固體物理課后習(xí)題答案

1、第一章晶體的結(jié)構(gòu)笫章晶體的結(jié)構(gòu)11試證明體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。 解：我們知體心立方格子的基欠為泊纟卜7+j+Z)（茴網(wǎng)2- a (12 =2- a根據(jù)倒搟了狂欠的定義，我們很容易可求出體心立方格了的倒格了茲欠為:2X03)b2 =U3xai1第一章晶體的結(jié)構(gòu)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)(11 XH2Q =.(口2 Xt73)=b x=(a2a3Q '2n a2同理a卩+E）心筍CM）晉（初(苗)a為=-(?+ J由此町知，體心立方格子的倒格子為一面心立方格子。#第一章晶體的結(jié)構(gòu)我們知面心立方格子的基矢為A知）Q = dl （d2 Xd3）=丄4（02X03）U2 X 6/3 =

2、a2a2. 一 - In crb ,=02X03）= -T-7 “丿爐b ->=n aa aa n0 22 2f2+丿+ k 0-0a a222 2a2r- cr cr / + / + 4 4 4+戸）Tv（-f27l/-7+I）同理m = （_7+i）a 'J I 乎（7J+Z）fe=（7+7_na vJ由此町得出面心立方格子的倒格子為一體心必方格子： 所以體立方格子和而心立方格子互為正倒格子。2.2在六角晶系中，晶而常用四個(gè)指數(shù)（hkil）來(lái)表示，如圖 所示，前三個(gè)指數(shù)表示晶面族中城靠近原點(diǎn)的晶面在互成120°的 共面軸亦藥懇上的截距為學(xué)，字，魚(yú)，第四個(gè)指數(shù)農(nóng)示該晶

3、面 "li k ic在六頁(yè)軸C上的截距為一。證明：Ii = - （h 十 k）并將卜列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示:#第一章晶體的結(jié)構(gòu)（001）,（133）,（110）,（323）,（100）,（010）,（213）.證明:林鴻生11.4王矜奉1.2 3如圖所示，菜一晶而MN與六角形平而革欠 °”吆?jiǎn)彷S上的截距OA = -n,OB = -n,OC = -/, nkiftZAOB = ZCOB = 60ZAOC = 120°仃MOB(面積)+“OB(而積)=aAOC(而積)即丄頁(yè).OB sin ZAOB+ -OC OB sin Z COB =丄頁(yè).OC

4、sinZAOC2 2 2代入頁(yè)=-n.OB = -n.OC = -/,和ZAOB = ZCOB = 60ZAOC = 120°,有 hkig 彳.(_#) sill 60° + 扌=.(_¥)sin 60° = -y*n*(-)sinl20°得-丄-二二丄，兩邊同乘(hki)并移項(xiàng)得hk ik hi i = -(h + k)得證（2）由上可知，h, k, i 不是獨(dú)立的，（001）,口33）,（110）,（333）,（100）,（010）,（云3）.中 JH 等 J： 4=_(人+ &) = _(0 + 0) = 0,/2 = 2,3

5、= 0, 4=1, Z5 = l/6=1, <7=3 即得（001）-> （0001）,（133）-> （1323）,（if。） T （1100）,（323）->（3213）（100）.（1010）,（010）（0110）,（213）->（2B3）.13如將等體積的碩球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證能占據(jù)的最人體積與總體積之比為:（1）簡(jiǎn)單立方冬；（2）體心立方返1；（3）ifn心立方返巴6 8 6六角密積如：（5）金剛石如6 16解：設(shè)N為一個(gè)品胞屮的剛性原子數(shù)，R表不剛性原子的球半彳仝，V表不晶胞體積，立方晶格的邊長(zhǎng)為a, 則致密度為：N-ttR3a =V(1) 在簡(jiǎn)立方

6、的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為/?,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)d二 則簡(jiǎn)立方的致密度(即球可能占據(jù)的最人體積與總體積之比)為：1 一次1 一刃?33 =£(2/?)3 " 63第一章晶體的結(jié)構(gòu)2點(diǎn) l-7d3二 3二R (4/?/>/3)3 (2) 在體心立方的結(jié)胡學(xué)原胞屮 a = 4R需，則體心立方的致密度為：設(shè)原子半徑為R,則原胞的晶體學(xué)常數(shù)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)(3)在面心立方的結(jié)晶學(xué)原胞屮，設(shè)原子半徑為R ,則原胞的品體學(xué)常數(shù) a = 2VI/?,則面心立方的致密度為：4- lJtR3 a=_=(IW逅兀6(4)在六角密積的結(jié)晶學(xué)原胞中.設(shè)原子半徑為/?,則原胞的 晶體學(xué)常

7、數(shù)a = 2R, c=(2j/3)d=(4«/3)R,則六角密:積的致 密度為：4°6刃?'3屈2 一6 c46(5)在金剛石的結(jié)帖學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為心 則廉胞的晶體學(xué)常數(shù)a=(8/JJ)/?,則金剛石的致密度為:8 8 力?' gc 33兀a = _a(8/)3/?3 1614設(shè)某一晶面族的面間距為d.三個(gè)基矢無(wú)云石的末端5第章品體的結(jié)構(gòu)分別落在離原點(diǎn)距離為1“,創(chuàng)腫,的胡面上，試用反證法證明： :%是互質(zhì)的。 解：參考王矜奉12.4設(shè)該晶面的單位法向欠磺為齊，由已知條件可得5 口 = /片/衛(wèi)？ nhd.a n = h3dy假定片,咐3不是互質(zhì)的數(shù)，

8、則有公約數(shù)p，Tlp>l ；設(shè)和品為互質(zhì)的三個(gè)數(shù)，滿足#則有5 n = kxpd.a2 iik2pcl,a3 n = k3pcl,今取離原點(diǎn)最近的晶面上的一個(gè)格點(diǎn)，該格點(diǎn)的位置欠昴為.I r = /16r1+/2a3+/3a3 *r/P/2,/3必定為整數(shù)而且I rn = d =也 n+l2a2 n + l3a3-n得d = h&pd + l)k)pd + l3k3pcl即 I*、+ Ik + l3k3 =p因?yàn)樯鲜阶筮吺钦麛?shù)，而右邊是分?jǐn)?shù)，顯然是不成立的。耍式成立，必須滿足P=lo而此時(shí)唧小是互 質(zhì)的。砧2 + kyk2 + “215證明：在立方品系中，面指數(shù)為(W1)和仇鈕3

9、)的兩個(gè)晶面Z間的夾角滿足cos&=inxn借+RM瀘估+焙+/瀘解:三個(gè)晶軸相互垂直且等J晶格常數(shù)a,則晶胞基矢為ax = aiya2 = a j.a3 = ak,其倒格子基矢為7* 2龍弋廠 2：廠 In-久=ib =山=一1 a * aa倒格子欠昴為ZKh = hbi kbi + lhz =(hi + k j+lk) a第-章品體的結(jié)構(gòu)代表品面族(族/)的法線方向。晶面族(九即J的法線方向?qū)?yīng)倒格矢Ki = (hJ+kJ + lk)晶冊(cè)族(W3)的法線方向?qū)潙?yīng)倒格欠乙=(/J+ hj + M) a設(shè)兩法線Z間的夾角滿足7 yr -*-/ 7T 子仲+G+也年何+U+/,)KiK?

10、 = KfK) cos/丘1丘2cos / = K' 2 (罟 °" + h j + 1丄)弓(石 + h j + 1丄)(罟(Jhi + % j + 1眾)弓(Jhi + % j + 樂(lè))也 + kyk2 + 仏(葉+貯+/瀘(居+斥+/瀘試求:(1)(2)(3)(4)(5)(6)16有一晶格，每一晶格上有一個(gè)原子，基矢(以nm為單位)分別為a1 = 3i, a2 = 3j , a3 = 1.5(i + j + k)。此晶體屬丁什么晶系,屬于哪種類型的布喇菲格子? 原胞的體積和晶胞的體積各等r多少？該晶體的倒格子基欠：密勒指數(shù)為(121)晶面族的面間距;原子垠密集

11、的晶面族的密勒指數(shù)是多少？ill與11了晶列z間的夾角余弦為多少？解:參考徐至中15,中南大學(xué)1.17(1)按基欠N，石,N在空間作車復(fù)平移，就町得到它的布喇菲格子，因?yàn)榇似敷w是簡(jiǎn)單格子，肉此晶體中原子位置可以認(rèn)為與格點(diǎn)重介。由右圖可見(jiàn)，它是體心立方布喇菲格子，屬J：立方晶系。 原胞體積 Q = (NxN) = 3；3)xl.5(；+ + Z) =13.5x1()77 加 了晶胞體積 V = a(axa)= 3"(33)=27xl0_27m3V因?yàn)镼=-,知該晶體屬于立方晶系： 2參考上矜奉1. 2. 6我們可以構(gòu)造新的矢最0q =c-a = (-,+ j+ k)7第一章晶體的結(jié)構(gòu)o

12、, = c-b = (i- j+k)- 2a3 = a + h-c = (i+ j-k)aa2,a3對(duì)應(yīng)體心立方結(jié)構(gòu).al9a2,a3滿足選作基矢的充分條件.可見(jiàn)基欠為，a】=3i, a2 = 3j, a3 =1.5(i +j+k)，的晶體為體心立方結(jié)構(gòu).(3) 由倒格子基矢的定義可知:2a2 xa3 ara2xa3 2a3 xa】 aa?xa3 2穴8 xa2aia2xa31245(i-k)15245(jk)13.52 9k In.Kr=r?kInTin(i k)(j-k)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)(4) 根據(jù)倒格矢的性質(zhì)，可求得密勒指數(shù)為(121)晶面族的面間距為d _ 2龍 _2龍C 1:i _

13、 K12i _ |lb +2b 廠 bs|_2”_ _3_ _ 原2tta/3010(i + 2j-5k、以上是參考中南人學(xué)的，仃些不妥，因?yàn)槊芾罩笖?shù)是對(duì)晶胞基矢定義的，雖然固體物理學(xué)式(1-18)也適合計(jì)算相應(yīng)而間距，但此時(shí)的倒格子基欠也應(yīng)是對(duì)應(yīng)的。從體心立方晶格的特點(diǎn)，結(jié)合圖，易知(5)由面密度0=八/,其中d是面間距，。是體密度。對(duì)布喇菲格子.。等常數(shù)。因此，我#第一章晶體的結(jié)構(gòu)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)們可設(shè)原子最密集的晶面族的密勒指數(shù)為(hjijij .則該晶面族的而間距血/也應(yīng)為最大值.所以冇#第一章晶體的結(jié)構(gòu)l7t17tM】b】 +尼b? +力3bs|第一章晶體的結(jié)構(gòu)第一章晶體的結(jié)構(gòu)In

14、i + (2/?3 -/?! - /i2)k337；;；:r = max力i + ftj + (2/z3 - hx -人)k第一章晶體的結(jié)構(gòu)第一章晶體的結(jié)構(gòu)由此可知,對(duì)面指數(shù)為(100)、(010)、(101). (011)和(111)有最大面間距3/血，因而這些面即為原子排列鍛緊密的晶面族。(6) 111與11T晶列之間的夾角余弦為a = arccos-1 * % 一 佝 + 幻 + 時(shí)(絢 + a廠 a3)RmRHi憶+町+巧| 卜+ a2-a3|(4.5i + 4.5 j + 1.5k) (1.5i + 1.5j -1.5k) =31CCOS4.5i + 4.5j + 1.5k|1.5i

15、 + 1.5j 1.5k| 一 48“1.71.8八角晶胞的卑欠為(I.爲(wèi).<li = 1 + Cl1 2 2 j第一章晶體的結(jié)構(gòu)第一章晶體的結(jié)構(gòu)求倒格子基欠。解:參考王矜奉1.2 8,中南大學(xué)1.2.13+根據(jù)倒格子基矢的定義可知:弓 dj) (- f i + £ °j) x (ck) = £ 屁=2兀a. 石班小、巧acac L1= 5V3 2 a c 第一章晶體的結(jié)構(gòu)第一章晶體的結(jié)構(gòu)a xa(ck)x(-_i + «j)J 2”b, = 2L = 21_1 = 2兀一耳2 -QQJJ rCTC2,a. VJ / r yi _a xa(71 +

16、 «J)x(-t, + v6ZJ)b3 = 2才竺巴二2龍 _22_2_ = 2龍Qal a2 xa319欠帚a, b, c構(gòu)成正交系。證明晶而族（/?燈）的而間距為儈+（護(hù)+（夕解：由題意町知該簡(jiǎn)單正交系的物理學(xué)原胞的基欠為:a】=6/1J = bj a3 =皿 由此町求得其倒格子基欠為：d/k231 a2xa3ahc2a3 xajInai la2Xa3abc2；r"i xa2Inal-a2Xa31abc3 _2a2xa3 _ 2(問(wèn)=£3、j)=孚 j b(abk)= c根據(jù)倒格子矢宦的性質(zhì)有:dhk/ =2/r171hb1 + kb? + /b32龍2 兀

17、i.2/r . t 2 兀 hln +kj+/ka h c?+(護(hù)+(分110證明：晶面（MJT、（劭；/£）和（片7訓(xùn)？屬同一晶帶的條件是人人h hj /?3 = 0第一章晶體的結(jié)構(gòu)證明：參考王矜奉12.12,徐至中17相交同一宜線的二個(gè)或藝個(gè)晶面就構(gòu)成一個(gè)晶帶，晶面（hjlj®和應(yīng)倒格欠可以寫(xiě)為瓦=/念+仏£ +仏£假定三品面屬J：同一晶帶wvvv（交線為胡帶軸，此即為殆帶軸的方向指數(shù)），帶軸的方向欠晟為R = uax + va2 + wci2因?yàn)榈垢袂放c晶面垂肖，因而也必須與帶軸垂宜，即滿足K斤 R =（認(rèn) + 12b2 + 宓爲(wèi)）+ vai +

18、問(wèn) J = 0因?yàn)閝 hl = a2 h2 =說(shuō)=2/r,q hj = 0（心 j）得 IlyU + /中+ /«3 = 0同理冇lu + h'y + hw = 0lu + h；v + hjW = 0zw有解的條件即為 h h2 堆=0l «埴即證。1 11證明：一個(gè)晶體不可能有5亜旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。參考王矜奉1.2.16,教材17 3五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)龍/5 （72°）恢復(fù)原狀，但它不能重復(fù)排列 允滿一個(gè)平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)対稱軸屮不存在亞次軸. 證法2：如圖所示，AB是同一晶列上O格點(diǎn)的兩0個(gè)最近鄰格點(diǎn).如只繞通過(guò)O點(diǎn)并垂伍J 紙面的 轉(zhuǎn)軸順時(shí)

19、針旋轉(zhuǎn)&角.則A格點(diǎn)轉(zhuǎn)列入"點(diǎn).若 此時(shí)晶格自身朿介，A'點(diǎn)處原來(lái)必定有一格點(diǎn)如 果再繞通過(guò)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)&角，則品格 又恢復(fù)到末轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài).但逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)&角，B 格點(diǎn)轉(zhuǎn)到廳處，說(shuō)明'處原來(lái)必冇-格點(diǎn).可以把格點(diǎn)看成分布在一族相互平行的晶列上，由 圖可知，A'B'品列與AB晶列平行.平行的晶列貝有相同的周期，若設(shè)該周期為a則有ArBr = la |cos 0 - ma瓦中m為整數(shù),由余弦的取值范審可得|cos& = m/2 <1io第一章晶體的結(jié)構(gòu)于是可得m =、2 2#第一章晶體的結(jié)構(gòu)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)I

20、大I為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3才/2,4兀/3,5力/3分別等J：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)才/2,2才/3皿/3所以晶格對(duì)稱轉(zhuǎn)動(dòng)所允許的獨(dú)立轉(zhuǎn)角為2 1 12/r,/r,、7i y7t y3 23上面的轉(zhuǎn)角可以統(tǒng)一寫(xiě)成In丿= 1,2,346/稱n為轉(zhuǎn)軸的度數(shù)，由此可知，晶格的周期性不允許冇5度旋轉(zhuǎn)対稱軸。1 12試求面心立方和體心立方晶格中粒子密度最大的品面。解：參考王矜奉1 2.10.11設(shè)布賴乖格子的體密度（單位格點(diǎn)數(shù)）為P,在某-晶面族中，取而間距為d的兩相鄰晶而為底而，（底面積取為1單位面積）做一個(gè)圓柱體，則該圓柱體內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)等于p（d1）二 pd這些格點(diǎn)分布在上卜底而上，但屈J 該圓柱體的只仃-個(gè)底面，故晶

21、而的而密度D=Pdo 因?yàn)镻是常數(shù)所以的越大，面密度D也越大。1.面心立方設(shè)面心立力的晶格常數(shù)為a,則其晶胞的體積為，晶胞中含仃四個(gè)格點(diǎn),選取面心品體結(jié)構(gòu)的I占I體物理學(xué)原胞比基欠為ta -> 丁= (/+燈Ta T T=伙+ /) 2因此而心立方結(jié)構(gòu)體密度為p =T 2 IT T T T其倒格子基矢為® =(/- J+燈T 2龍 T T T b廠匹U+j-k) a根據(jù)固體物理學(xué)式（M4）和（1-18） 與晶而族（/血仏）正交的倒格子欠宦為尺=（/1 + 12 + /伍） 則晶面族（/徙人）的面間距為2才&_入乜+心）2 + （九-九+九r + （% +九-人）'

22、;顯然，上式屮分母越小.d越人，故面指數(shù)最簡(jiǎn)單的晶面族（111）面間¥口最人，面密度址人。2體心立方設(shè)體心立方的晶格常數(shù)為a,則其晶胞的體積為啟，晶胞中含仃二個(gè)格點(diǎn)，因此而心立方結(jié)構(gòu)體密度為2 r 選取體心品體結(jié)構(gòu)的固體物理學(xué)原胞，其基矢為 a =?。╛i+ j -« a2 = -（7- 了 + £）其倒格子基欠為<2與晶面族（/業(yè)仏）正交的倒格了欠屆為Th = （/i + /活"人為） 則晶面族（/也人）的面間距為）_ 2才 _a| J（心+心）' + （A +人尸+金+仏），顯然,上式中分母越小,d越大，故面指數(shù)最簡(jiǎn)單的晶面族（001）

23、,（010）,（100）,（011）,（101）,（110）其面間距最人，面密度最人1 13電位移欠杲萬(wàn)與外電場(chǎng)E的關(guān)系為D = eE,式中，&為介電常數(shù)張気 試用根據(jù)品體的對(duì)稱性證明,2 0 0、対于簡(jiǎn)單六角晶體，有0 £丄0,<° ° %解：參考王矜奉1. 2.17晶體宏觀對(duì)稱性是用對(duì)稱操作來(lái)描述的，即通過(guò)旋轉(zhuǎn)C反演等，品體自身晅合，這個(gè)兒何變換都是 正交變換（保持兩點(diǎn)距離不變的變換），所對(duì)應(yīng)的變換矩陣為111A 4九-AA： 0A23A23 ,且Ua = a-是轉(zhuǎn)置矩陣，獷】是逆矩陣。可1知勺3胡體介電常數(shù)是二階張最，表示為£=勺i電

24、 63在坐標(biāo)變換F,二階張吊的變換規(guī)律為匕=asa 對(duì)稱操作后，晶體還原，有£之15第一章晶體的結(jié)構(gòu)以六角品系主軸為C軸，軸如圖:爸勺2勺3、00、£1勺2£<100、*21 22*23=0-1021220-10<31*32*33丿、00月1%°01丿仃一個(gè)過(guò)q軸和c軸的鏡而，所以_f21Ccos6兀sin 60 n -sin 6ncos60(兀7T、cosS1I1 01%0勺3、6600兀兀-sin cos0661匂0&33丿001丿/0011蘆T切習(xí)12 一1產(chǎn)01_ fc13cos6兀_ S1I1 6sin 6ncos60171

25、1 + 7224 4>/34Tsn 44000、00、所以0$220=0110=00月10、°0*33丿0X0三角伯賴菲格子的倒格子仍為三角布賴菲格了.并且倒格欠肚矢間的夾1.14證明:角和堆矢長(zhǎng)度b分別滿足ab£31得到勺2 = °勺3 = °，勺1 = °£1知知、笛10所以習(xí)1$22$23=0*220占10$33丿六角晶系仃-個(gè)6度軸，所以2龍 xajIkcc sin&QQb.三bCOS&1 一 cos 01Td(l+2cos0cos 礦)，式中,a和0分別為正格矢的長(zhǎng)度和基矢間的夾角。證明：參考王矜奉1.

26、2.18,陳金富8.16對(duì)于三角晶系，瓦三個(gè)族矢量大小相等，而且它們相互間的夾角也相等即根據(jù)止倒格矢的性質(zhì)2龍(°2 xy)Ikct sin&Q=bh2設(shè)（厶）=務(wù)，&y,（婦,勺卜$1，則有.2 4 2 zjbfb? = |/ |*|2|C0S2 = b，COS% = 兀-COS坊22龍(石詞 2龍何x瓦)4”/w、心5=聲 g % 為)g x q)=善(石運(yùn)卜可石=善(莎)(詞-何敬=-(cos2 0 - cos 0)比較兩式得_(COSCOS&) _ cos(1 - COS0) _COS&sin2 3C0S 2亠 2 c1 - cos- 0(1

27、U- COS 0類似可以證明門COS0門cos。COS&x =, cos% =(1 + cos 3(l+cos0得給=%3 = &31 = &又因?yàn)樗匀蔷档牡垢褡右矊俣∪瞧废怠Ｇ襝os 礦=一COS&(1+ COS&Ittcc sin&.Incr sinb = Q a3 sin 0 Jl + 2 cos & cosa Jl + 2 cos 0 cos 少式中Q通過(guò)如下計(jì)算出,如圖,©(q + aj ="】+也叫=2a? cos& =牛(q +dj|cos(龍/2_ °)而旳 + a2 = a(

28、2(1+ cos。) > 囚此cos(;r/2 - 0)= sin(p =2cos&J2(l + cos&)f 4 cos2 042(1+cos。)=J+ 2cos&cos&第一章晶體的結(jié)構(gòu)第一章晶體的結(jié)構(gòu)a3 sin 0 cos 0= a3 sin &/ +2cos&cos&*如圖所示eax - tadr = ia cos &+ ja sin 0a3 = 0cosq+ ja cos p + ka cos ycos 6 =ia (ia cos a + ja cos fl + ka cos)/=cos a(iacos&

29、+ jasin&)(iacosa+ jacosfl+ka cos)/3= cos 0 cos a + sin 0 cos p得cos"應(yīng)Q-COS0sin&cos/ = Jl-cos-cos = 1-cos0- E&Qyos殲7Vsin- 0因?yàn)楹刮?石心一 2/T 一X = (3Xai)b處= X dj Q所以kkb分別垂氏于止點(diǎn)陣初始晶胞的平面，H.有郴同的長(zhǎng)度，人=*弋 =1兒 根據(jù)對(duì)稱性,2兀一一 axa2 =bi.b2.b3彼此間應(yīng)有相同的夾角，設(shè)夾角為b= Qa2 sin&QG 二 q (ci2 X6r3) = ia(iacos&+

30、 Jdsiii&)x,acosa+ jacos卩 + 1acosy = a3 sin 0cos yI r cos&(l-cos&)cosy = JI- cos* 3vsin- eb= Q2龍一一 ax xa2 =2兀=.八 乂兀 ' cr sin=Ga cos /第一章晶體的結(jié)構(gòu)第一章晶體的結(jié)構(gòu)2 =逬嗔等產(chǎn)(<a2xa3)(a3xai).因?yàn)?A(BxC)=B(Cx4)=C(AxB), Ax(BxC)=(C*A)-(A*)Cb b 一 一 一 一 一 一cos2 0-cos& _ cos& sin2 01+ cos& (a2xa3

31、)(axa2)eg心猝斗eb3 /r I G1 z 、z 、 ，一 一、r cos'cos & =T-T7© °3)(5 勺)一 (a】=a sin 0sin 0COS&1 + cos 0I r cos2 &(1 - cos 0)2 cosy = JI-cos 0Vsin2 0Lcos-COS(1-COS1 - cos2 0I cos' &(1 + cos &) + cos2 &(1 - cos 8)1 + cos 0I-? c°*=(1 + cos 0 cos 礦) 1+ COS&2” r

32、. c 2/r12/rcr sin 0 =Qa cos/ a尺c 小齊Q十 cos0cos6 )-解法(二)設(shè)ax - aalQ a2 = aa , a3 = aa :第一章晶體的結(jié)構(gòu)2OD OC一 一 oe 一 一AD= OA sin = asin, OD = OAcos 22CD 2 AD cos= aJJsin 6 2s、od2 + oc2-cd2cosa = cos Z COD =#第一章晶體的結(jié)構(gòu)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)J1+ cos&-2cos，01+ COS&#第一章晶體的結(jié)構(gòu) - e 8 一 e 8ax = iacos + jasin t a2 = iacos- ja

33、n t a3 = iacosa + kasiii a恥菩（石x石）=等口鈕*2一忌軌曲硝cos。） 22兀q &-*&-*&b、=(a. x a) =(-/sinsin a + /cossina+ /:sin cosa)Q 3兀a o八b：=sin" 0 Q- Q222瓦二込&X石）一應(yīng)Sh/cos歸一邑si叔QQ 22 Q比=比=sin2 a+ cos2 a- cos2, r-0.2-> 0 rsin- sin- a + cos- sin- a + sin- cos- a2 2 2( .0l-COS-yXCOS&0cos< 2丿-

34、sin2<9Q-#第一章晶體的結(jié)構(gòu)23第一章晶體的結(jié)構(gòu)b3.brgq *ncv sin Qin Ok 2 開(kāi) cr.0 .二 0 .7 .0、(-/ sinsina+ / cossin a+ ksincos a) Q222龍咕4 . 2nsin* 0Q-#第一章晶體的結(jié)構(gòu)COS& cos。Xcos 纟 1+cosO2sin(9sinycosasin2 0sin silly.a .& 02sm&sm cos2 2#第一章晶體的結(jié)構(gòu)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)sinLQIncrT 0 二 &0(-/sinsin a- jcossina + k sin cosa)2 2

35、2兀a"> a siir 0Q2 q 0sinn sin cos a2sin2 0sill sillya q &&&1 + COS 02sinasin cos cos 2 2 2COS& cos。 Xcos e： = 171CT T . 0 . 二(-/sin sin a - jcos20 . r . 0ln(r 7 . 0 . 二 0 .7 . 0sina+ Ksin cosa)*(-/sinsina+ /cossin(z+ ksiii cos a)22Q2224snr 0Q-0 .0 o一sin- sin- a+ cos- sin- a+ s

36、in- cos- a .2 22sin2 0cl-3cos&cosJ 0cos&+x2 = 0cos- cos 0(1 - cos2 a) + sin2 cos2 asin2 0sin2 0sin a = cos2 a =cos"L 應(yīng)£ =(i + 2c°s&cos&V1 + cos 0.0 cos- 2(id cos夕+ jasinyxcosy- Jasinf) (方 cosa+ZasiiiQ-ncr sin &_ 21 _Zn12a3 sin y cosy sin aa ana a (1 + 2 cos Geos 8,

37、ZrZr#第一章晶體的結(jié)構(gòu)25第一章晶體的結(jié)構(gòu)= («.xa)= 一 Q恥咯運(yùn)X®嚶（石X石）#第一章晶體的結(jié)構(gòu)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)sin26>#第一章晶體的結(jié)構(gòu)（時(shí)如鞏皎他）sin2 0根據(jù)布喇格公式1. 15用波長(zhǎng)為015405nm的X射線投射到鋰的粉末上,得到前面幾條衍射譜線的布喇格角（）如F序號(hào)123450 (° )19.611°28. 136°35.156°41. 156°47. 769°己知鋼為體心立方結(jié)構(gòu).試求：（1）各譜線對(duì)應(yīng)的衍射晶面族的面指數(shù);（2）上述各晶面族的面間距：（3）利用上兩項(xiàng)結(jié)果

38、計(jì)算晶格常數(shù)仏解：參考王矜奉1. 2. 20.徐至中1-18,韋丹3. 25（1）在用X射線衍射方法確定陽(yáng)體結(jié)構(gòu)時(shí)，釆用晶胞血不是固體物理學(xué)原胞。因此面指數(shù)用密勒指 數(shù)衷示（h, k. 1） , Xj J;體心立方結(jié)構(gòu)2d展 sin 8= nAsin= J/r/i- + irk + irr2九2dsin© : sin ft : sin : sinQ : sinQ =1:1.405 :1.716:1.961:2.206yh + k + /f : J居 + m : J 居 + k； +1； : J/彳 + kj + £ : Jh； + k； +1：= 1:1.405:1.716

39、:1.961:2.206對(duì)休心立方晶系，衍射而指數(shù)的和( + £+/)為偶數(shù)出現(xiàn)衍射極人。因此，對(duì)衍射角宙小到人的品而 族是(110),(200),(121),(220),(310)，而Vl2+l2 + 02 : V22 + 02 + 02 : Jl2 + 22 +12 : yjz2 + 22 + Q2 : J3 +F + 0= 1:1.414:1.732:2:2.236在謀差允許范I洞內(nèi)很好符合。因而，對(duì)應(yīng)的晶面族是(110),(200),(121),(220),(310). nAA0.15405n/n八 “c(2) dhU = 0.22949/z/w2sill &2sin

40、0 2x sinl9.6irA 0.15405"/”a八= 0.22949“加2 sin& 2xsinl9.61f.20.15405n/nw= 0.16334/i/n2sii】& 2 x sin 28.136°A0.15405/im2sin02xsin35.156°.A0.15405/1/1df = 0.11704/?"2 sii】& 2x sin 41.156° A 015405i ccr=0.10403m”2sii】& 2 x sin 47.769°(3) a = dhklJ/F + T + 尸=0

41、.22949x“+卩 + 0 = 0.322nm 1. 16鐵在不同的溫度卜可能是體心工方結(jié)構(gòu)(a-Fe)或面心結(jié)構(gòu)(Y -Fe )。用x射線束照射鐵品體當(dāng) 溫度為201時(shí)，得到最初的三個(gè)衍射角為8。12' , 11° 38，14° 18'；當(dāng)溫度為1000*C時(shí)，衍射角為 7° 55，9° 9，, 12° 59。試求：(1) 在20C和1000-C時(shí)，鐵各屈于什么結(jié)構(gòu)？(2) 若在20C時(shí)，鐵的密度為7. 86gcm-求其晶格常數(shù)和X射線的波長(zhǎng)。解參考林鴻生1. 1.21,王矜奉1. 2.21(1)在X射線衍射方法決定晶體結(jié)構(gòu)

42、時(shí).常采用晶胞而不是固體物理學(xué)原胞。因此決定散射波強(qiáng)度在空間分布時(shí).先是根據(jù)晶體所屬的晶體.按照晶系的布喇格格子， 由布喇格反射條件決定衍射加強(qiáng)方向，其次在這些衍射加強(qiáng)方向 上的散射波強(qiáng)度則宙幾何結(jié)構(gòu)因子及原子散射因子決定，所以在 晶體X射線衍射實(shí)驗(yàn)中，耍在衍射角0方向上觀察到衍射斑點(diǎn)， 首先必須滿足布喇格反射定律2d展 sin= nA鐵金屬屬芷方結(jié)構(gòu)，如圖所示，這是簡(jiǎn)立方格子晶胞，正格欠基其倒格子基欠為倒格子矢最為辺亦+石+兀)矢為 a = ai、b = a j、c = aky#第一章晶體的結(jié)構(gòu)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)代表晶面族(MA)的法線方向，其晶面族的間距為#第一章晶體的結(jié)構(gòu)27第一章晶體的

43、結(jié)構(gòu)置換布喇格公式中仏.得到c /以 2 / O fOf?F I ->->10-sin 8 = = Jw/r + nW + irr s Jzr/?- + nk + trr ldM 2a7表明衍射角正弦與衍射面指數(shù)的方均值成正比。上面的推導(dǎo)可以看出，對(duì)應(yīng)三個(gè)最小衍射角耍求三個(gè)最小 址簡(jiǎn)單的晶面指數(shù)（H/）：但晶格面指數(shù)（加7）的選擇還?？紤]到，盡管這個(gè)選擇滿足X射線衍射理論的布喇格反射公式，在衍射角（）方向上衍射光足加強(qiáng)的，但由J：晶胞內(nèi)不同坐標(biāo)上原子的散射波Z間干涉也 會(huì)相互抵消，在這些方向上的衍射強(qiáng)度仍可能為零，而看不到衍射斑點(diǎn)，這就說(shuō)必須滿足陽(yáng)體的兒何結(jié)構(gòu) 因子，立方晶系有體心

44、和面心結(jié)構(gòu)。坊肘=工f 對(duì)仲嚴(yán)旳）= /l+enh'htk+nl)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)1 0Cy#/f鬲二®/用廣工/cos2皿（他+紀(jì)+側(cè)）+工/>112勸（他+純+阿）首先計(jì)算體心結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子，這時(shí)每個(gè)陽(yáng)胞中勺兩個(gè)原子，其坐標(biāo)（MrVy,H；.）為（0,0,0）和雪 比較看出.體心立方結(jié)構(gòu)情況卜三個(gè)衍射面指數(shù)的方均根之比與鐵在實(shí)驗(yàn)測(cè)得當(dāng)溫度為20C時(shí).得到最初 的三個(gè)衍射角正弦值Z比非常接近，所以鐵在20C下是否屈體心立方結(jié)構(gòu)。則Fh =工于嚴(yán)佝4*旳）= /l + e氐(nh+tik+nl)其次，在面心結(jié)構(gòu)中，這時(shí)每個(gè)晶胞中仃四個(gè)原子，其坐標(biāo)）為

45、（o。，。），（鈴。則厲廣工小3嚴(yán)嚴(yán)7）=J+嚴(yán)®)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)#第一章晶體的結(jié)構(gòu)55847x10T f in =kg ,6.02 X1023/ 8 Fhkl = FhU - F*kl =尸1+ cos2tu?(/?+ /:)+ cos2tv?(/?+ /)+ cos2tu7(R + /)丁+ f2 sin? (h + k) + sin2 (/?+/) + sin2 (k + /)顯然，當(dāng)Hhtnktnl奇偶相異時(shí)，I=o,衍射消失，但當(dāng)"lhnl全為奇數(shù)或全為偶數(shù)時(shí)，衍射極人，取 n=l,則対應(yīng)最小三個(gè)衍射角的最簡(jiǎn)單的面指數(shù)依次為（111）,（200）, （220）

46、,這三個(gè)衍射角的衍射面指數(shù)的方均根Z比為JF+F+F : V22 +02 4-02 : V23 + 22 + 02 =1:1.15470 :1.63299比較看出，面心工方結(jié)構(gòu)情況卜三個(gè)衍射1何指數(shù)的方均根Z比與鐵在實(shí)驗(yàn)測(cè)得當(dāng)溫度為100CTC時(shí)，得到最 初的三個(gè)衍射角正弦值Z比非常接近，所以恢在looor卜是否屬J：面心立方結(jié)構(gòu)。（2）設(shè)鐵原了質(zhì)鼠為m,晶格常數(shù)為a,鐵在20C時(shí)為體心立方結(jié)構(gòu)，一個(gè)晶胞仃2個(gè)鐵原了，則鐵的質(zhì) 晟密度2mr 是鐵的結(jié)構(gòu)常數(shù)a等丁lmol鐵質(zhì)員為55.847x10和g, 個(gè)鐵原子的質(zhì)杲#第一章晶體的結(jié)構(gòu)1 £ 10.2868川”_ （2mV _ （ 2

47、M V _ （ 2x55.847 xlQ3 VCl p ） 一1/?匕丿（7860x6.02x10=117證明：在晶體的X射線衍射屮：（1）如果X射線的波長(zhǎng)改變TAA,反射線束將備轉(zhuǎn)一個(gè)角度A式中0為布喇格角；（2）當(dāng)晶體發(fā)生體膨脹時(shí)，反射線束將偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度 & = - tan » & = tan P3式中.B是晶體的體脹系數(shù)。證明：(1)布喇格反射定律2dhkl shi&= nA兩邊求導(dǎo)得ldhil cosOd 8= nd A tan<9,即& =2tan6> A布喇格反射定律2dhH sin 0 = nAsin & ="

48、;朮=Jn2h + trlK +2dhki 2ci兩邊求導(dǎo)cos &d 0 = _Jn2h2 + n2k2 + n2l2daler vdO = - Jn2h2 + n2k2 + n2P lacos。a設(shè)線膨脹系數(shù)為Q, TfZ? = = 3= 3«, V ad& = -sin&- = - tan cos。a 3證法(二)對(duì)2d陰sin 0 = nA兩邊求導(dǎo)2 sin 6悶呻、+ 2d屮小 cos 080 = ndX = 02 sin OSdKh.i SVB卑 = _ = _ tan 3 = -tan = - tan2dg cwBd訕3 V329第一章晶體的結(jié)構(gòu)

49、溫度升高時(shí)，由于熱膨脹，面間距也逐漸變?nèi)?山布拉格反射公式可知，對(duì)應(yīng)同-級(jí)衍射，、rx光波長(zhǎng)不變時(shí)，面間距厶逐漸變大，衍射角。逐漸變小.所以溫 度升高，衍射角變小.當(dāng)溫度不變,X光波長(zhǎng)變大時(shí),對(duì)于同-晶面族,衍射角&隨之變大.1. 18設(shè)由廉子A和B組成的一維雙原子晶體中，原子A和B的散射因子分別為和BZ間的距離為a/2,(1)X射線垂直原子線入射，試證明： 干涉條件是nA = a cos 0式中，0是衍射光速與原了線間的夾角；（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，衍射強(qiáng)度當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，衍射強(qiáng)度/引辦+九AAB A證明：參考林鴻生1119,王矜奉1.2.26（1）如圖所示,復(fù)式格子對(duì)X射線的衍射，可以歸

50、結(jié)為晶體內(nèi)各原胞散射波之間的相互干涉，因?yàn)榫w 是由各原胞在空間周期性排列而成,而它的排列情況完全可由布喇格格子來(lái)表示，因此各原胞之間相互加 山條件即是布喇格格了屮被格點(diǎn)散射加強(qiáng)條件。因此本題可看做是一個(gè)相距為a-維布喇格晶體光柵，如 圖所示，其屮每一個(gè)格點(diǎn)代表了原子A和B,各格點(diǎn)（原胞）散射波之間相互加強(qiáng)條件由期中任兩束散射 波的光程差來(lái)決定，當(dāng)光程差等丁入射X射線波長(zhǎng)整數(shù)倍時(shí)，散射相互加強(qiáng)，即LQ = LP cos 8 = a cos 3 = nA（n = 0,1,2 ）這與布喇格公式2dhkl sin <9=/?不同，原因是這里不存在晶面族中各晶面之間干涉。（2）兒何結(jié)構(gòu)因了S /；eJi2/1(加丿)231第一章晶體的結(jié)構(gòu)2#第