直角三角形的判定

1、14.1.2 直角三角形的判定教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：掌握直角三角形的判定條件，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用 過(guò)程與方法：經(jīng)歷探索直角三角形的判定條件的過(guò)程，理解勾股逆定理 情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生解決的愿望，體會(huì)勾股逆向思維所獲得的結(jié)論明確其應(yīng)用范圍和實(shí)際價(jià)值 重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵 重點(diǎn)：理解和應(yīng)用直角三角形的判定 難點(diǎn)：運(yùn)用直角三角形判定方法進(jìn)行解決問(wèn)題 關(guān)鍵：運(yùn)用合情推理的方法，對(duì)勾股定理進(jìn)行逆向思維，形成一種判別方法 教學(xué)準(zhǔn)備 教師準(zhǔn)備：直尺、圓規(guī)、投影片 學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)勾股定理，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容 教學(xué)過(guò)程 一、創(chuàng)設(shè)情境神秘的數(shù)組（投影顯示）美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書(shū)館收藏著一塊編號(hào)為“普林頓322”（pli

2、m pton 322）的古巴比倫泥板 泥板上的一些神秘符號(hào)實(shí)際上是一些數(shù)組，這些神秘的數(shù)組揭示了什么奧秘呢？經(jīng)專家的潛心研究，發(fā)現(xiàn)其中2列數(shù)字竟然是直角三角形的勾和弦，只要添加一列數(shù)（如表所示）左邊的一列，那么每列的3個(gè)數(shù)就是一個(gè)直角三角形的三邊的長(zhǎng)！12011916934563367482548004601664913500127091854172659736031948127002291354196079912496004817696430496181616045752400167929292401612892700177132299056106 例如：60、45、70是這張表中的一組數(shù)，

3、而且602+452=752，小明畫了以60mm、45mm、75mm為邊長(zhǎng)的ABC（如圖所示） 請(qǐng)你猜想，小明所畫的ABC是直角三角形嗎？為什么？ 教師活動(dòng)：操作投影儀，提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考 學(xué)生活動(dòng)：觀察問(wèn)題，小組合作交流，思考上述問(wèn)題的解答 思路點(diǎn)撥： 思路一：用量角器量三角形的3個(gè)內(nèi)角，看有無(wú)直角 思路二：動(dòng)手畫一個(gè)直角三角形，使它的2條直角邊的長(zhǎng)為60mm和45mm，看能否與ABC全等 媒體使用：投影顯示“普林頓322”泥板的圖片，以及數(shù)字 古埃及人實(shí)驗(yàn)（投影顯示） 古埃及人曾用下面的方法得到直角：如圖所示，用13個(gè)等距離的結(jié)把一根繩子分成等長(zhǎng)12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第一個(gè)結(jié)和第

4、13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形，其直角在第4個(gè)結(jié) 請(qǐng)你思考：按這種做法真能得到一個(gè)直角三角形嗎？ 教師活動(dòng)：提出問(wèn)題，引導(dǎo)思考 學(xué)生活動(dòng)：繼續(xù)探索，感悟其中的道理 形成共識(shí)：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形（勾股定理） 思考：這個(gè)結(jié)論與勾股定理有什么關(guān)系呢？ 學(xué)生活動(dòng)：通過(guò)小組討論、分析，發(fā)現(xiàn)它與勾股定理恰好是條件與結(jié)論互相對(duì)換的一個(gè)語(yǔ)句 教師點(diǎn)撥：實(shí)際上它是勾股定理的逆定理，用它可以判定一個(gè)三角形是否是直角三角形從神秘的數(shù)組中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)它們都是勾股數(shù)，也就是滿足a2+b2=c2的3個(gè)正整數(shù)a、b、

5、c稱為勾股數(shù)，古埃及實(shí)驗(yàn)也體現(xiàn)出這個(gè)特征可見(jiàn)利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形 二、范例學(xué)習(xí) 例3 設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為下列各組數(shù)，試判斷各三角形是否是直角三角形 （1）7，24，25； （2）12，35，37； （3）13，11，9 思路點(diǎn)撥：判斷的依據(jù)是勾股逆定理，但是應(yīng)該是將兩個(gè)較小數(shù)的平方和與較大數(shù)平方進(jìn)行比較，若相等，則可構(gòu)成直角三角形，最大邊所對(duì)的角是直角，這一點(diǎn)應(yīng)該明確 教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生完成例3，然后提問(wèn)學(xué)生，強(qiáng)調(diào)方法 學(xué)生活動(dòng)：動(dòng)手計(jì)算，對(duì)照勾股定理進(jìn)行判斷 三、隨堂練習(xí) 1課本練習(xí) 2探研時(shí)空:（1）如圖所示，在ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，你能求出D

6、C的長(zhǎng)嗎？ 思路點(diǎn)撥：本題首先要將ABC分割成RtABD和RtADC，然后具體的分析，將題設(shè)條件進(jìn)行對(duì)照，確定運(yùn)算在ABD中， AB=10，BD=6，AD=8，62+82=102， AD2+BD2=AB2 于是ADB=90（2）一個(gè)零件的形狀如圖（a）所示，按規(guī)定這個(gè)零件中A和DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖（b），這個(gè)零件符合要求嗎？ 思路點(diǎn)撥：這是利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題的例子，只要能運(yùn)用自己的語(yǔ)言表達(dá)清楚解決問(wèn)題的過(guò)程即可，這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)在ABD中計(jì)算出AB2+AD2=9+6=25=BD2，得到ABD是直角三角形，A=90，再在BCD中，計(jì)算BD2+BC2=2

7、5+144=169=CD2，得到BCD是直角三角形，DBC是直角，由此，可以推斷出這個(gè)零件符合要求 教師活動(dòng)：操作投影儀，提出問(wèn)題，巡視、啟發(fā)，關(guān)注“學(xué)困生”，可以請(qǐng)部分學(xué)生上臺(tái)演示 學(xué)生活動(dòng)：小組合作交流 媒體使用：投影顯示“探研時(shí)空” 教學(xué)方法：講練結(jié)合，互動(dòng)交流 四、問(wèn)題求索 如圖所示，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC請(qǐng)你猜想AF與EF的位置關(guān)系，說(shuō)說(shuō)你的理由 思路點(diǎn)撥：要弄清兩條線段在同一平面內(nèi)位置關(guān)系，就有方向了可以猜想，AF與EF互相垂直，從理由上講就是要得到AFE=90，那么必定要構(gòu)建與AF、EF有關(guān)的三角形去證明它是Rt，因此可連接AE，利用勾股定

8、理，求得AF2、EF2、AE2，然后再判定是否存在AF2+EF2=AE2 連接AE，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則DF=FC=，EC=， 在RtADF中，有AF2=AD2+DF2=a2+（）2=a2， 同理，在RtECF中，有EF2=（）2+（）2=a2， 在RtABE中，有BE=a-a=a AE2=a2+（a）2=a2 AF2+EF2=AE2 根據(jù)勾股定理逆定理得AEF=90 因此，AFEF 教師活動(dòng)：操作投影儀，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用勾股定理以及它的逆定理來(lái)解決猜想，然后歸納出方法 學(xué)生活動(dòng)：小組合作討論，共同思考、并猜想，而后去證明自己的猜想 媒體使用：投影顯示 教學(xué)形式：分四人小組合作交流 五、課堂

9、小結(jié) 1勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a、b、c有下列關(guān)系：a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形 2該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法 3利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解 六、布置作業(yè) 1習(xí)題141 2選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、填空題 1請(qǐng)完成以下未完成的勾股數(shù)： （1）8，15，_； （2）15，12，_； （3）10，26，_； （4）7，24，_ 2ABC中，b=17，c=8，a=15，則ABC=_ 3ABC中，若a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，則最大邊上的高

10、是_ 4已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為5cm，12cm，13cm，則這個(gè)三角形是_ 5ABC中，C=90，B=30，AC=1，以BC為邊的正方形面積為_(kāi) 6三條線段m，n，p滿足m2-n2=p2，以這三條線段為邊組成的三角形為_(kāi) 二、判斷題 7由于0.3，0.4，0.5不是勾股數(shù)，所以以0.3，0.4，0.5為邊的三角形不是直角三角形（ ） 8由于以0.5，1.2，1.3為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3.是勾股數(shù)。（ ） 三、選擇題 9分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：（1）6，8，10； （2）5，12，13； （3）8，15，17； （4）4，5，6其中能構(gòu)成直角三角形的

11、有（ ） A4組 B3組 C2組 D1組 10三角形的三邊分別為a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整數(shù)）則這個(gè)三角形是（ ） A直角三角形 B鈍角三角形 C銳角三角形 D不能確定 11以下各組數(shù)為三邊的三角形中不是直角三角形的有（ ）A7，24，25 B4，7，8 C12，16，20 D3，4，5 12直角三角形的兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，其斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，其斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的（ ） A2倍 B3倍 C4倍 D不變 13在ABC中，若a=2，b=3，c=4，則ABC是（ ）三角形 A銳角 B直角 C鈍角 D無(wú)法確定 四、解答題 14在ABC中，AC=21cm，BC=28cm，

12、AB=35cm，求ABC的面積15如圖所示，ABC的三邊分別為AC=5，BC=12，AB=13，將ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，求CD的長(zhǎng)16如圖所示，一根旗桿在離地面9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前有多高？17“引葭赴岸”是九章算術(shù)中的一道題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B（如圖所示），問(wèn)水深和蘆葦長(zhǎng)各多少？ 18給出一組式子：32+42=52 82+62=102 152+82=172 242+102=262 （1）你能發(fā)現(xiàn)關(guān)于上述式子中的一些規(guī)律嗎？ （2）請(qǐng)你運(yùn)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個(gè)式子； （3）請(qǐng)你試說(shuō)明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？ 答案:一、13略 4直角 53 6直角三角形 二、7 8 三、9B 10A 11D 12A 13C 四、14294cm 15.先得到ABC為Rt，將ABC沿AD對(duì)折，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，則AC=AO，CD=OD，OB=AB-AO=8，設(shè)C