微分中值定理

1、微分中值定理班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)： 摘要微分中值定理是一系列中值定理的總稱，是研究函數(shù)的有力工具，包括費(fèi)馬中值定理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理.以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個(gè)微分學(xué)的重要理論。它不僅溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，而且也是微分學(xué)理論應(yīng)用的橋梁，本文在此基礎(chǔ)上，綜述了微分中值定理在研究函數(shù)性質(zhì)，討論一些方程零點(diǎn)（根）的存在性，和對(duì)極限的求解問題，以及一些不等式的證明.羅爾定理定理1 若函數(shù)f滿足下列條件：(1)在閉區(qū)間連續(xù)；(2)在開區(qū)間可導(dǎo)； (3)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的連續(xù)曲線上，若端點(diǎn)值相等則在曲線

2、上至少存在一條水平曲線。（注：在羅爾定理中，三個(gè)條件有一個(gè)不成立，定理的結(jié)論就可能不成立.）例1 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：在內(nèi)方程至少存在一個(gè)根. 證明：令顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，而且根據(jù)羅爾定理，至少存在一個(gè)，使至少存在一個(gè)根.例2 求極限： 解：用有 拉格朗日中值定理定理2：若函數(shù)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間連續(xù)；(2)在開區(qū)間可導(dǎo)， 則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 顯然，特別當(dāng)時(shí)，本定理的結(jié)論即為羅爾中值定理的結(jié)論這表明羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情形拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線 此外，拉格朗

3、日公式還有以下幾種等價(jià)表示形式，供讀者在不同場合適用：；，；，值得注意的是：拉格朗日公式無論對(duì)于，還是都成立，而則是介于與之間的某一定數(shù)而后兩式的特點(diǎn)，在于把中值點(diǎn)表示成了，使得不論為何值，總可為小于1的某一正數(shù)例3 求證.證明：當(dāng)時(shí)，顯然設(shè)對(duì)在以1與為端點(diǎn)的閉區(qū)間上用拉格朗日中值定理，存在介于1與之間的，使,即當(dāng)時(shí)，但此時(shí)注意與均為負(fù)值，所以仍有，即對(duì)不等式恒成立.當(dāng)時(shí)，所以有.例4 證明當(dāng)時(shí)，。證明：要證，只要證設(shè)，由在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),且于是，即 故原式成立.推論1 若函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則為上的一個(gè)常量函數(shù)。推論2 若函數(shù)和在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在區(qū)間上和只相差某一常數(shù)，即： （為某一

4、常數(shù)）推論3 （導(dǎo)函數(shù)極限定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在，則在點(diǎn)可導(dǎo)，且.柯西中值定理定理3（柯西中值定理）設(shè)函數(shù)和滿足 (1)在閉區(qū)間上都連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)都可導(dǎo)；(3)和不同時(shí)為0；(4)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得例5 證明證明：令則就是求對(duì)在（0,1）上用柯西中值定理有： 當(dāng)即.所以原式成立。例6 函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在，使得.證明：令，易知，在上滿足柯西中值定理的條件，于是可得存在，使 ，即 ，亦即.求不定式極限:1.型不定式極限定理4 若函數(shù)和滿足： （1）； （2）在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（3）（可為實(shí)數(shù)，也可為或）， 則例7

5、求解：這是 型不定式， 故例8 求解 容易檢驗(yàn)與在點(diǎn)的條件下滿足洛必達(dá)法則的條件，又因所以.2、型不定式極限 定理5 若函數(shù)和滿足（1）（2）在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（3）（可為實(shí)數(shù)，也可為或）， 則.例9 求解：這是型不定式，故 微分中中值定理在級(jí)數(shù)方面的應(yīng)用例 10 設(shè)g(x)在點(diǎn)x=0的某領(lǐng)域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且有下面的極限： .例11 證正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.證明：作輔助函數(shù)則.當(dāng)時(shí)，在上用中值定理，有于是 由收斂，即得所證.討論方程根的問題:例12 為多項(xiàng)式的二重根的充要條件是同為與的根.證明：必要性 設(shè)為的二重根，則是多項(xiàng)式，于是故充分性 若是、的根，則有多項(xiàng)式，使兩邊求導(dǎo)有故即是的根，則從而即是的二重根.一些不等式的證明:例13 設(shè)都是正數(shù)，有不等式其中等號(hào)成立證明：取函數(shù)，它的定義域是區(qū)間故不妨設(shè)令 或有 將函數(shù)在展開泰勒公式（到二階導(dǎo)數(shù)）有其中于與之間，顯然 0于是， 有當(dāng)時(shí)，分別有 將上述n個(gè)不等式兩端分別相加，有： 即： 亦即：因?yàn)樗?，不等式中等?hào)成立亦即：因?yàn)樗裕坏仁街械忍?hào)成立。參考文獻(xiàn)1楊鴻忠.微分中值定理的應(yīng)用(一)J.2011，27(08)144-145.2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))M.北京:高等教育出版社,2010:122-137.3 黨艷霞，淺談微分中值定理及其應(yīng)用. 廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)J.(自然科學(xué)報(bào))