單電子輻射躍遷選擇定則的討論

1、單電子輻射躍遷選擇定則的討論（理學(xué)院物理系 物理學(xué)）摘要原子輻射躍遷選擇定則是原子物理學(xué)中的一個(gè)重要原則。本文主要采用兩種方法對單電子輻射躍遷選擇定則進(jìn)行討論。第一種方法，利用量子方法討論；第二種方法，利用半經(jīng)典方法討論；兩種方法分別對電子的軌道和自旋有無耦合的情況下進(jìn)行了推導(dǎo)。用兩種不同的方法，得到了一致的結(jié)果。關(guān)鍵詞：電偶極輻射 ； 躍遷幾率 ； 角動量守恒 ； 量子數(shù) ； 選擇定則Discussion of Single Electrons transition Selection Rule (Department of Physics, College of science, Phys

2、ics )AbstractSelection rule of atom transition is one of the important principles in the atom physics. This paper adopts two methods to discuss the selection rule of the single electron transition.In the first method, quantum method is used to analyze the problem.In the second method, semiclassical

3、method is used to discuss the thesis. Two cases that the electric orbit and spin have coupling and no coupling are respectively discussed in both methods. By two different methods, the same result is conclued.Keywords：Electric dipole radiation；Transition probability；Conservation of angular momentum；

4、Quantum number；Selection rule目錄1 引言.12 量子方法討論選擇定則.12.1 電子的軌道和自旋無耦合的情況.12.2 電子的軌道和自旋有耦合的情況.33 半經(jīng)典方法討論選擇定則.73.1 角動量的矢量合成法則.73.2 電子組態(tài)變動定則.7 3.3 無耦合的躍遷選擇定則.93.4 有耦合的躍遷選擇定則.104 結(jié)論.11參考文獻(xiàn).12致謝.131引言微觀粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）的運(yùn)動規(guī)律，是本世紀(jì)二十年代在總結(jié)大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)和舊量子論的基礎(chǔ)上建立起來的。隨著它的出現(xiàn)，人類對于物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的認(rèn)識日益深入，從而能較深刻地掌握物質(zhì)的微觀理論，為用于生產(chǎn)開辟

5、了廣闊的途徑。電子躍遷就是微觀狀態(tài)發(fā)生跳躍式變化的過程。由于微觀粒子的狀態(tài)常常是分立的，所以從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的變化常常是跳躍式的。躍遷選擇定則有很多種，不同躍遷遵從不同的躍遷選擇定則。從躍遷的性質(zhì)來分，主要分為電性和磁性兩種。在原子物理中涉及的L-S耦合躍遷選擇定則指的是電偶極矩躍遷，原因是電偶極矩躍遷強(qiáng)度比磁極躍遷和多極矩躍遷強(qiáng)度大得多（倍）。原子的輻射躍遷選擇定則也是指電偶極輻射躍遷選擇定則。本文采用量子和半經(jīng)典兩種方法，分別從電子的軌道和自旋（L-S）有無耦合的情況下對電偶極輻射躍遷選擇定則加以討論。使人們對單電子輻射躍遷選擇定則有更加深入的理解。2量子方法討論選擇定則下面分別從電

6、子的軌道和自旋有無耦合的情況下對單電子輻射躍遷選擇定則進(jìn)行討論。2.1電子的軌道和自旋無耦合的情況原子對光的發(fā)射和吸收是原子體系與光相互作用所產(chǎn)生的現(xiàn)象。當(dāng)光照射到原子上時(shí)，光波中的電場和磁場都對原子中的電子有作用，但和電場的作用相比較，磁場對電子的作用可以忽略，所以只考慮光波中的電場對電子的作用。對于入射光為各向同性，且偏振是無規(guī)則的，則原子體系在單位時(shí)間內(nèi)由態(tài)躍遷到態(tài)的幾率為： （1） 由此可知，當(dāng)且僅當(dāng) 不為零,即其三個(gè)直角坐標(biāo)系分量和不全為零時(shí)，原子光吸收的躍遷幾率方不為零。再由： （2） （3）兩式可知原子受激發(fā)射和自發(fā)發(fā)射的躍遷幾率也不為零。其中 表示吸收系數(shù)，表示受激發(fā)射系數(shù)，表

7、示自發(fā)發(fā)射系數(shù)。這稱原子在和兩能級之間的躍遷是允許的。否則，輻射躍遷是禁戒的。因此這個(gè)條件，可以得出產(chǎn)生原子躍遷選擇定則。我們具體討論氫原子、類氫離子及堿金屬原子。其哈密頓算符寫成為其本征矢量若用電子自旋軌道角動量無耦合的態(tài)矢量，在和共同表象寫為： （4）則的具體形式是: （5） 利用球諧函數(shù)的一個(gè)遞推公式： （6）及球諧函數(shù)的正交歸一化表示式，可知若滿足： （7）時(shí)，則矩陣元同樣，和的具體形式分別為： （8） （9）利用球諧函數(shù)的另一個(gè)遞推公式： （10）及球諧函數(shù)的正交歸一化表示式可知，若 （11）時(shí)，則矩陣元綜合（7）（11）兩式可知： 為躍遷的電偶極輻射選擇定則。原子的兩個(gè)定態(tài)和之間如

8、果滿足上式，則在電偶極近似下光吸收和發(fā)射的躍遷幾率不等于零，會有光譜線產(chǎn)生。2.2電子的軌道和自旋有耦合的情況原子由一種態(tài)躍遷到另一種態(tài)有一定的幾率，設(shè)電子的自旋和軌道有耦合作用下電子的本征態(tài)為。則電子由態(tài)躍遷到電偶極自發(fā)躍遷幾率為: （12）其中各代表4個(gè)量子數(shù)，。上式中 （13）三個(gè)矩陣元中至少有一個(gè)不等于零，躍遷才是允許的?？梢员硎緸椋?（14）其中為徑向波函數(shù)，為的共同本征函數(shù)，可以分成兩類： （15） （16）利用式（14），矩陣元可以分離變量地表示成： （17）其中徑向積分通常與選擇定則無關(guān)。利用公式 （18） （19）即得 ， （20）類似地，可得 （21）再利用（18）式，可得

9、 （22） （23）利用Pauli矩陣的具體形式為： ， ，以及的正交歸一性和式（15）（16）（17）三式就可算出這些矩陣元。這樣計(jì)算較之直接利用的遞推公式要方便得多，特別是有利于確定選擇定則，但是定性地利用的遞推公式還是有益的，它們是： （24） （25）由此可見，量子數(shù)的選擇定則是。下面分類討論（1）（a）型中球諧函數(shù)的階為；中球諧函數(shù)的階為。中球諧函數(shù)的階為；中球諧函數(shù)的階為。作用的結(jié)果，并不改變球諧函數(shù)的階,屬于不同階的球諧函數(shù)是互相正交的，因此式（22）右端第二項(xiàng)為0，從而 容易看出，僅當(dāng)時(shí)，上式才不等于0，故的選擇定則為：（b）型根據(jù)式（20），只需將情況（a）所得公式中換成可得

10、到相應(yīng)的矩陣元公式，即 容易看出，僅當(dāng)時(shí)，上式才不等于0，故的選擇定則為（c）型根據(jù)式（23）取，利用球諧函數(shù)的正交性，易得的選擇定則仍為：（d）型由（21）及（23）得到中球諧函數(shù)的階為，中球諧函數(shù)的階為，中球諧函數(shù)的階為，中球諧函數(shù)的階為。由球諧函數(shù)的正交性，易見上式右端等于0，故的躍遷是禁戒的?？偨Y(jié)以上即得，躍遷 的選擇定則為：（2） 計(jì)算類似于（1），選擇定則為：綜合（1）（2）可知的選擇定則為：。3 半經(jīng)典方法討論選擇定則3.1角動量的矢量合成法則假設(shè)、分別是量子數(shù)為、的兩個(gè)角動量矢量，其角動量大小分別表示為和，則它們的合矢量也是量子化的，且由和按矢量的平行四邊形法則相加，其大小表示

11、為，其中。3.2電子變動組態(tài)定則原子中的輻射屬電磁相互作用過程，所以輻射前后體系的宇稱守恒。當(dāng)單個(gè)電子在某中心場中運(yùn)動時(shí)，其狀態(tài)可由下述波函數(shù)描寫為： （26）其中為徑向波函數(shù)，為球諧函數(shù)，為電子的自旋波函數(shù)。在球坐標(biāo)系下對（26）作空間反演變換。不難推知： （27）可見，波函數(shù)（即電子）的宇稱決定于電子的軌道量子數(shù)，當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，宇稱為寄；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，宇稱為偶。用符號標(biāo)記宇稱，則在中心場中運(yùn)動的電子的宇稱： （28）對核外有個(gè)電子的原子，忽略電子間的相互作用，則原子的總體波函數(shù)為： （29）其中。由（28）知，第個(gè)電子的宇稱為，而（29）式右端展開式中的每一項(xiàng)都是個(gè)單電子波函數(shù)的乘積，很明顯

12、的宇稱必為： （30）即原子的宇稱為原子內(nèi)有單電子的宇稱之積。設(shè)輻射前后原子的宇稱分別為、，因輻射出的光子的宇稱為，則由宇稱守恒定律得，用（30）式的形式表示、，則:它等價(jià)于偶性態(tài)（偶數(shù)）奇性態(tài)（奇數(shù)） （31）這就是關(guān)于電子組態(tài)變動的定則。3.3 無耦合的躍遷選擇定則 設(shè)電子在輻射前后的角動量和自旋角動量分別為、。輻射出的光子的角動量為，其中。在電偶極輻射中角動量守恒 （32）根據(jù)準(zhǔn)備知識3.1可知，由于，則有： （33）討論： 當(dāng)時(shí)，即。 當(dāng)時(shí)，由于軌道角動量量子數(shù)是大于或等于零的整數(shù)，所以。由（33）式得，所以。綜合及準(zhǔn)備知識3.2可得選擇定則：輻射前后電子的角動量沿場方向的角動量也守恒

13、： （34）即 （35）對于光子代入（35）整理得在電偶極輻射中，由于電偶極算符與自旋無關(guān)，所以它恒不改變電子的自旋狀態(tài)，應(yīng)用自旋角動量的矢量模型，可以認(rèn)為輻射前后原子的自旋角動量矢量相同，即： （36）輻射前后電子的自旋角動量沿場方向也守恒： （37）故有 （38）所以3.4 有耦合的躍遷選擇定則所謂耦合是根據(jù)角動量合成法則，將原子的軌道角動量和自旋角動量合成原子的總角動量。設(shè)、分別為輻射前后電子的總角動量、軌道角動量、自旋角動量，輻射出的光子的角動量為，其中,電極輻射前后角動量守恒： （39）根據(jù)準(zhǔn)備知識3.1可知的取值是，由于，則有： （40）討論：當(dāng)時(shí)，。即。 當(dāng)時(shí)，由于總角動量量子數(shù)

14、只能是大于零的整數(shù)或半整數(shù)，的可能取值只能是。故由（40）式可知,即。綜合可得總角動量量子數(shù)的選擇定則：輻射前后原子的自旋角動量矢量相同，即： （41）所以自旋量子數(shù)的選擇定則為。 （42）而在耦合中 （43） （44）將（41）、（43）和（44）式代入（39）式，得： （45）因,由準(zhǔn)備知識3.1可知的取值是： （46）討論： 當(dāng)時(shí)，即。 當(dāng)時(shí)，由于軌道角動量量子數(shù)是大于或等于零的整數(shù)，所以。由（46）式得，所以。綜合及準(zhǔn)備知識3.2得選擇定則：輻射前后角動量沿場方向守恒： （47）故有 （48）對于光子 代入（48）式整理得：4結(jié)論本文通過用兩種方法對單電子輻射躍遷選擇定則進(jìn)行討論，得到

15、的結(jié)果是一致的。但用量子理論討論的比較完善，半經(jīng)典方法更簡單易懂。從結(jié)論中我們知道并非任何兩能級之間的輻射躍遷都是可能的。只有遵從選擇定則的能級之間的輻射躍遷才是可能的。用量子和半經(jīng)典兩種方法來討論選擇定則，使其更具普遍性。參 考 文 獻(xiàn)1 周世勛.量子力學(xué)教程M.北京：人民教育出版社，1979,2.2 褚圣麟.原子物理學(xué)M.高等教育出版社，1979,5.3 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)M.北京：科學(xué)出版社，1981,7.4 楊福家.原子物理學(xué)(第二版)M.高等教育出版社，1990,45 張哲華、劉蓮軍.量子力學(xué)與原子物理學(xué)M.武漢大學(xué)出版社，1997,9.6 谷震槐.電偶極輻射躍遷的選擇定則J.西北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1985,3.7 郭顧鴻.電動力學(xué)M. 人民教育出版社，1979,1.8 顧建中. 原子物理學(xué)M.北京:高等教育出版社，1990,2.9 李平、尹海濤、馮立峰、馬志民.關(guān)于選擇定則L=0的研究J.東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào).200