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1、微分方程初值問題數(shù)值解習題課一、應用向前歐拉法和改進歐拉法求由如下積分所確定的函數(shù)y在點x =0.5,1.0,1.5的近似值。解：該積分問題等價于常微分方程初值問題其中h=0.5。其向前歐拉格式為改進歐拉格式為將兩種計算格式所得結果列于下表向前歐拉法改進歐拉法000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969二、應用4階4步阿達姆斯顯格式求解初值問題 取步長h=0.1.解：4步顯式法必須有4個起步值，已知，其他3個用4階龍格庫塔方法求出。本題的信息有：步長h=0.1；結點；經(jīng)典的4階龍格庫塔公式為算得,4階4步阿達姆斯顯格式由此算出三、

2、用Euler方法求問步長應該如何選取，才能保證算法的穩(wěn)定性？解：本題本題的絕對穩(wěn)定域為得，故步長應滿足四、 求梯形方法的絕對穩(wěn)定域。證明：將Euler公式用于試驗方程，得到整理設計算時有舍入誤差，則有據(jù)穩(wěn)定性定義，要想，只須因此方法絕對穩(wěn)定域為復平面的整個左半平面（？），是A-穩(wěn)定的。五、對初值問題 證明：用梯形公式求得的數(shù)值解為并證明當步長時，收斂于該初值問題的精確解證明：由梯形公式，有整理，得由此遞推公式和初值條件，有，則有在區(qū)間上有，步長，由前面結果有由x的任意性，得所證。六、對于微分方程，已知在等距結點處的y的值為，h為步長。試建立求的線性多步顯格式與與隱格式。解：取積分區(qū)間，對兩端積

3、分：對右端作的二次插值并積分得到線性4步顯格式若對右端在兩點上作線性插值并積分，有由此產(chǎn)生隱格式七、證明線性多步法存在的一個值，使方法是4階的。解： 由本題的公式，有 當=9時，局部截斷誤差是4階的，故該多步法是4階方法。數(shù)值積分習題解答說明 1.確定下列求積公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高，并指出對應的代數(shù)精度（1）（2）（3）（4）6.若用復化梯形公式計算問區(qū)間0,1應分成多少等份才能使截斷誤差不超過 ？若用復化辛普森公式，要達到同樣的精度，區(qū)間0,1應分成多少等份？7如果，證明用梯形公式計算定積分所得結果比準確值I大，說明其幾何意義。10構造Gauss型求積公式11.用n=2,3的高斯-勒讓德公式計算積分13.證明等式試依據(jù)的值，用外推算法求的近似值。定理 6.4 設函數(shù)逼近數(shù)的余項

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