直角三角形的判定

1、14.1.2 直角三角形的判定教學(xué)目標(biāo) 知識與技能：掌握直角三角形的判定條件，并能進行簡單應(yīng)用 過程與方法：經(jīng)歷探索直角三角形的判定條件的過程，理解勾股逆定理 情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學(xué)生解決的愿望，體會勾股逆向思維所獲得的結(jié)論明確其應(yīng)用范圍和實際價值 重點、難點、關(guān)鍵 重點：理解和應(yīng)用直角三角形的判定 難點：運用直角三角形判定方法進行解決問題 關(guān)鍵：運用合情推理的方法，對勾股定理進行逆向思維，形成一種判別方法 教學(xué)準(zhǔn)備 教師準(zhǔn)備：直尺、圓規(guī)、投影片 學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)勾股定理，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容 教學(xué)過程 一、創(chuàng)設(shè)情境神秘的數(shù)組（投影顯示）美國哥倫比亞大學(xué)圖書館收藏著一塊編號為“普林頓322”（pli

2、m pton 322）的古巴比倫泥板 泥板上的一些神秘符號實際上是一些數(shù)組，這些神秘的數(shù)組揭示了什么奧秘呢？經(jīng)專家的潛心研究，發(fā)現(xiàn)其中2列數(shù)字竟然是直角三角形的勾和弦，只要添加一列數(shù)（如表所示）左邊的一列，那么每列的3個數(shù)就是一個直角三角形的三邊的長！12011916934563367482548004601664913500127091854172659736031948127002291354196079912496004817696430496181616045752400167929292401612892700177132299056106 例如：60、45、70是這張表中的一組數(shù)，

3、而且602+452=752，小明畫了以60mm、45mm、75mm為邊長的ABC（如圖所示） 請你猜想，小明所畫的ABC是直角三角形嗎？為什么？ 教師活動：操作投影儀，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考 學(xué)生活動：觀察問題，小組合作交流，思考上述問題的解答 思路點撥： 思路一：用量角器量三角形的3個內(nèi)角，看有無直角 思路二：動手畫一個直角三角形，使它的2條直角邊的長為60mm和45mm，看能否與ABC全等 媒體使用：投影顯示“普林頓322”泥板的圖片，以及數(shù)字 古埃及人實驗（投影顯示） 古埃及人曾用下面的方法得到直角：如圖所示，用13個等距離的結(jié)把一根繩子分成等長12段，一個工匠同時握住繩子的第一個結(jié)和第

4、13個結(jié)，兩個助手分別握住第4個結(jié)和第8個結(jié)，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形，其直角在第4個結(jié) 請你思考：按這種做法真能得到一個直角三角形嗎？ 教師活動：提出問題，引導(dǎo)思考 學(xué)生活動：繼續(xù)探索，感悟其中的道理 形成共識：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形（勾股定理） 思考：這個結(jié)論與勾股定理有什么關(guān)系呢？ 學(xué)生活動：通過小組討論、分析，發(fā)現(xiàn)它與勾股定理恰好是條件與結(jié)論互相對換的一個語句 教師點撥：實際上它是勾股定理的逆定理，用它可以判定一個三角形是否是直角三角形從神秘的數(shù)組中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)它們都是勾股數(shù)，也就是滿足a2+b2=c2的3個正整數(shù)a、b、

5、c稱為勾股數(shù)，古埃及實驗也體現(xiàn)出這個特征可見利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形 二、范例學(xué)習(xí) 例3 設(shè)三角形三邊長分別為下列各組數(shù)，試判斷各三角形是否是直角三角形 （1）7，24，25； （2）12，35，37； （3）13，11，9 思路點撥：判斷的依據(jù)是勾股逆定理，但是應(yīng)該是將兩個較小數(shù)的平方和與較大數(shù)平方進行比較，若相等，則可構(gòu)成直角三角形，最大邊所對的角是直角，這一點應(yīng)該明確 教師活動：引導(dǎo)學(xué)生完成例3，然后提問學(xué)生，強調(diào)方法 學(xué)生活動：動手計算，對照勾股定理進行判斷 三、隨堂練習(xí) 1課本練習(xí) 2探研時空:（1）如圖所示，在ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，你能求出D

6、C的長嗎？ 思路點撥：本題首先要將ABC分割成RtABD和RtADC，然后具體的分析，將題設(shè)條件進行對照，確定運算在ABD中， AB=10，BD=6，AD=8，62+82=102， AD2+BD2=AB2 于是ADB=90（2）一個零件的形狀如圖（a）所示，按規(guī)定這個零件中A和DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得這個零件各邊尺寸如圖（b），這個零件符合要求嗎？ 思路點撥：這是利用勾股定理的逆定理解決實際問題的例子，只要能運用自己的語言表達清楚解決問題的過程即可，這個問題，首先應(yīng)在ABD中計算出AB2+AD2=9+6=25=BD2，得到ABD是直角三角形，A=90，再在BCD中，計算BD2+BC2=2

7、5+144=169=CD2，得到BCD是直角三角形，DBC是直角，由此，可以推斷出這個零件符合要求 教師活動：操作投影儀，提出問題，巡視、啟發(fā)，關(guān)注“學(xué)困生”，可以請部分學(xué)生上臺演示 學(xué)生活動：小組合作交流 媒體使用：投影顯示“探研時空” 教學(xué)方法：講練結(jié)合，互動交流 四、問題求索 如圖所示，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC中點，E為BC上一點，且EC=BC請你猜想AF與EF的位置關(guān)系，說說你的理由 思路點撥：要弄清兩條線段在同一平面內(nèi)位置關(guān)系，就有方向了可以猜想，AF與EF互相垂直，從理由上講就是要得到AFE=90，那么必定要構(gòu)建與AF、EF有關(guān)的三角形去證明它是Rt，因此可連接AE，利用勾股定

8、理，求得AF2、EF2、AE2，然后再判定是否存在AF2+EF2=AE2 連接AE，設(shè)正方形邊長為a，則DF=FC=，EC=， 在RtADF中，有AF2=AD2+DF2=a2+（）2=a2， 同理，在RtECF中，有EF2=（）2+（）2=a2， 在RtABE中，有BE=a-a=a AE2=a2+（a）2=a2 AF2+EF2=AE2 根據(jù)勾股定理逆定理得AEF=90 因此，AFEF 教師活動：操作投影儀，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生運用勾股定理以及它的逆定理來解決猜想，然后歸納出方法 學(xué)生活動：小組合作討論，共同思考、并猜想，而后去證明自己的猜想 媒體使用：投影顯示 教學(xué)形式：分四人小組合作交流 五、課堂

9、小結(jié) 1勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a、b、c有下列關(guān)系：a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形 2該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法 3利用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運算，通過學(xué)習(xí)加深對“數(shù)形結(jié)合”的理解 六、布置作業(yè) 1習(xí)題141 2選用課時作業(yè)設(shè)計 課時作業(yè)設(shè)計 一、填空題 1請完成以下未完成的勾股數(shù)： （1）8，15，_； （2）15，12，_； （3）10，26，_； （4）7，24，_ 2ABC中，b=17，c=8，a=15，則ABC=_ 3ABC中，若a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，則最大邊上的高

10、是_ 4已知三角形的三邊長分別為5cm，12cm，13cm，則這個三角形是_ 5ABC中，C=90，B=30，AC=1，以BC為邊的正方形面積為_ 6三條線段m，n，p滿足m2-n2=p2，以這三條線段為邊組成的三角形為_ 二、判斷題 7由于0.3，0.4，0.5不是勾股數(shù)，所以以0.3，0.4，0.5為邊的三角形不是直角三角形（ ） 8由于以0.5，1.2，1.3為邊長的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3.是勾股數(shù)。（ ） 三、選擇題 9分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：（1）6，8，10； （2）5，12，13； （3）8，15，17； （4）4，5，6其中能構(gòu)成直角三角形的

11、有（ ） A4組 B3組 C2組 D1組 10三角形的三邊分別為a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整數(shù)）則這個三角形是（ ） A直角三角形 B鈍角三角形 C銳角三角形 D不能確定 11以下各組數(shù)為三邊的三角形中不是直角三角形的有（ ）A7，24，25 B4，7，8 C12，16，20 D3，4，5 12直角三角形的兩直角邊同時擴大到原來的2倍，其斜邊擴大到原來的2倍，其斜邊擴大到原來的（ ） A2倍 B3倍 C4倍 D不變 13在ABC中，若a=2，b=3，c=4，則ABC是（ ）三角形 A銳角 B直角 C鈍角 D無法確定 四、解答題 14在ABC中，AC=21cm，BC=28cm，

12、AB=35cm，求ABC的面積15如圖所示，ABC的三邊分別為AC=5，BC=12，AB=13，將ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，求CD的長16如圖所示，一根旗桿在離地面9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前有多高？17“引葭赴岸”是九章算術(shù)中的一道題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B（如圖所示），問水深和蘆葦長各多少？ 18給出一組式子：32+42=52 82+62=102 152+82=172 242+102=262 （1）你能發(fā)現(xiàn)關(guān)于上述式子中的一些規(guī)律嗎？ （2）請你運用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個式子； （3）請你試說明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？ 答案:一、13略 4直角 53 6直角三角形 二、7 8 三、9B 10A 11D 12A 13C 四、14294cm 15.先得到ABC為Rt，將ABC沿AD對折，點O為AB中點，則AC=AO，CD=OD，OB=AB-AO=8，設(shè)C