圓周運動中的臨界問題1

1、圓周運動中的臨界問題一、水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題關(guān)于水平面內(nèi)勻速圓周運動的臨界問題，涉及的是臨界速度與臨界力的問題，具體來說，主要是與繩的拉力、彈簧的彈力、接觸面的彈力和摩擦力有關(guān)。圖11、與繩的拉力有關(guān)的臨界問題例1 如圖1示，兩繩系一質(zhì)量為的小球，上面繩長，兩端都拉直時與軸的夾角分別為與，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊，當(dāng)角速度為時，上、下兩繩拉力分別為多大？2、因靜摩擦力存在最值而產(chǎn)生的臨界問題圖2例2 如圖2所示，細繩一端系著質(zhì)量為的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量為的物體，的中心與圓孔距離為，并知與水平面間的最大靜摩擦力為，現(xiàn)讓此平面繞中心軸勻速轉(zhuǎn)動，問轉(zhuǎn)動

2、的角速度滿足什么條件可讓處于靜止?fàn)顟B(tài)。（）3、因接觸面彈力的有無而產(chǎn)生的臨界問題二、豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題對于物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動，中學(xué)物理中只研究物體通過最高點和最低點的情況，并且也經(jīng)常會出現(xiàn)臨界狀態(tài)。1、輕繩模型過最高點如圖所示，用輕繩系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點的情況，與小球在豎直平面內(nèi)光滑軌道內(nèi)側(cè)做圓周運動過最到點的情況相似，都屬于無支撐的類型。臨界條件：假設(shè)小球到達最高點時速度為，此時繩子的拉力（軌道的彈力）剛好等于零，小球的重力單獨提供其做圓周運動的向心力，即，式中的是小球過最高點的最小速度，即過最高點的臨界速度。（1） （剛好到最高點，輕繩無拉力）（2）

3、 （能過最高點，且輕繩產(chǎn)生拉力的作用）（3） （實際上小球還沒有到最高點就已經(jīng)脫離了軌道）例4、如圖4所示，一根輕繩末端系一個質(zhì)量為的小球，繩的長度， 輕繩能夠承受的最大拉力為，現(xiàn)在最低點給小球一個水平初速度，讓小球以輕繩的一端為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運動，要讓小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動且輕繩不斷，小球的初速度應(yīng)滿足什么條件？（）2、輕桿模型過最高點如圖所示，輕桿末端固定一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點的情況，與小球在豎直放置的圓形管道內(nèi)過最到點的情況相似，都屬于有支撐的類型。臨界條件：由分析可知，小球在最高點的向心力是由重力和輕桿（管壁）的作用力的合力提供的，如果在最高點輕桿（管壁

4、）對小球的作用力與重力剛好平衡，那么此時外界提供的向心力為零，即小球過最高點的瞬時速度可以為零，所以小球過最高點的臨界速度為。（1），輕桿（管壁）對小球有向上的支持力，且（2），輕桿（管壁）對小球有向上的支持力，由，可得，隨的增大而減小，（3），重力單獨提供向心力，輕桿（管壁）對小球沒有力的作用（4），輕桿（管壁）對小球施加向下的拉力（壓力），由，可得，且隨著的增大而增大圖5例5、如圖5所示，半徑為，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置，段平直，質(zhì)量為的小球以水平初速度射入圓管。（1）若要小球能從端出來，初速度多大？（2）在小球從端出來瞬間，對管壁的壓力有哪幾種典型情況，初速度各應(yīng)滿足什么條件？3、汽

5、車過拱橋如圖所示，汽車過拱形橋頂時，由汽車的重力和橋面對汽車的支持力的合力提供其最高點的向心力，由，可得，由此可見，橋面對汽車的支持力隨著汽車速度的增大而減小，如果速度增大到某一個值，會出現(xiàn)橋面對汽車的支持力為零，即是汽車安全過拱橋頂?shù)呐R界速度。（1），汽車不會脫離拱形橋且能過最高點（2），因橋面對汽車的支持力為零，此時汽車剛好脫離橋面做平拋運動（3），汽車將脫離橋面，非常危險例6、如圖6所示，汽車質(zhì)量為，以不變的速率通過凸形路面，路面半徑為，若要讓汽車安全行駛，則汽車在最高點的臨界速度是多少?如果汽車通過最高點的速度剛好為臨界速度，那么接下來汽車做什么運動，水平運動的位移是多少？（）例題1解

6、析：（1）當(dāng)角速度很小時，和與軸的夾角都很小，并不張緊。當(dāng)逐漸增大到時，才被拉直（這是一個臨界狀態(tài)），但繩中的張力仍然為零。設(shè)這時的角速度為，則有： 將已知條件代入上式解得（2）當(dāng)角速度繼續(xù)增大時減小，增大。設(shè)角速度達到時，（這又是一個臨界狀態(tài)），則有： 將已知條件代入上式解得所以當(dāng)滿足 ，兩繩始終張緊。本題所給條件，說明此時兩繩拉力都存在。則有： 將數(shù)據(jù)代入上面兩式解得，注意：解題時注意圓心的位置（半徑的大小）。如果時，與軸的夾角小于。如果時，與軸的夾角大于。例題2解析：由分析可知，如果平面不轉(zhuǎn)動，會被拉向圓孔，即不能處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)平面轉(zhuǎn)動的角速度較小時，與水平面保持相對靜止但有著向圓心運

7、動的趨勢，此時水平面對的靜摩擦力方向背向圓心，根據(jù)牛頓第二定律，對于有：，可見隨著靜摩擦力的增大，角速度逐漸減小，當(dāng)靜摩擦力增大到最大值時，角速度減小到最小，即當(dāng)靜摩擦力背向圓心且最大，此時的角速度是最小的臨界角速度，；當(dāng)平面轉(zhuǎn)動的角速度較大時，與水平面保持相對靜止但有著遠離圓心運動的趨勢，此時水平面對的靜摩擦力方向指向圓心，根據(jù)牛頓第二定律，對于有：，可見隨著靜摩擦力的增大，角速度逐漸增大，當(dāng)靜摩擦力增大到最大值時，角速度增大到最大，即當(dāng)靜摩擦力指向圓心且最大，此時的角速度是最大的臨界角速度，。故要讓保持靜止?fàn)顟B(tài)，平面轉(zhuǎn)動的角速度滿足：例題3解析：物體在光滑錐面上繞軸線做勻速圓周運動，通常情

8、況下受重力、繩的拉力和錐面的支持力，正交分解各個力。水平方向： 豎直方向： 由得 由式可以看出，當(dāng)一定時，越大，越小，當(dāng)線速度增大到某一個值時，能使，此時物體與錐面接觸又恰好沒有相互作用，那么就是錐面對物體有無支持力的臨界速度，令式等于零，得（1）因為，物體在錐面上且錐面對物體有支持力，聯(lián)立兩式得（2）因為，物體已離開錐面，但仍繞軸線做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，設(shè)此時繩與軸線間的夾角為，物體僅受重力和拉力的作用，這時有 由兩式得，解析：題目中給出了兩個條件，首先要讓小球能夠做完整的圓周運動，這個條件的實質(zhì)是要求小球能夠過最高點，這是無支撐的類型，小球過最高點的臨界條件是重力提供向心力，此時繩子沒

9、有拉力的作用，即，再從最高點到最低點列動能定理方程，則有， 得，此即小球在最低點的初速度的最小值。第二個條件是繩子不斷，通過分析很容易知道，繩子在最低點最容易斷，只要最低點不斷，其它點都不會斷。所以在最低點有 得所以小球的初速度滿足的條件是例題5解析：（1）小球恰好能達到最高點的條件是，此時需要的初速度為滿足的條件是，由機械能守恒定律得 ：，得, 因此要使小球能從端出來需，故入射速度。（2）小球從出來端出來瞬間，對管壁壓力可以有三種典型情況：剛好對管壁無壓力，此時重力恰好提供向心力，由圓周運動知識由機械能守恒定律： 聯(lián)立解得對下管壁有壓力，此時應(yīng)有，相應(yīng)的入射速度應(yīng)滿足對上管壁有壓力，此時應(yīng)有，相應(yīng)的入射速度應(yīng)滿足例題6解析：此題實際上屬于輕桿