大一高數(shù)上冊

1、復(fù)習(xí)提綱（函數(shù)、極限與連續(xù)）一、 函數(shù)有界函數(shù)，周期函數(shù)，奇偶函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，顯函數(shù)，隱函數(shù)，初等函數(shù)，分段函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，積分上限函數(shù)。1 定義域：使函數(shù)解析式有意義的的取值范圍1） 分式：2） 根式開偶次方根：為偶數(shù)），3） 對數(shù)：，4） 反三角函數(shù)：，2 函數(shù)值記法：已知，求例：，求及定義域例：，求及定義域3 奇偶性：關(guān)于原點對稱，若，偶函數(shù)；，奇函數(shù) 常見的奇函數(shù)：，；常見的偶函數(shù)：； 注：對任意函數(shù)，偶函數(shù)，為奇函數(shù) 例：已知，試補充在上的表達(dá)式使其在區(qū)間上構(gòu)成偶函數(shù)（偶延拓）4 常見的有界函數(shù)：（常數(shù)）5 周期函數(shù)：，為周期1）的周期為；2）的周期也是（的周期）3）分別是以為

2、周期的函數(shù)，則是以的最小公倍數(shù)為周期的函數(shù)。4）常見函數(shù)的周期：；。二、極限1數(shù)列的極限：（確定常數(shù)）注：若數(shù)列存在極限，稱其收斂；否則稱之為發(fā)散。2. 函數(shù)的極限：1）同時成立；注：等函數(shù)當(dāng)時的極限要分別考慮2）注：用于求分段函數(shù)在分段點處的極限3極限性質(zhì)：惟一性，有界性，保號性 極限存在準(zhǔn)則：單調(diào)有界，夾逼定理4無窮小與無窮大1）無窮小：以零為極限的量稱為無窮小量，即無窮大：（此時極限不存在）；2）無窮大與無窮小的關(guān)系：在自變量的同一變化過程中，若是無窮小且，則是無窮大；若是無窮大，則是無窮小。3）無窮小的運算性質(zhì)：有限個無窮小之和、積仍為無窮小；有界函數(shù)與無窮小之積為無窮小。 4）無窮小

3、的比較：設(shè)（即：為無窮?。┤?，稱是的高階無窮小，記作；若，（），稱與是同階無窮?。蝗?，稱與是等價無窮小，記為5）常用的等價無窮小當(dāng)時，.推廣：當(dāng)時，有6) 等價無窮小應(yīng)用：利用等價無窮小代換求極限設(shè)且存在，則。注：1）只在乘除因子中用，加減運算時不適用，例：不能直接代換。 2）洛必達(dá)法則只是極限存在的充分條件而非必要的。5兩個重要極限1）推廣：當(dāng)時， 這里將換成結(jié)論仍成立當(dāng)時，及 中任意兩個商的極限為1 。2）或推廣：當(dāng)時，（為常數(shù)）當(dāng)時，（為常數(shù)）6洛必達(dá)法則：若，在鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且則：使用法則時注意：只有才能使用，只要是可多次使用；每用完一次，要將式子整理化簡后再用法則；為簡便運算，往往先對

4、等式恒等變形或用等價無窮小代換后再用法則。7與極限有關(guān)的典型例題1）是初等函數(shù)，是其定義域內(nèi)的一點，用代入法：例 2）有理分式函數(shù)的極限例 ，例 3）無窮小與有界函數(shù)之積仍為無窮小例 例 例 4）未定型“”因式分解：約去零因子例 含有根式：有理化例 例 洛必達(dá)法則：（存在）例 例 （先代換，令，再用法則）例 （先代換，令，再用法則）重要極限：例 例 （極限存在部分先計算，能用等價無窮小代換的先代換再用法則）例 （兩個重要極限都用到）5）未定型“”有理函數(shù)用公式：（抓大頭）例洛必達(dá)法則例 例 （不能使用洛必達(dá)）分子分母同除因子：例6) 未定型分式：通分例 含根式：有理化例 作代換：例 7）未定型

5、：化為或例 （化為）例 （化為）例 (化為)8）指數(shù)型：利用對數(shù)恒等式化為：；對還可利用重要極限例 例 例 9）分段函數(shù)在分段點的極限：用左右極限及極限存在的充要條件考慮例 ，求例，求注：若的極限式中含有，特別是的，一定分別求出時的極限，兩者相等，則極限存在，否則不存在。10）數(shù)列無限項和的極限：利用極限存在準(zhǔn)則（夾逼定理）例 11）數(shù)列斂散性的判定和證明例 設(shè)，試證數(shù)列極限存在，并求此極限。12）積分上限函數(shù)的極限：用洛必達(dá)法則例 13）某些特定的極限：用導(dǎo)數(shù)的定義求例 設(shè)，求14）已知極限，求常數(shù)例 ，求例 ，求例 設(shè)，求常數(shù)。15）已知一個極限，求另一個極限例 設(shè)，求例 ，求16）無窮小

6、階的比較例 時，求例 時，求三、連續(xù)1.定義：在點連續(xù)2在處連續(xù)的充要條件： 適用于判斷分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性3基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)函數(shù)。4函數(shù)的間斷點（在點不連續(xù)）：函數(shù)在沒有定義，或，或不存在；6 間斷點的分類：1）第一類間斷點：左右極限存在但不相等（跳躍間斷點）左右極限存在相等，但函數(shù)在該點沒定義（可去間斷點）左右極限存在相等，但不等于函數(shù)值（可去間斷點）2）第二類間斷點：左右極限中至少有一個不存在。7 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（用于證明題中）1）有界性：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得最大值與最小值。2）零點定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且

7、，那么在內(nèi)至少存在一點，使。3）介值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點，那么對于之間的任意一個數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點，使得。8.典型例題1）討論函數(shù)的連續(xù)性例 討論的連續(xù)性。解：，的連續(xù)區(qū)間2）設(shè)，求的間斷點并判別其類型。解：，所以為間斷點；且，所以是第二類間斷點。9.有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的證明題命題證明有兩種方法：1）直接法：其程序是先用最值定理，再用介值定理例 設(shè)在上連續(xù)，且，證明：在內(nèi)至少存在一個，使得，其中為任意常數(shù)。證一：因為在上連續(xù)，所以在上有最大值和最小值,則，由于，于是有，所以由介值定理，在上至少存在一個，使，即。2）間接法：先構(gòu)造輔助函數(shù)，驗證滿足零值定理條件，然

8、后由零值定理得出命題。輔助函數(shù)的作法： 把結(jié)論中的（或）改寫成； 移項，使等式右邊為零，令左邊的式子為，此即為所求的輔助函數(shù)。證二：令，由題設(shè)可知在上連續(xù)，因為，所以當(dāng)時，又，有，所以由零點定理可知，至少存在一個，使，即。例 設(shè)在上連續(xù)，且。證明：在上至少存在一個，使得。復(fù)習(xí)提綱（導(dǎo)數(shù)與微分）一、 導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)的定義1）設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，或 （幾種等價定義）注：求某點處的導(dǎo)數(shù)，尤其是分段函數(shù)在分段點的導(dǎo)數(shù)用第二種等價定義較方便。2）導(dǎo)函數(shù)：；導(dǎo)函數(shù)值（導(dǎo)數(shù)）：，3）若極限不存在，則在點處不可導(dǎo)。2單側(cè)導(dǎo)數(shù)1）或；或；2） 函數(shù)在點處可導(dǎo)的充要條件是注：常用來判別分段函數(shù)在一點的可導(dǎo)性3

9、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義與經(jīng)濟意義1）幾何意義：在點處切線的斜率：過點的切線方程為：；若，法線方程為：若，則切線：；法線：若，則切線：；法線：。2） 物理意義：物體在的瞬時速度：，即。3） 經(jīng)濟意義：在經(jīng)濟學(xué)中稱為邊際函數(shù)。4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)連續(xù)；連續(xù)未必可導(dǎo)，如函數(shù)在點連續(xù)但不可導(dǎo)。5函數(shù)的求導(dǎo)法則 顯函數(shù)直接求，隱函數(shù)兩邊求，抽象函數(shù)復(fù)合求，復(fù)合函數(shù)逐層求，參數(shù)方程分別求，一點處導(dǎo)數(shù)定義，冪指函數(shù)乘除因子對數(shù)求，高階導(dǎo)數(shù)逐階求。二、微分1微分的概念1）定義 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，且也屬于該鄰域。如果函數(shù)的增量，其中是與無關(guān)的常數(shù)，是無窮小量，為較高階的無窮小量，則稱函數(shù)在點處可

10、微分，并稱為函數(shù)在點處的微分。記為或。2） 在點處可微分函數(shù)在點可導(dǎo)，此時。3） 微分的幾何意義：函數(shù)在點處的微分，在幾何上表示當(dāng)自變量有改變量時，曲線在點沿切線的縱坐標(biāo)的改變量。2微分的運算1）微分的基本運算公式：2）一階微分形式的不變性：無論是自變量還是中間變量，都有總成立。3）在點處連續(xù)、有極限以及可微、可導(dǎo)之間的關(guān)系：可微可導(dǎo)連續(xù)有極限3微分在近似計算中的應(yīng)用1）設(shè)在點處可導(dǎo)，則當(dāng)很小時，有2）常用的近似公式：當(dāng)很小時，有， ， ， 三、導(dǎo)數(shù)與微分典型運算1與導(dǎo)數(shù)定義有關(guān)的命題 步驟：1）寫出導(dǎo)數(shù)定義式；2）再湊成要求的定義式例 設(shè)，求例 設(shè)存在，求例 設(shè)在連續(xù)，且，求例 設(shè)對任間有，

11、且，證明當(dāng)時，有例 設(shè)在內(nèi)有定義，對任意，恒有，當(dāng)時，試判斷在處是否存在？2求各類一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）復(fù)合函數(shù)步驟：分解函數(shù)若，則 若，則再將中間變量回代例 ，求例 ，求例 ，求例，設(shè)，求2）隱函數(shù)：步驟：寫明等式兩邊同時對求導(dǎo)，對含有的函數(shù)要先對求導(dǎo)再乘上（要記住是的復(fù)合函數(shù)）解出的表達(dá)式。例 確定，求例 ，求例 ，求3）參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)步驟：先分別求出寫出公式若要求二階的話，先進(jìn)行整理例 設(shè)，求例 設(shè)，求例 設(shè)求4）對數(shù)求導(dǎo)法步驟：等式兩邊同時取對數(shù)等式兩邊同時對求導(dǎo)（即利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法），左邊是整理，將代入。例 ，求例 設(shè)確定是的函數(shù)，求注：若一函數(shù)不能直接用法則或上述方式求得，則將其分成幾

12、個函數(shù)分別求，然后再用法則例 求：（ ）5）求高階導(dǎo)數(shù)步驟：先求出一階，并整理；再求二階，三階等。（每做一次，先整理后再求更高階）例 設(shè)，求例 ，求例 設(shè)，求例 設(shè)，求注：常用高階導(dǎo)數(shù)公式，6）求導(dǎo)數(shù)值 步驟：求出導(dǎo)函數(shù)再將代入例 ，求例 ，求例 ，求及 （注：本題點導(dǎo)數(shù)要用定義求）7）求切法線方程步驟：寫出切點求出，得或（此為參數(shù)方程）寫出切、法線方程公式，再代入例 求在點處的切法線方程。 例 曲線的切線與軸和軸圍成一個圖形，記切點的橫坐標(biāo)為，試求切線方程和平面圖形的面積，當(dāng)切點沿曲線趨于無窮遠(yuǎn)時，該面積的變化趨勢如何？例 已知是周期為的連續(xù)函數(shù)，它在的某鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式，其中是當(dāng)時比高階的

13、無窮小，且在處可導(dǎo)，求曲線在點處的切線方程。 （）例 設(shè)曲線在點處的切線與軸交點坐標(biāo)為，求8）求微分步驟：先求出；例 ，求例 ，求例 設(shè)函數(shù)由方程確定，求9）微分的近似計算步驟：將化成（為一較小的數(shù)），再設(shè)求出，進(jìn)而求出寫出近似公式將代入進(jìn)行計算例 計算10）分段函數(shù)在分段點的連續(xù)與可導(dǎo)性步驟：改寫函數(shù)，寫出其在分段點處函數(shù)值連續(xù)性：驗證，成立則連續(xù)；可導(dǎo)性：驗證，成立則可導(dǎo)。例 ，討論在處連續(xù)與可導(dǎo)性例 設(shè)，試確定的值，使函數(shù)在點連續(xù)可導(dǎo)。例 設(shè)，其中在點處連續(xù)，證明當(dāng)時在 處可導(dǎo).（利用函數(shù)在點處可導(dǎo)的充要條件）11）積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，求例 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求例 設(shè)為連

14、續(xù)函數(shù)，求例 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求，求四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)的單調(diào)性1）如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且，則在內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加；2）如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且，則在內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少。3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間步驟：寫出函數(shù)的定義域求出求出或不存在的點，這些點將定義域分成若干小區(qū)間列表討論在小區(qū)間上的符號正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2函數(shù)的極值函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義1），有，則為一個極大值，是一個極大值點；2），有，則為一個極小值，是一個極小值點；注：極值是考慮函數(shù)在局部范圍內(nèi)取值情況；使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點。3）極值存在的必要條件：設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)且在處取得極值，則。4）極值存在的第一充分條件：設(shè)函數(shù)在的某個去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在處連續(xù)，則當(dāng)?shù)姆栐趦蓚?cè)左正右負(fù)時，為極大值。當(dāng)?shù)姆?/p>