動量保持不變，即角動量保持不變，即角動量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律角動量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律, ,無論無論 是宏觀還是微觀領(lǐng)域。是宏觀還是微觀領(lǐng)域。若若 但但 在某個方向的投影為零，則該方在某個方向的投影為零，則該方 向上的角動量恒。向上的角動量恒。0dLMdtL 0, MM恒矢量恒矢量6例：例：中央開有一小孔的光滑平臺上，有一質(zhì)量為中央開有一小孔的光滑平臺上，

4、有一質(zhì)量為m的小球用細(xì)的小球用細(xì)線系住，線的另一端穿過小孔后掛一質(zhì)量線系住，線的另一端穿過小孔后掛一質(zhì)量m1的重物，當(dāng)小球的重物，當(dāng)小球沿半徑沿半徑r1作勻速圓周運動時重物達到平衡。若在作勻速圓周運動時重物達到平衡。若在m1的下方再掛的下方再掛另一質(zhì)量為另一質(zhì)量為m2的重物，問重新達到平衡時小球作勻速圓周運的重物，問重新達到平衡時小球作勻速圓周運動的角速度動的角速度 2 和半徑和半徑r2是多少？小球的能量改變了多少？是多少？小球的能量改變了多少？解：解：由牛頓定律得由牛頓定律得 相對于小孔，小球所受合力矩為零，故角相對于小孔，小球所受合力矩為零，故角動量守恒：動量守恒：由以上三式解得：由以上三

5、式解得： 211 1m gmr2122 2()mm gmr221122mrmr111/m g mr1m2mmvor7小球能量的變化為：小球能量的變化為：1m2mmvor111m gmr2232222112111121111122rmmmrmrrm22222122111111()()2222Emvmvm rm mmrgrmmm22331212121111mmmmm gmmmr8對整個質(zhì)點系求和：對整個質(zhì)點系求和：四、質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒定律四、質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒定律質(zhì)點系角動量定理質(zhì)點系角動量定理質(zhì)點系角動量守恒定律質(zhì)點系角動量守恒定律內(nèi)力矩可以使

6、角動量在系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點間轉(zhuǎn)移，但不內(nèi)力矩可以使角動量在系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點間轉(zhuǎn)移，但不能改變整個系統(tǒng)的角動量。能改變整個系統(tǒng)的角動量。對質(zhì)點對質(zhì)點i：()iiiidLrFfdt()iiiiiiiiiiidLrFfrFrfdt dLMdt合合外外M合合外外iiLL0iiMLL合合外外恒恒矢矢 0 xyzo0v例：例：如圖，質(zhì)量為如圖，質(zhì)量為m的質(zhì)點以初速的質(zhì)點以初速v0作平拋運動。試作平拋運動。試求質(zhì)點所受的重力對求質(zhì)點所受的重力對o點的力矩。點的力矩。 9解：解：利用角動量定理求解利用角動量定理求解()dLdMrmvdtdt0vv igt j2012rv tigt j2001()()2Lrmvv tigt

7、jm v igtj2012mgv t k0dLMmgv tkdtLrmgvMA10例例：開普勒第二定律：開普勒第二定律：行星到恒星的矢徑在相等的時行星到恒星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等。間內(nèi)掃過的面積相等。試用角動量守恒定律證明之。試用角動量守恒定律證明之。如圖，如圖， t時間內(nèi)行星矢徑掃過的面積：時間內(nèi)行星矢徑掃過的面積： t 很小很小解：解：（證畢）（證畢）行星作有心運動，故角動量守恒行星作有心運動，故角動量守恒,即：即： 為為不變量不變量 。當(dāng)當(dāng)則則111|sinsin222Arlrrr v t 1sin22mrvLttmm 1212 AAtt12,tt 12.AA |rsv t

8、sinLmrvroalrrbL11質(zhì)點力學(xué)的綜質(zhì)點力學(xué)的綜合應(yīng)用舉例合應(yīng)用舉例xyzo12例：例：設(shè)地球半徑和質(zhì)量分別為設(shè)地球半徑和質(zhì)量分別為R和和M，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的小球以的小球以初速初速v0沿地球表面沿地球表面a點水平飛出，且點水平飛出，且v0方向平行于地軸方向平行于地軸oy。設(shè)小球軌跡與地軸相交于設(shè)小球軌跡與地軸相交于c點（點（ ），求小球在，求小球在c點點的速度方向的速度方向 。忽略地球自轉(zhuǎn)和空氣阻力。忽略地球自轉(zhuǎn)和空氣阻力。解：解：小球在有心力作用下運動，故角動量守恒。且系統(tǒng)機小球在有心力作用下運動，故角動量守恒。且系統(tǒng)機械能守恒（萬有引力為保守力）。械能守恒（萬有引力為保守力）。

9、依此列方程：依此列方程：, 3acrR rR2021212accmMmvGrmMmvGr0accrmvrmv3crRcvca0vcrar13解得解得22011223cmMmMmvGmvGRR0accrmvrmv2043cGMvvR03sincvv0sin3cvv0020arcsin3 arcsin912/cvvvvGMRxyzocvca0vcrarvdmMu14例：例：運動的吊斗中的煤以速率運動的吊斗中的煤以速率 dm/dt 落入總質(zhì)量為落入總質(zhì)量為M的運煤車中。若運煤車和吊斗同向運動的速率分別為的運煤車中。若運煤車和吊斗同向運動的速率分別為v和和u，問為使車保持勻速前進，應(yīng)如何給車提供動力，

10、問為使車保持勻速前進，應(yīng)如何給車提供動力（設(shè)摩擦阻力為零）？（設(shè)摩擦阻力為零）？x解：解：dt時間內(nèi)，有質(zhì)量時間內(nèi)，有質(zhì)量dm的煤落入車中。以的煤落入車中。以M和和dm組成系統(tǒng)，則汽車牽引力組成系統(tǒng)，則汽車牽引力的沖量等于的沖量等于dm落入前、后落入前、后系統(tǒng)水平方向動量的增量：系統(tǒng)水平方向動量的增量：21Fdtdppp1pMvudm2()pMdm vF15討論：討論：牽引力牽引力(1)(1)制動力制動力(2)(2)動量不變動量不變(3)(3)(4)(4)vdmMuxF21()()()dpppMdm vMvudmvu dm0vuF0vuF0vuF()dmFvudt()dpdmFvudtdt()

11、Fdtdpvu dm0dmuFvdtuhMm16例：例：質(zhì)量為質(zhì)量為M、傾角為、傾角為 的斜面體靜止于平面上，斜面上的斜面體靜止于平面上，斜面上又有一質(zhì)量為又有一質(zhì)量為m的滑塊。的滑塊。求求當(dāng)滑塊當(dāng)滑塊m從斜面頂端從斜面頂端h高處由高處由靜止滑至底端時：靜止滑至底端時：(1)(1)斜面體的速度；斜面體的速度；(2)(2) m相對于相對于M的速的速度；度；(3) (3) M和和m的水平位移。忽略摩擦。的水平位移。忽略摩擦。解：解：以以M、m和地球組成的系統(tǒng)水平方向和地球組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒。動量守恒。設(shè)任意時刻設(shè)任意時刻m相對相對M的速率為的速率為v ，M對地的速率為對地的速率為u，則，則

12、m對地的速度為對地的速度為2222cossinxyvvvvuv sinyvv cosxvvuxyvvuv iv jxyuxyvv17依水平方向動量守恒得依水平方向動量守恒得同時系統(tǒng)機械能守恒，故由頂端同時系統(tǒng)機械能守恒，故由頂端h到達底端時有到達底端時有聯(lián)立三方程解得聯(lián)立三方程解得uhMmxyuxyvv222cossinvvuv 0 xmvMucos0m vuMu221122mghmvMu22cos1singhuMMmm18故斜面的水平位移為故斜面的水平位移為設(shè)斜面長度為設(shè)斜面長度為L，則，則uhMmxyuxvvcotmhMmcosMmxLmM00coscosttMMmMmLv dtudtxm

13、m221sinmMghMMmmmcosMmvum19滑塊滑塊m的水平位移為的水平位移為uhMmxyuxvv00(cos)costtmxMxv dtvu dtLxcoscotmLhMmcotcotmhhMmcotMhMmcosxvvu20例：例：質(zhì)量為質(zhì)量為M的滑塊靜止于光滑水平桌面上，一端用不可伸的滑塊靜止于光滑水平桌面上，一端用不可伸長的細(xì)繩連接在墻上，勁度系數(shù)為長的細(xì)繩連接在墻上，勁度系數(shù)為k的輕彈簧固定在滑塊右端。的輕彈簧固定在滑塊右端。質(zhì)量為質(zhì)量為m，初速為，初速為v0的小物在滑塊上滑動的小物在滑塊上滑動( (無摩擦無摩擦) )，最后與彈，最后與彈簧相碰。設(shè)細(xì)繩能承受的最大拉力為簧相碰

14、。設(shè)細(xì)繩能承受的最大拉力為Tm，求：求：( (1) 1)使細(xì)繩斷裂使細(xì)繩斷裂的最小的最小v0值；值；(2 (2) )細(xì)繩斷裂后滑塊細(xì)繩斷裂后滑塊M獲得的最大加速度；獲得的最大加速度；( (3) 3)小小物離開彈簧時相對于桌面的速度為零的條件。物離開彈簧時相對于桌面的速度為零的條件。解解: ( (1) 1)設(shè)細(xì)繩斷裂時彈簧的壓縮量是設(shè)細(xì)繩斷裂時彈簧的壓縮量是l0，則：，則：解得：解得：( (2) 2)設(shè)細(xì)繩被拉斷時小物的速度為設(shè)細(xì)繩被拉斷時小物的速度為v1，則從，則從v0開始到細(xì)繩被拉斷，開始到細(xì)繩被拉斷，系統(tǒng)機械能守恒：系統(tǒng)機械能守恒：同時應(yīng)有：同時應(yīng)有：0mTkl22001122mvkl20

15、/mvTmk222010111222mvmvkl0vkmM21當(dāng)彈簧繼續(xù)被壓縮，達最大壓縮量當(dāng)彈簧繼續(xù)被壓縮，達最大壓縮量l 時彈力最大，滑塊獲得時彈力最大，滑塊獲得最大加速度，而且此時小物與滑塊具有相同速度，設(shè)其為最大加速度，而且此時小物與滑塊具有相同速度，設(shè)其為v2。過程動量守恒，所以過程動量守恒，所以又因從又因從 ，系統(tǒng)機械能守恒，所以，系統(tǒng)機械能守恒，所以0vkmM2220100111, 222mmvmvklTkl2210mTvvmk12()mvmM v22202111()222mvMm vkl02vv22由以上聯(lián)立解得：由以上聯(lián)立解得：滑塊滑塊M的最大加速度：的最大加速度：( (3) 3)當(dāng)彈