基于一元線性回歸數(shù)學模型的簡單應用方法

1、基于一元線性回歸數(shù)學模型的簡單應用方法劉亞陽（天津醫(yī)科大學生物醫(yī)學工程學院09級生醫(yī)二班，天津 300070）摘要：人們經(jīng)常用已知系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)對數(shù)據(jù)進行擬合，并找出最佳擬合直線，對數(shù)據(jù)進行更為精準的估測。回歸分析方法是尋求統(tǒng)計規(guī)律的重要方法之一，本文針對一元線性回歸模型進行研究，用最小二乘法對參數(shù)進行估計。同時，根據(jù)已給出的24組纖維樣品的拉伸長度和強度數(shù)據(jù)建立模型，從拉伸倍數(shù)預測強度，并運用MATLAB對已建立的一元線性回歸數(shù)學模型進行檢驗，剔除異常點，用剩余的點重新計算，用經(jīng)過檢驗的數(shù)學模型預測，使所得到結(jié)果更加符合真實數(shù)據(jù)的估計值。關鍵詞：一元線性回歸模型；最小二乘法；預測；擬合直線引言

2、隨著現(xiàn)今的發(fā)展，人們需要對各個行業(yè)的各種發(fā)展和變化趨勢做出預測，這時需要建立一個準確簡練數(shù)學回歸模型，有助于對將發(fā)生的變化進行準確預測。本論文主要向大家介紹較為簡單的一元線性回歸數(shù)學模型，以某種合成纖維的強度和拉伸倍數(shù)之間的關系為例，建立一元線性回歸數(shù)學模型，并運用MATLAB對已建立的模型進行檢驗，剔除異常點重新計算，最終得到更為精準的數(shù)學模型。1實驗對象及方法11實驗對象某種合成纖維的強度與其拉伸倍數(shù)之間有一定關系，下表是實測24個纖維樣品的強度y與相應的拉伸倍數(shù)x的數(shù)據(jù)記錄1.2實驗方法觀測數(shù)據(jù)對這24組數(shù)據(jù)進行觀察，可以發(fā)現(xiàn)y有隨著x增加而增加的趨勢，但它們之間的具體關系又是不確定的。

3、繪制散點圖以拉伸倍數(shù)X為橫坐標，強度Y為縱坐標，繪制散點圖構建數(shù)學模型散點圖有助于我們粗略地了解兩個變量之間大致上存在怎樣的相關關系。根據(jù)對散點圖的觀察，發(fā)現(xiàn)圖中的散點在一定范圍可以近似為線性關系，所以將其構建為一元線性回歸數(shù)學模型。變量y對x的回歸方程的形式為 1-2-1根據(jù)樣本數(shù)據(jù)去尋求未知參數(shù)與的估計值和，使得回歸直線方程 1-2-2與所有的觀測點 擬合得最好對任一給定的估計值為：這些估計值同實際觀測值之間的離差(或隨機誤差)為: 1-2-3離差平方和為： 根據(jù)最小二乘法準則，當離差平方和最小時，直線與觀測點擬合的最好，所以可以根據(jù)微積分的極值求法得到預估值 1-2-4通過整理得到與的線

4、性方程組 1-2-5將和代入上式可得到與的估計值 1-2-6用MATLAB對所得結(jié)果進行檢驗，剔除異常點得到更加符合真實值的擬合直線2結(jié)果2.1計算實驗所需數(shù)據(jù)代入公式得到回歸直線方程用excel計算24組的和及所需數(shù)據(jù)代入的公式中可得圖1 用excel計算24組的和所求回歸直線方程為：2.2用MATLAB對本題進行求解建立一元線性回歸模型，繪制散點圖，得出y的系數(shù)根據(jù)所求出系數(shù)做出擬合直線。擬合直線與散點圖在一個坐標系內(nèi)，更方便觀察。對已建立的一元數(shù)學回歸模型進行檢驗，剔除異常點，用剩余數(shù)據(jù)建立模型，所得到的直線方程更加貼近真實值。經(jīng)過3次剔除，剔除了4個異常點后，用剩余的20組數(shù)據(jù)建立數(shù)學

5、模型。新的直線方程為，將散點圖和擬合直線繪制在同一坐標系內(nèi)。3 討論對于許多生物系統(tǒng)，建立一元線性回歸數(shù)學模型對應變量的預測往往是不精準的，其不精準性除了來自原始數(shù)據(jù)的誤差和數(shù)據(jù)量不足等原因外，考慮影響應變量的只有一個自變量是不全面的，一般情況下一個應變量會受到多個自變量的影響和制約。這時就會需要建立多元線性回歸數(shù)學模型，在選取自變量時，要把對預測值有顯著影響的自變量選取在內(nèi)，把影響不大的去除，獲得一個準確而又簡練的回歸方程。此外，在實際的生物系統(tǒng)建模中會遇到非線性的回歸模型，此時需要尋求其他方法進行求解。其中一類可通過變量變換成線性模型，對其進行線性化處理后求解；另一類不能轉(zhuǎn)化為線性模型可以應用級數(shù)法或麥夸特方法等直接對參數(shù)進行估計，或者用最小二乘法對非線性函數(shù)進行擬合，在對方程組進行非線性求解。4 結(jié)論 本論文以某纖維的強度和拉伸倍數(shù)為例，利用一元線性回歸模型來預測未知數(shù)據(jù)，并結(jié)合MATLAB，這樣使得一元線性回歸模型具有更高的準確度。同時也驗證了MATLAB中剔除異常點后的直線更加符合真實數(shù)據(jù)，