因式分解的常用方法

1、因式分解的常用方法方法介紹多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運(yùn)用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：（1）(a

2、+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三邊，且，則的形狀

3、是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等邊三角形 D等腰直角三角形解： 三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒(méi)有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a，后兩項(xiàng)都含有b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二項(xiàng)為一組； 解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。 第二、三項(xiàng)為一組。解：原式= 原式= = = = =（二）分組后能直接運(yùn)用公式例3、分解因式：分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，

4、第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式= = =例4、分解因式： 解：原式= = =四、十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1； （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。例5、分解因式：分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 1×2+1×3=5用此

5、方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式條件：（1） （2） （3） 分解結(jié)果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =練習(xí)8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、 例10、 1 -

6、2y 把看作一個(gè)整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=練習(xí)9、分解因式：（1） （2）五、換元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）設(shè)2005=，則原式= = =（2）型如的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。 原式=設(shè)，則原式= =例14、分解因式（1）觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=設(shè)，則原式= = = =（2）解：原式= 設(shè)，則 原式= =六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。例15、分解因式（1） 解法1拆項(xiàng)。 解法2添項(xiàng)。原式= 原式= = = = = = =（2）解：原式=七、待定系數(shù)法。例16、分解因式分析：原式的前3項(xiàng)可以分為，則原多項(xiàng)式必定可分為解：設(shè)=對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得，解得原式=例17、（1）當(dāng)為何值時(shí)，多項(xiàng)式能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。 （2）如果有兩個(gè)因式為和，求的值。（1）分析：前兩項(xiàng)可以分解為，故此多項(xiàng)式分解的形式必為解：