教學(xué)程序1引導(dǎo)

1、第二十一章 重 積 分1二重積分概念授課章節(jié)：ch21-1二重積分概念（P211-218）教學(xué)目的：1）掌握二重積分的定義及可積性定理教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的定義及性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：定理21.7的證明教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)程序：1引導(dǎo)2定義1、定理21.1-21.73例題及部分習(xí)題練習(xí)4作業(yè)P217習(xí)題2、3、4。一、平面圖形的面積 df 稱一個(gè)平面圖形是有界的，是指構(gòu)成這個(gè)平面圖形的點(diǎn)集是平面上的有界點(diǎn)集，即存在一矩形，使得 為了研究定義在平面圖形(即平面點(diǎn)集)上函數(shù)的積分，我們首先討論平面有界圖形的面積問題 設(shè)是一平面有界圖形，用某一平行于坐標(biāo)軸的一組直線網(wǎng)分割這個(gè)圖形(圖211)這時(shí)直線網(wǎng)的網(wǎng)眼

2、小閉矩形可分為三類：(i)上的點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)；(ii)上的點(diǎn)都是的外點(diǎn)，即；(iii)上含有的邊界點(diǎn) 我們將所有屬于直線網(wǎng)的第(i)類小矩形(圖211中陰影部分)的面積加起來，記這個(gè)和數(shù)為，則有(這里表示包含P的那個(gè)矩形R的面積)；將所有第（i）類與第（iii）類小矩形(圖211中粗線所圍部分)的面積加起來，記這個(gè)和數(shù)為.結(jié)論1：為平面有界圖形的平行于坐標(biāo)軸的一組直線網(wǎng)，則事實(shí)上: 為的面積的不足值，而為的面積的過剩值.結(jié)論2：對(duì)于平面上所有直線網(wǎng)，數(shù)集有上確界，數(shù)集有下確界，記 。稱為的內(nèi)面積，為的外面積,且有. (1)事實(shí)上: 數(shù)集上確界、數(shù)集下確界的存在性，由確界存在定理可以推得(非空數(shù)集

3、有界必有確界)(上冊(cè)P7Th1.1). df1 若平面圖形的內(nèi)面積等于它的外面積，則稱為可求面積，并稱其共同值為的面積 定理 平面有界圖形P可求面積的充要條件是：對(duì)任給的0，總存在直線網(wǎng)，使得 (2) 證明：必要性 設(shè)平面有界圖形的面積為，由定義1，有=對(duì)任給的0，由及的定義知道，分別存在直線網(wǎng)與，使得 ， (3) 記為由與這兩個(gè)直線網(wǎng)合并所成的直線網(wǎng)，可證得 于是由(3)可得 ， 從而得到對(duì)直線網(wǎng)有 充分性 設(shè)對(duì)任給的0，存在某直線網(wǎng)，使得(2)式成立但 所以由的任意性，因此，因而平面圖形可求面積 由不等式(1)及定理21.1立即可得： 推論 平面有界圖形的面積為零的充要條件是它的外面積0，

4、即對(duì)任給的，存在直線網(wǎng)，使得 ，(因?yàn)?或?qū)θ谓o的0，平面圖形能被有限個(gè)其面積總和小于的小矩形所覆蓋 定理 平面有界圖形可求面積的充要條件是：的邊界的面積為零 證明：由定理，可求面積的充要條件是：對(duì)任給的0，存在直線網(wǎng)，使得由于 所以也有由上述推論，的邊界的面積為零 定理21.3 若曲線為由定義在上的連續(xù)函數(shù)的圖象，則曲線的面積為零 證明：由于在閉區(qū)間 上連續(xù)，所以它在上一致連續(xù)因而對(duì)任給的，總存在，當(dāng)把區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間并且滿足時(shí)，可使在每個(gè)小區(qū)間上的振幅都成立現(xiàn)把曲線K按自變量分成n個(gè)小段，這時(shí)每一個(gè)小段都能被以為寬，為高的小矩形所覆蓋由于這個(gè)小矩形面積的總和為所以由定理的推論即得曲線的面

5、積為零 結(jié)論3：由參量方程所表示的平面光滑曲線(即在上具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù))或按段光滑曲線，其面積一定為零 證明：（略）二、二重積分的定義及其存在性 1 實(shí)例 先討論一個(gè)幾何問題求曲頂柱體的體積設(shè)為定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)求以曲面為頂，為底的柱體(圖2l2)的體積 采用類似于求曲邊梯形面積的方法先用一組平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)把區(qū)域分成個(gè)小區(qū)域 (稱為區(qū)域的一個(gè)分割)以表示小區(qū)域的面積這個(gè)直線網(wǎng)也相應(yīng)地把曲頂柱體分割成個(gè)以為底的小曲頂柱體由于在D上連續(xù)，故當(dāng)每個(gè)的直徑都很小時(shí), 在上各點(diǎn)的函數(shù)值都相差無幾，因而可在上任取一點(diǎn)，用以為高，為底的小平頂柱體的體積作為的體積的近似值(如圖2

6、l3)，即 把這些小平頂柱體的體積加起來,就得到曲頂柱體體積V的近似值 當(dāng)直線網(wǎng)網(wǎng)眼越來越細(xì)密，即分割細(xì)度(為的直徑)趨于零時(shí),就有2 二重積分的定義 下面敘述定義在平面有界閉區(qū)域上函數(shù)的二重積分的概念 設(shè)為平面上可求面積的有界閉區(qū)域，為定義在上的函數(shù)用任意的曲線把分成n個(gè)可求面積的小區(qū)域以表示小區(qū)域的面積，這些小區(qū)域構(gòu)成的一個(gè)分割，以表示小區(qū)域的直徑，稱為分割的細(xì)度在每個(gè)上取一點(diǎn),作和式 稱它為函數(shù)在上屬于分割一個(gè)積分和 定義2 設(shè)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的函數(shù). 是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某個(gè)正數(shù)，使對(duì)于的任何分割，當(dāng)它的細(xì)度時(shí)，屬于所有積分和都有 (4)則稱在上可積，數(shù)

7、J稱為函數(shù)在上的二重積分，記作 (5)其中稱為二重積分的被積函數(shù),為積分變量，稱為積分區(qū)域注：1）與定積分概念一樣，二重積分也是通過“分割、近似求和、取極限”這三個(gè)步驟得到的，所不同的是現(xiàn)在討論的對(duì)象為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù) 2）當(dāng)0時(shí)，二重積分在幾何上就表示以為曲頂，為底的曲頂柱體的體積3）當(dāng)時(shí),二重積分的值即為積分區(qū)域的面積 4）由二重積分定義知道，若在區(qū)域上可積，則與定積分情況一樣，對(duì)任何分割T，只要當(dāng)時(shí)，(4)式都成立因此為方便計(jì)算起見，常選取一些特殊的分割方法，如選用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來分割，則每一小網(wǎng)眼區(qū)域的面積此時(shí)通常把記作(6) 結(jié)論4：函數(shù)在有界可求面積區(qū)域上可積的必要

8、條件是它在上有界. 證明: (同定積分可類似證明,略)結(jié)論5： df 設(shè)函數(shù)在上有界，為的一個(gè)分割，它把分成n個(gè)可求面積的小區(qū)域令作和式 它們分別稱為函數(shù)關(guān)于分割的上和與下和二元函數(shù)的上和與下和具有與一元函數(shù)的上和與下和同樣的性質(zhì). 證明: (同定積分那樣類似地證明即可,略)3 可積性定理下面列出有關(guān)二元函數(shù)的可積性定理我們只給出定理的證明，其余請(qǐng)讀者自行證明 定理21.4 在上可積的充要條件是： 定理21.5 在上可積的充要條件是：對(duì)于任給的正數(shù)，存在的某個(gè)分割，使得 定理21.6 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積 定理21.7 設(shè)是定義在有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)若的不連續(xù)點(diǎn)都落在有限條光滑曲線上

9、，則在上可積 證明:不失一般性，可設(shè)的不連續(xù)點(diǎn)全部落在某一條光滑曲線上記的長(zhǎng)度為于是對(duì)任給的，把L等分成段:在每段上取一點(diǎn),與其一端點(diǎn)的弧長(zhǎng)為以為中心作邊長(zhǎng)為的正方形,則.從而有記則為一多邊形設(shè)的面積為，那么現(xiàn)在把區(qū)域分成兩部分第一部分，第二部分.由于在上連續(xù)，根據(jù)定理216與定理215，存在的分割，使得又記以T表示由與多邊形的邊界所組成的區(qū)域的分割，則有 其中是在上的振幅。由于在上有界，故是有限值.于是由定理就證明了在上可積. 三、二重積分的性質(zhì)二重積分具有一系列與定積分完全相類似的性質(zhì)，現(xiàn)列舉如下：1若在區(qū)域上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且 2若在上都可積，則在上也可積，且 3若在和上都可積，且與無公共內(nèi)點(diǎn)，則在上也可積，且 4若與