導(dǎo)數(shù)應(yīng)用論文

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用目錄摘要2一.引言2二導(dǎo)數(shù)的概念2三導(dǎo)數(shù)的求法31顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)311導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：312復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則313基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式32隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)43由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法44分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4四導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)4五導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用51導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用511利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性612利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)713利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值814利用導(dǎo)數(shù)知識描繪函數(shù)圖形1315利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問題152導(dǎo)數(shù)在曲線中的應(yīng)用163利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根174應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式175導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用186利用導(dǎo)數(shù)求極限洛必達(dá)法則1961“”型和“”型1962其他形式207物理學(xué)中的導(dǎo)數(shù)

2、208經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用21結(jié)束語：22參考文獻(xiàn)：22摘要導(dǎo)數(shù)是新教材的一個亮點(diǎn)，它是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，用它可以解決許多數(shù)學(xué)問題，它是近年高考的的熱點(diǎn)。它不僅幫助即將進(jìn)入大學(xué)的高三學(xué)生奠定進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而且在解決有關(guān)問題已經(jīng)成為必用工具。由于導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，現(xiàn)已成為高考的熱點(diǎn)知識本文擬對導(dǎo)數(shù)知識的全面歸納，然后通過一些實(shí)例全面介紹導(dǎo)數(shù)在實(shí)際數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，讓人們?nèi)媪私鈱?dǎo)數(shù)這一工具的利用關(guān)鍵字導(dǎo)數(shù) 初等數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué) 應(yīng)用一.引言導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)，高考對導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問題的工具出現(xiàn)，高考對這部分內(nèi)容的考查將仍會以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題為主

3、，如利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值、最值和單調(diào)性問題和曲線的問題等，考題不難，側(cè)重知識之意。高考考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用主要有以下三個方面：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線的切線斜率。函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)P（x0 , y0）處的切線斜率。導(dǎo)數(shù)在其它數(shù)學(xué)分支的應(yīng)用，如在數(shù)列、不等式、排列組合等知識的綜合等。二導(dǎo)數(shù)的概念1、定義：左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：可以證明：可導(dǎo)連續(xù) 即：可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件導(dǎo)函數(shù)：2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義（圖1）曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示為：曲線在點(diǎn)A處切線的斜率。即（是過A點(diǎn)的切線的傾斜角）（如圖1）則，曲線在點(diǎn)A

4、處切線方程為：三導(dǎo)數(shù)的求法1顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)11導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：12復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 （反函數(shù)求導(dǎo)法則）13基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式； ； ； ； ； ； ； ； ； 。2隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)如方程，能確定，只需對方程兩邊對求導(dǎo)即可。注意3由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法參數(shù)方程，則：為的復(fù)合函數(shù)，所以：4分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對分段函數(shù)求導(dǎo)時，在分段點(diǎn)處必須用導(dǎo)數(shù)定義來求導(dǎo)，而在每段內(nèi)仍可用初等函數(shù)求導(dǎo)法則來求導(dǎo)。分段函數(shù)點(diǎn)處極限問題，歸納為該點(diǎn)處在左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否一致以及該點(diǎn)處是否連續(xù)的問題。四導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)前面介紹了導(dǎo)數(shù)的基本知識，現(xiàn)將用導(dǎo)函數(shù)自身的定義來探討與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系性質(zhì)1：若函數(shù)是偶

5、函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。證明：由是偶函數(shù)，有 則：所以，是奇函數(shù)同理：若函數(shù)是奇函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)。性質(zhì)2：若函數(shù)是周期函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù)。證明：是周期，有所以，是周期函數(shù)性質(zhì)3：若函數(shù)可導(dǎo)且圖象關(guān)于直線對稱，則其導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱證明：函數(shù)圖象關(guān)于對稱，有且點(diǎn)在的圖象上，所以圖象關(guān)于點(diǎn)對稱同理：若函數(shù)可導(dǎo)且圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則其導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱五導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是對函數(shù)的圖像與性質(zhì)的總結(jié)與拓展，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性極佳、最佳的重要工具，廣泛運(yùn)用在討論函數(shù)圖像的變化趨勢及證明不等式等方面。在掌握求函數(shù)的極值和最值的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)解決

6、生產(chǎn)生活中的有關(guān)最大最小最有效等類似的應(yīng)用問題11利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)增減性的變化規(guī)律，是在研究函數(shù)圖形時首先考慮的問題。在中學(xué)，已經(jīng)知道函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)增減性的定義。下面利用導(dǎo)數(shù)這一工具來判斷函數(shù)增減性及其確定單調(diào)區(qū)間從圖形直觀分析：若在內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于0，即，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的切線斜率都為正，這時曲線是上升的，即函數(shù)是單調(diào)遞增的（如圖2）。反之，若在內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都小于0（即曲線上每一點(diǎn)的切線斜率都為負(fù)），這時曲線是下降的，即函數(shù)是單調(diào)遞減的（如圖3）對于上升或者下降的曲線，它的切線在個別點(diǎn)可能平行于軸（此點(diǎn)的導(dǎo)

7、數(shù)值為0，即）。因此，函數(shù)的增減性反映在導(dǎo)數(shù)上，有如下定理：定理1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：若時恒有，則在單調(diào)增加；若時恒有，則在單調(diào)減少。例1：求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間解：因，由 得所以，單調(diào)遞增區(qū)間為例2：已知函數(shù)，試討論函數(shù)單調(diào)性。分析：引進(jìn)導(dǎo)數(shù)這一工具之前，判斷函數(shù)單調(diào)性的一般方法是定義法。此題利用定義法就無法的出答案，而有了導(dǎo)數(shù)之后，問題就易解決了。（此題是04年湖南高考題）解：因，所以（1）當(dāng)時，令得； 若，則，從而在上單調(diào)遞增； 若，則，從而在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，令得或； 若，則，從而在上單調(diào)遞減； 若，則，從而在上單調(diào)遞增； 若，則，從而在上單調(diào)遞減。12利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性及

8、拐點(diǎn)在研究函數(shù)圖形的變化狀況時，知道它的上升和下降顧慮很有好處，但不能完全反映它的變化規(guī)律。如圖4所示的函數(shù)的圖形在區(qū)間內(nèi)雖然是一直上升的，但卻有不同的彎曲形狀。因此，研究函數(shù)圖形時，考察它的彎曲形狀以及扭轉(zhuǎn)彎曲方向的點(diǎn)是必要的。從圖4看出，曲線向下彎曲的弧度在這段弧段任意點(diǎn)的切線下方，曲線向上下彎曲的弧度在這段弧段任意點(diǎn)的切線上方，據(jù)此給出定義如下：定義1 在某區(qū)間內(nèi)，若曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線上方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是上凸的（也稱在該區(qū)間內(nèi)此函數(shù)為凹函數(shù)）；在某區(qū)間內(nèi)，若曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線下方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是下凹的（也稱在該區(qū)間內(nèi)此函數(shù)為凸函數(shù)）那么曲線的凹凸性與導(dǎo)數(shù)之

9、間有什么關(guān)系呢？按定義是很難判斷凹凸性的，對于凹凸性可以用二介導(dǎo)數(shù)來確定。即有判定定理。定理2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二介導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，則曲線為凸（此時在該區(qū)間為凹函數(shù)）當(dāng)時，則曲線為凹（此時在該區(qū)間為凸函數(shù)）通過圖形的直觀性來說明該定理的正確性（如圖5）若曲線呈現(xiàn)凸?fàn)?，由圖5（1）直觀看出：當(dāng)增大時，切線斜率隨之變小，說明一介導(dǎo)數(shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性判別法，必有，即。說明：若曲線為凸性，必有。同理，若曲線為凹，必有。從另一角度講，該定理為二介導(dǎo)數(shù)的幾何意義。定義2：若函數(shù)在點(diǎn)的左右鄰域上凹凸性相反，則點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)（注意拐點(diǎn)不是）由拐點(diǎn)的定義可知，判斷某點(diǎn)是否拐點(diǎn)，只需看該點(diǎn)左右兩側(cè)二

10、介導(dǎo)數(shù)是否異號，與該點(diǎn)一介、二介導(dǎo)數(shù)是否存在無關(guān)例3、求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。解：因，則令，得。所以0+0-0+凹1拐點(diǎn)凸 拐點(diǎn)凹13利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值函數(shù)由增加變?yōu)闇p少或由減少變?yōu)樵黾樱冀?jīng)過一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即圖中的“峰”點(diǎn)和“谷”點(diǎn)，這些點(diǎn)是在研究函數(shù)中是十分重要的。定義2、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其某鄰域左右兩側(cè)附近有定義，若對該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)（）恒有，則為極大值；若成立，則為極小值。應(yīng)當(dāng)注意：極值是一個局部概念，它只限于的某一鄰域內(nèi)，通過函數(shù)值相比較才能顯示出來。在一個區(qū)間上，函數(shù)可能有幾個極大、極小值?？赡軙袠O大值小于極小值。極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系如何？由圖6可知：定

11、理2 若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則或者不存在。注意：是點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件。如，但點(diǎn)不是函數(shù)極值點(diǎn)；函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能有極值。如，不存在，但點(diǎn)不是函數(shù)極值點(diǎn)（如圖7）將導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或者不可導(dǎo)的點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn)。因此函數(shù)的極值必在駐點(diǎn)處取得，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，所以在求得函數(shù)極值的駐點(diǎn)后，就是找到了所有極值可疑點(diǎn)。下面介紹函數(shù)在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)取得極值的充分條件，即極值的判斷方法。定理3（極限存在的充分條件之一） 設(shè)在連續(xù)，在某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若（左側(cè)）時，而（右側(cè)），則函數(shù)在處取極大值若（左側(cè)）時，而（右側(cè)）時，則函數(shù)在處取極小值若兩側(cè)不變號，則在處無極值。該定理的直觀含義為：函

12、數(shù)由單調(diào)增加（或單調(diào)減少）變成單調(diào)減少（或單調(diào)增加）的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即為極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。例4、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值解：，當(dāng)時，；而時不存在。因此，函數(shù)只可能在這兩點(diǎn)取得極值。+不存在-+極大值極小值由表可見，函數(shù)在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減。在處有極大值，在點(diǎn)處有極小值。若函數(shù)的二介導(dǎo)數(shù)存在，有如下的判定定理；定理4（極限存在的充分條件之二） 設(shè)，存在，若，則為的極小值；若，則為的極小值；若，本方法無效，需用極限存在的充分條件之一這個定理來進(jìn)一步判定。因?yàn)?，則曲線在點(diǎn)的左右兩側(cè)呈凹狀，因此為極小值；反之，若，則曲線在點(diǎn)的左右兩側(cè)呈凸?fàn)?，因此為極大值。例5、求函數(shù)的極值。解：如圖8，因?yàn)?/p>

13、，令，得駐點(diǎn)。所以，又因?yàn)?，所以函?shù)在處取得極小值。因?yàn)?，則定理應(yīng)用定理4失效。下面利用定理3。當(dāng)時，；當(dāng)時，所以函數(shù)在處無極值同理函數(shù)在處去極值（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)活動和日常生活中，常遇到在一定條件下。怎樣用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的問題，這些歸納到數(shù)學(xué)問題上，即為函數(shù)的最大值或最小值問題。假定函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則必存在最大、最小值，其判定方法為：找出可能為極值點(diǎn)的函數(shù)值（即區(qū)間內(nèi)使或不存在的所有點(diǎn)的函數(shù)值）；計(jì)算出端點(diǎn)處的函數(shù)值；比較極值和端點(diǎn)值的大?。黄渲凶畲蟮木褪呛瘮?shù)在閉區(qū)間上的最大值，其中最小的就是函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值。最值與極值是不同的：極值反映的

14、是函數(shù)形態(tài)，即極值只是與該點(diǎn)在附近的函數(shù)值比較而言的，而對于遠(yuǎn)離該點(diǎn)的情形不予考慮；而最值則是函數(shù)整體形態(tài)的反映，它是指函數(shù)在所考察的區(qū)間上全部函數(shù)值中的最大者（或最小者）。例6、求函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值。解：，令即解得，變化時，的變化如下表：0+0由上表可知最大值是，最小值為例7、已知，函數(shù)，當(dāng)為何值時，取得最小值？證明你的結(jié)論。解：，由，得，變化時，的變化如下表：+00+極大值極小值當(dāng)時，。而當(dāng)時，；時，。所以當(dāng)時，取得最小值。（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域求函數(shù)的值域是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，下面介紹利用高中教材新增加內(nèi)容-導(dǎo)數(shù)來求解值域例8、求函數(shù)的值域。解：函數(shù)的定義域?yàn)?，又可見?dāng)時，所以在上

15、是增函數(shù)。而，所以函數(shù)的值域是（4）實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例9、（2004年全國高考題）甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定的凈收入.在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤（元）與年產(chǎn)量（噸）滿足函數(shù)關(guān)系式.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方元（以下稱為賠付價(jià)格）。(1) 將乙方的年利潤（元）表示為年產(chǎn)量（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲的最大利潤的年產(chǎn)量；(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格是多少？解 （1）由題意得，乙方的實(shí)

16、際年利潤為：因?yàn)?，所以?dāng)時，取的最大值，因此乙方獲的最大利潤的年產(chǎn)量（噸）. (2)設(shè)甲方在索賠中獲得的凈收為元，則，將乙方獲的最大利潤的年產(chǎn)量代入上式，可得到甲方凈忙收入與賠付價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式，令得.因當(dāng)時；當(dāng)時，所以當(dāng)時，可取最大值。故甲方向乙方要求的賠付價(jià)格是20（元/噸）時，可獲得最大凈收入。14利用導(dǎo)數(shù)知識描繪函數(shù)圖形為有助于某些函數(shù)圖形的描繪，下面介紹曲線的漸近線。（1）曲線的漸近線定義3 若曲線上的一點(diǎn)沿著曲線趨于無窮遠(yuǎn)時，該點(diǎn)與某天直線的距離趨于0，則稱此直線為曲線的漸近線。水平漸近線 若曲線的定義域是無限區(qū)間，且有：，或，則直線為曲線的水平漸近線。垂直漸近線 若曲線有：，

17、或，則直線為曲線的垂直漸近線。斜漸近線 若成立，則是曲線的一條斜漸近線。下面介紹求的公式。由有：所以 即 將求出并代入即可確定例10、求曲線的漸近線解：（1）因，所以是曲線的垂直漸近線（2）由和可知是曲線的斜漸近線（2）函數(shù)圖形的作法導(dǎo)數(shù)未納入高中教材時，做圖形主要依靠描點(diǎn)作圖，這樣的圖形比較粗糙。導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)能更好的反應(yīng)出導(dǎo)數(shù)的各種性態(tài)。描繪圖形的一般步驟如下：確定函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)初等形態(tài)（對稱性、周期性、奇偶性）等；求出，；列表討論函數(shù)單調(diào)性、凹凸性及極值、拐點(diǎn)；確定曲線的漸近線；由曲線方程找出一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)；用光滑曲線連接，畫出的圖象。例11、作函數(shù)的圖形解：函數(shù)的定義域?yàn)?，令?/p>

18、得；令，得。列表如下：0+不存在0+不存在+拐點(diǎn)極小值不存在又為曲線的水平漸進(jìn)線為曲線的鉛垂?jié)u進(jìn)線曲線經(jīng)過，這幾個點(diǎn)通過上面的討論可大致繪出圖形（如圖9）15利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的范圍，它是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的延伸。例12、（05湖北理）已知向量，若在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求的取值范圍. 解：由向量的數(shù)量積定義，又在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則在 (-1,1)上恒成立.令在區(qū)間-1,1上，則，故在區(qū)間(-1,1)上使恒成立，只需即可，即.即的取值范圍是.2導(dǎo)數(shù)在曲線中的應(yīng)用曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示為：曲線在點(diǎn)A處切線的斜率。即。利用導(dǎo)數(shù)這一幾何意義可

19、以幫助我們解決解析幾何中有關(guān)曲線的一些問題例13、（2003全國高考題）已知拋物線和拋物線，當(dāng)a取何值時，和有且僅有一條公切線？寫出公切線的方程。解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點(diǎn)的切線方程是，即 （1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點(diǎn)的切線方程是，即 （2）若直線是過P和Q的公切線，則（1）式和（2）式都是的方程所以消去得方程，由于公切線僅有一條，所以當(dāng)，即時解得，此時公切線方程為。例14、已知P是拋物線上的動點(diǎn)，求過P到直線的最小距離。解：（如圖10）由得易知上的點(diǎn)到直線的距離最小。由得，于是曲線上過點(diǎn)且與直線平行的斜率為，得，則，那么點(diǎn)到直線的距離為故拋物線上的動點(diǎn)，求過P到直線的最小距離為。3利用導(dǎo)數(shù)研究方

20、程的根例15、已知，是否存在實(shí)數(shù)，使方程有四個不同的實(shí)數(shù)根，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。解：令 則令，得.當(dāng)變化時，、的變化關(guān)系如下表：010+00+極小值極大值0極小值故存在，使方程有4個不同的實(shí)數(shù)根4應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用高中新增內(nèi)容的導(dǎo)數(shù)來證明不等式，關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點(diǎn)。例16、若，證明：證明：令則，又，則則當(dāng)時，為增函數(shù) 當(dāng)時，為減函數(shù)所以當(dāng)時，取得最大值因此當(dāng)時恒有，即時，有例17、（2004年全國卷理工22題）已知函數(shù)，證明：證明：由有設(shè)則當(dāng)時，當(dāng)時，因此

21、，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，于是在，有最小值又，所以；設(shè)，則當(dāng)時，因此在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；因?yàn)?，所以，即：。綜上述：5導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與不等式方面的應(yīng)用是考試的熱點(diǎn)，而數(shù)列作為實(shí)質(zhì)意義上的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性及最值問題更簡便。例18、已知函數(shù)，數(shù)列滿足（1）求；（2）證明數(shù)列是遞減數(shù)列解：（1）由已知有，即得又，所以（2）令則，因，所以所以是遞減函數(shù)，則也是遞減的所以數(shù)列是遞減數(shù)列例19、已知數(shù)列，求此數(shù)列的最大項(xiàng)。解：考察函數(shù)（），則令，則，而，而將，及比較知，的最大值為故該數(shù)列最大項(xiàng)為第10000項(xiàng)，這一項(xiàng)的值為。6利用導(dǎo)數(shù)求極限洛必達(dá)法則61“”

22、型和“”型定理 若函數(shù)與滿足條件：（1），（2）存在，且，（3） 存在則必有：例20、求.解：62其他形式洛必達(dá)法則只適應(yīng)于“”型和“”型，對于其他式子，需要經(jīng)過一系列變換轉(zhuǎn)化為“”型和“”型，在利用洛必達(dá)法則來求解。其步驟如下：（“”表示可轉(zhuǎn)化為）型或型型，再經(jīng)過通分型。對于型，型，型，先取對數(shù)型，在利用的方法求解。例21、求下列極限解：（型）（型）(型)7物理學(xué)中的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是一個量對另一個量的變化率，在物理學(xué)中，物體的動量對時間的導(dǎo)數(shù)為合力，位移對時間的導(dǎo)數(shù)為速度，速度對時間的導(dǎo)數(shù)為加速度，質(zhì)量對體積的導(dǎo)數(shù)為密度，電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度，電壓對電流的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)體的電阻，單位質(zhì)量的物質(zhì)吸

23、收或者放出的熱量對時間的導(dǎo)數(shù)等于物質(zhì)的比熱容，電容器的電量對電壓的導(dǎo)數(shù)等于電容，功對時間的導(dǎo)數(shù)等于功率，磁通量對時間的導(dǎo)數(shù)的相反數(shù)是感應(yīng)電動勢，在場強(qiáng)方向上電勢對位移的導(dǎo)數(shù)等于電場強(qiáng)度等等。 例21.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程為（1）求質(zhì)點(diǎn)在這段時間內(nèi)的平均速度；（2）求在時的瞬時速度（用定義和求導(dǎo)兩種方法）.解：（1）質(zhì)點(diǎn)在這段時間內(nèi)的平均速度為： （2）定義法：質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度 導(dǎo)數(shù)法：質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度 當(dāng)時，例22、假設(shè)一個閉合線圈的磁通量,求感應(yīng)電動勢的最大值。 解：根據(jù)電磁感應(yīng)定律,所以感應(yīng)電動勢的最大值為25V。 8經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用數(shù)學(xué)的應(yīng)用遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，也深入到人們的日常生活，而導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)知識也逐步應(yīng)用到各種經(jīng)濟(jì)問題。1、邊際問題邊際成本，邊際收益，邊際利潤，邊際需求在數(shù)學(xué)上可以表達(dá)為各自總函數(shù)