全概率公式貝葉斯公式的應用及推廣

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上目錄誠信申明···············································

2、;··········3課題及摘要·······································

3、;················4引言·································&#

4、183;···························51. 全概率公式和貝葉斯公式····················

5、;····················61.1 全概率公式····························&

6、#183;··················61.2 貝葉斯公式·····························

7、83;·················61.3 全概率公式和貝葉斯公式的關系·····························6

8、2. 全概率公式和貝葉斯公式的應用··································7 2.1 商業(yè)市場中的應用···········

9、;······························7 2.2 醫(yī)療診斷中的應用·················

10、83;·······················9 2.3 實際比賽中的應用························&

11、#183;················10 3. 全概率公式和貝葉斯公式的推廣及應用···························12 3.1 全概率公式的推

12、廣·········································12 3.2貝葉斯公式的推廣······

13、83;··································15 3.4 全概率和貝葉斯推廣公式的應用············

14、·················17 總結································&

15、#183;···························19 參考文獻·····················

16、···································20河西學院本科生畢業(yè)論文（設計）誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文（設計），是本人在指導老師的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果，成果不存在知識產權爭議，除文中已經注明

17、引用的內容外，本論文不含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律結果由本人承擔。 作者簽名： 二O 年 月 日（打?。Ｐ?專注-專業(yè)全概率公式和貝葉斯公式的應用及推廣摘 要：全概率公式和貝葉斯公式是計算復雜事件概率的公式，本文對兩個公式在醫(yī)療診斷、商業(yè)市場和實際比賽等的應用舉例說明了其用法和使用的概型。為了解決更多的實際問題，對兩個公式進行了簡單的推廣及推廣后的應用。 關鍵詞：全概率公式；貝葉斯公式；應用；推廣Abstract: The total probability formula and B

18、ias formula is to calculate the complex event probability formula, the application of two formulas in medical diagnosis, the commercial market and the actual game, illustrates its use and the use of probability. In order to solve the actual problem more, for the two formula for the application and p

19、romotion of simple after.Key words：Total Probability Formula ;Bayes Formula; Application; Promotion引言全概率公式與貝葉斯公式是概率論中重要的公式，主要用于計算比較復雜事件的概率,它們實質上是加法公式和乘法公式的綜合運用。概率論與數理統(tǒng)計是研究隨機現象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數學學科,起源于17 世紀。發(fā)展到現在,已經深入到科學和社會的許多領域。從十七世紀到現在很多國家對這兩個公式有了多方面的研究。概率論的重要課題之一, 就是希望從已知的簡單事件概率推算出未知的復雜事件的概率。為了達到這個目的, 經常把一

20、個復雜的事件分成若干個互不相容事件, 再通過分別計算這些簡單事件的概率, 最后利用概率的可加性得到最終結果。 這就是全概率公式的基本思想。把上面的整理清楚就是全概率公式。全概率公式是概率論中一個非常重要的基本公式，通過對概率論課程的研究，發(fā)現有多內容可以進一步深化與挖掘，從而得到更廣泛，更簡潔，更實用的結論，以豐富和完善概率論的理論體系。它提供了計算復雜事件概率的一條有效途徑,使一個復雜事件的概率計算問題化繁就簡。在概率論中起著很重要的作用,靈活使用全概率公式會給我們的解題帶來很大方便。蘊涵的數學思想方法：全概率公式蘊含了化整為零，化復雜為簡單的數學思想；全概率公式的本質：全概率公式中的P(B

21、)是一種平均概率，是條件概率PBAi的加權平均，其中加在每個條件概率上的權重就是作為條件的事件Ai發(fā)生的概率.貝葉斯公式首先出現在英國學者T·貝葉斯（1702-1761）去世后的1763年的一項著作中。從形式推導上看，這個公式平淡無奇，它不過是條件概率定義與全概率公式的簡單推導。其之所以著名，在于其現實乃至哲理意義的解釋上：原以為不甚可能的一種情況，可以因某種事件的發(fā)生變得甚為可能；或者相反，貝葉斯公式從數量上刻畫了這種變化。目前，社會在飛速發(fā)展，市場競爭日趨激烈，決策者必須綜合考察已往的信息及現狀從而作出綜合判斷，決策概率分析這門學科越來越顯示其重要性。其中貝葉斯公式主要用于處理先

22、驗概率與后驗概率，是進行統(tǒng)計決策的重要工具。概率論對醫(yī)學的滲透與結合，已成為現代醫(yī)學領域的顯著特征。利用數學方法，充分利用好全概率公式和貝葉斯公式及其推廣形式，定量地對醫(yī)學問題進行相關分析，使其結論更具有可信度，更有利于促進對病人的對癥施治。利用好全概率公式和貝葉斯公式可以用來解決投資、保險、工程等一系列不確定的問題中。兩個概率公式及推廣形式的正確應用有助于進一步研究多個隨機過程的試驗中目標事件及其條件下各誘發(fā)事件的概率，有助于把握隨機事件間的相互影響關系，為生產實踐提供更有價值的決策信息。靈活使用全概率公式和貝葉斯公式會給我們的解題帶來很大方便，而其推廣形式將進一步拓展公式的適用范圍，成為我

23、們解決更復雜問題的有效工具1.全概率公式和貝葉斯公式定義 設S為試驗E的樣本空間，B1, B2,···Bn為E的一組事件，若（i）BiBj = ，ij，i，j=1,2···n；（ii）B1B2 ···Bn =S，則稱B1，B2···Bn為樣本空間的一個劃分，那么，對每次試驗，事件B1，B2···Bn中必有一個且僅有一個發(fā)生。例如，設試驗E為“擲一顆骰子觀察其點數”。它的樣本空間為S=1,2,3,4,5,6。E的一組事件 B1=1,2,3，B2=4

24、,5，B3=6是S的一個劃分。而事件組C1=1,2,3，C2=3,4，C3=5,6不是S的劃分。1.1 全概率公式定理 設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2···Bn為S的一個劃分，且P（Bi）>0(i=1,2,···n)，則P(A)= P(A丨B1)P(B1) + P(A丨B2)P(B2) +···+ P(A丨Bn)P(Bn) （1.1）（1.1）式稱為全概率公式。在很多實際問題中P(A)不易直接求得，但卻容易找到S的一個劃分B1，B2···Bn，且P（B

25、i）和P(A丨Bi)或為已知，或容易求得，那么就可以根據（1.1）式求出P(A)。1.2 貝葉斯公式定理 設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2···Bn為S的一個劃分，且P(A)>0，P（Bi）>0(i=1,2,···n)，則P(Bi丨A)=P(A丨Bi)P（Bi）j=1nP(A丨Bj)P（Bj） （1.2）（1.2）式稱為貝葉斯公式1.3全概率公式和貝葉斯公式的關系全概率公式的“全”是指要把能影響A事件的因素找全。定理說明目標事件A發(fā)生的概率是在劃分（i=1,2，···，n）基礎

26、上兩兩互斥事件組A(i=1,2，···，n)的概述之和，可視為為事件A的誘發(fā)事件，P(AiB)為誘發(fā)成功的可能；若A已經發(fā)生，則來自誘發(fā)成功的可能是P(BiA)P(A) ，這本是一個條件概率PBiA,使用乘法公式和全概率公式之后成為貝葉斯公式。在全概率公式和貝葉斯公式中，B1,B2,···Bn是伴隨結果A發(fā)生的各種原因，P（Bi）是各種原因發(fā)生的概率，它一般是有經驗給出的，稱為先驗概率。PBiA反映試驗后各種情況發(fā)生的概率的新結果，可用來修正P（Bi）?！坝梢蛩鞴庇萌怕使?，“由果索因”用貝葉斯公式。2.全概率公式和貝葉斯公式的應

27、用2.1 在商業(yè)市場中的應用例 1.某電子設備制造廠所用的元件是有三家元件制造廠提供的，根據以往的記錄三家廠的次品率分別為0.02,0.01,0.03，三家廠所提供的份額分別為0.15,0.80,0.05。設這三家廠的產品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標志。（1）在倉庫中隨機取一只元件，求它是次品的概率；（2）在倉庫中隨機取一只元件，若已知取到的是次品，為分析此品出自何廠，需求出此品由三家工廠生產的概率分別是多少？解：設A表示“取到的是一只次品”，Bi（i=1,2，3）表示“所取到的產品是由第i家工廠提供的”。易知B1，B2，B3是樣本空間S的一個劃分，且有P(B1)=0.15 P(B2)=

28、0.80 P(B3)=0.05P(A丨B1)=0.02 P(A丨B2)=0.01 P(A丨B3)=0.031>.由全概率公式P(A)= P(A丨B1)P(B1) + P(A丨B2)P(B2) +···+ P(A丨Bn)P(Bn) =0.01252>.由貝葉斯公式P(B1丨A) = P(A丨B1)P（B1）P(A) = 0.02*0.150.0125 = 0.24P(B2丨A) = 0.64 P(B3丨A) = 0.12以上結果表明，這只產品來自第二家工廠的可能性最大。例2.某廠生產的產品次品率為某廠生產的產品次品率為01 ，但是沒有適當的儀器進行檢驗有

29、人聲稱發(fā)明一種儀器可以用來檢驗，誤判的概率僅為5試問廠長能否采用該人所發(fā)明的儀器?分析“5的誤判率”給檢驗帶來怎樣的可信度，這是廠長決策的依據，即弄清“被檢驗出的正(或次)品中實際正(或次)品率”解：設事件A表示“客觀的次品”，事件B表示“經榆驗判為次品的產品”，由題意知P(A)=0.001 P()=0.999P(A丨B) = 0.95 P(B丨) = 0.05由貝葉斯公式可計算“被檢驗出次品的實際次品率”為P(A丨B) = P(A丨B)P（B）PB丨APA +P(B丨)P（） = (0.001×0.95)/(0.001×0.95+0.999×0.05) =0.同

30、理，“被檢驗出的正品中實際正品率”為P(A丨B) 0.99947由P(A丨B)=0.可知，如果產品的成本較高，廠長就不能采用這臺新儀器，因為被儀器判為次品的產品中實際上有98以上的是正品，這樣導致損耗過高同時，我們也注意到該儀器對 正品的檢驗還是相當精確的，若檢驗對產品沒有破壞作用，倒是可以在“被認定次品”的產品中反復檢驗，挑出“假次品”，這就降低了損耗，叉保證了正品具有較高的可信度例3. 一種新產品，一個推銷員去推銷，成功記為“S”，失敗記作“D”，推銷員的主觀概率P(S)=0.3，P(D)=0.7，成功的收益為50000元，失敗的收益為-3000元，請咨詢公司作預測調查，有兩種調整方法1，

31、2，其費用分別為2000元，3000元，若同時進行1，2，費用為4000元，了解咨詢公司的業(yè)績，預報的結論為： 對1： PFS=0.6 PFD=0.1對2：PFS=0.8 PFD=0.1 (F：可行；E：不可行)現有如下六種決策:a.不進行調查 ； b.只進行1 ； c.只進行2 ; d.1，2同時進行；e.先做1，視情況后做2 ； f.先做2，視情況后做1.若效益系數為風險中性，請試選擇一種最好的決策？解: 分別計算各決策的期望效益(收支)：.不進行調查：推銷EU=50000P(S)+(-30000)P(D) =50000×0.3-30000×0.7=-6000 不推銷，

32、期望效益(收支)為0. EU(a)=-6000×12+0×12=-3000.只進行調查方法1. P(F1)=PF1SPS +PF1DPD=06×0.3+0.1×0.7=0.25；. P(E1)=0.75E1表示調整結果為不可行，已用咨詢費2000元.F1表示可行，導致推銷，此時運用貝葉斯公式:PSF1)=PF1SPSPF1SPS+PF1DPD=0.72因而PDF1=0.28 期望收支(效益)：EU(F1)=50000×0.72-30000×0.28=27600EU(b)=27600×0.25-2000×0.75=5

33、400；c.只進行2，同(b)一樣用貝葉斯公式有：EU(c)=6796 d.同時進行1.2，有四種可能結果：F1F2，F1E2，E1F2，E1E2 P(F1F2) =PF1F2S+PF1F2DP(D) =PF1SPF2SP(S)+PF1DPF2DPD=0.151; 同理有P(F1F2)=0.099,P(E1F2)=0.159,P(E1E2)=0.591再運用貝葉斯公式， 注意到此時咨詢費用為4000元，進一步計算有EU(d)=5808e.先進行l(wèi)，若結論為不可行(E)，則不進行2.若結論為可行，則進行2，經計算(同以前方法)有：EU(e)=4196 f.同e，有EU(f)=6188根據期望效益

34、準則，通過多次貝葉斯公式的應用，可以知道選擇期望效益最大值為6796，對應的決策是C，即只進行2是最好的決策，此例中還多次運用了全概率公式，事實上全概率公式與貝葉斯公式的綜合聯用是統(tǒng)計決策中的一個重要方法.2.2在醫(yī)療診斷中的應用例1.據美國的一份資料報導，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，求不吸煙者患肺癌的概率是多少？解：C=患肺癌 A=吸煙依題意有P(C)=0.001 P(A)=0.20 PCA = 0.004 ,需要求條件概率PCA.由全概率公式有P(C) = PCAP(A) + PCAP(A) 將數據代入，得0.001 =

35、0.004 × 0.20 + PCAP(A) 0.004 × 0.20 + PCA × 0.80PCA = 0.00025例2.根據以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若以A表示事件“試驗反應為陽性”，一C事件表示“被診斷者患有癌癥”，則有PAC = 0.95，PAC = 0.95。現在對自然人群進行普查，設被試驗的人患有癌癥的概率為0.005，即P(C) = 0.005，試求PCA。解：已知PAC = 0.95， P(AC) = 0.95PAC=1-PAC=1-0.95=0.05P(C) = 0.005， P(C) = 0.995 由貝葉斯公式PC

36、A = P(A丨C)P(C) PACPC+ PACP(C) = 0.087 本題的結果表明雖然PAC = 0.95，PAC = 0.95，這兩個概率都比較高。但若將此試驗用于普查，則有PCA = 0.087，亦即其正確性有8.7%。如果不注意到這一點，將會得出錯誤的診斷，這也說明PCA和PAC混淆了會造成不良的后果 。例3.據調查，在50個耳聾人中有4人色盲，在9950個非耳聾人中有796人色盲，分析兩種疾病是否相關. 分析:設事件A為耳聾人，事件B為色盲人，P(A)=p，則P(A)=1-p.依題意可得，PBA = 450 = 0.08，PBA= = 0.08 由全概率公式，P(B)=i=1n

37、PAiPBAi =P(A)PBA+P(A)PBA =p×0.08+(1-p)×0.08 =0.08 所以，P(B)=PBA=PBA=0.08,事件A與事件B相互獨立. 經過以上分析得出結論：耳聾與色盲無關.2.3 在實際比賽中的應用 例1. 某射擊小組共有20名射手, 其中一級射手4人, 二級射手8人, 三級射手8人，一、二、三級射手能通過選拔進入比賽的概率分別是0.9、0.7、0.4.求任選一名射手能通過選拔進入比賽的概率？ 分析：問題實質上涉及到兩個部分：第一, 選出的射手不知道是哪個級別的,由全概率公式知, 都應該考慮到, 才為全面.第二, 某個級別的射手能通過選拔進

38、入比賽的概率這是已知道的, 記為：Ai =“選出的級射手”，i=1,2,3，則A1，A2，A3構成一個完備事件組，有： ，且， 由題意：, “選出的射手能通過選拔進入比賽”，要求： 則： = =62% 即任選一名選手能通過選拔進入比賽的概率為62%.這個數比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因為三種可能性都考慮到了.例2. 甲乙兩個比賽射擊，每次射擊勝者得1分，每次甲勝的概率為，乙勝的概率為，平局概率為,( +=1).比賽進行到一方比對方多2分為止，多2分者獲勝，求甲獲勝的概率.解：由題意每次比賽與上一次比賽是獨立進行的，設為甲獲勝的概率，考慮前兩次比賽作為條件以1作為第一、二甲勝的概率，

39、2作為第一、二次均平局的概率，3作為第一、二次各勝一局的概率，1，2，3滿足定理1的條件但不滿足一般的全概率公式，由定理1知：；易知 ；所以 ；即 .例1. 某射擊小組共有20名射手, 其中一級射手4人, 二級射手8人, 三級射手8人，一、二、三級射手能通過選拔進入比賽的概率分別是0.9、0.7、0.4.求任選一名射手能通過選拔進入比賽的概率？ 分析：問題實質上涉及到兩個部分：第一, 選出的射手不知道是哪個級別的,由全概率公式知, 都應該考慮到, 才為全面.第二, 某個級別的射手能通過選拔進入比賽的概率這是已知道的, 記為：=“選出的級射手”，則構成一個完備事件組，有： ，且， 由題意：, “

40、選出的射手能通過選拔進入比賽”，要求： 則： = =62% 即任選一名選手能通過選拔進入比賽的概率為62%.這個數比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因為三種可能性都考慮到了.例2. 甲乙兩個比賽射擊，每次射擊勝者得1分，每次甲勝的概率為，乙勝的概率為，平局概率為,( +=1).比賽進行到一方比對方多2分為止，多2分者獲勝，求甲獲勝的概率.解：由題意每次比賽與上一次比賽是獨立進行的，設為甲獲勝的概率，考慮前兩次比賽作為條件以1作為第一、二甲勝的概率，2作為第一、二次均平局的概率，3作為第一、二次各勝一局的概率，1，2，3滿足定理1的條件但不滿足一般的全概率公式，由定理1知：；易知 ；所以

41、；即 .3.全概率公式和貝葉斯公式的推廣3.1 全概率公式的推廣及應用全概率公式在概率論的計算中有廣泛的應用，往往能使一個復雜函數的概率計算問題簡化，事實上，我們可以對全概率公式進行推廣，從而拓展全概率公式的使用范圍3.1.1全概率公式推廣1幾何概率的嚴格定義:設某一事件A(也是S中的某一區(qū)域),S包含A,它的量度大小為(A),若以P(A)表示事件A發(fā)生的概率,考慮到“均勻分布”性,事件A發(fā)生的概率取為:P(A)=(A)/(S),這樣計算的概率稱為幾何概率。 設（）。是n+1維隨機變量,其分布函數為:F(x,y)F()。其中是n維連續(xù)型隨機變量。為一維取值為0、1的離散型隨機變量。易見F(x,

42、0.5)/F()和F(x,)分別是某個隨機向量的分布函數,設它們都有密度函數(x,0.5),(x,)。設:p(x,y) (x,0.5) F(x,0.5) （當y=0） p(x,y)0 （當y0，y1） p(x,y)(x,)-(x,) F() （當y=1）則y0時, F(x,y)0 (x,0.5)dx當0<y<1時，F（x,y） F(x,0.5)+ F(x,)- F(x,0.5) F()(x,0.5)dx+(x,)-(x,0.5) F()dx P(x,0)dx+P(x,1)dx同理y1時, F（x,y） P(x,0)+P(x,1)dx故可將P( x, y)看成（）的“ 密度函數”。記

43、= P(x,0)+P(x,1),它看成F(x,y)關于的邊際密度函數。定義在的條件下的分布列為, 則P= P( x, y)/故F(x,y)關于 的邊際分布函數為:(,) = P( x, y)dx = Pdx 上式類似于全概率公式(將全概率公式中的“”改成“”)。故可將它看成全概率公式的推廣。3.1.2 全概率公式推廣2 在實際應用中,我們可以利用隨機變量的聯合分布、條件分布及邊緣分布將全概率公式推廣, 其基本思想是將一個邊緣密度分解成條件密度,使所要解決的問題簡化.設二維隨機變量(X,Y)的聯合密度函數為(x,y), 邊緣密度函數分別為(x) , (y) ,那么其條件密度函數可以由下式來表示:

44、= y(x) = ( x , y)/ (y)= x(y) = ( x , y)/(x)這樣就可以得到全概率公式的分布形式:f X (x) =(x,t)dt = (t)dt ,f Y (y) = (s,y)ds =f X (s)ds .在應用時, 有時會遇到混合型隨機變量, 即其中一個是離散型的,另一個是連續(xù)型的情況, 這時可以利用分布律.設二維隨機變量(X,Y) 中, X 是連續(xù)型隨機變量, Y 是離散型隨機變量,其分布律為 (y) ,那么 (x) = (y)如果X 是離散型的, Y 是連續(xù)型的,則有PX ( x) = (t) dt 這些公式對解決含有不確定因素的問題有重要的作用.3.1.3全

45、概率公式推廣3 設A1,A2,···,An為樣本空間的一個分割,即A1,A2,···,An互不相容且i=1Ai,為兩個事件,當時，有 .特別當分別與A1,A2,···,An獨立時，. 證明： 設B,C為兩個事件，根據加法公式，有P(BC)=i=1nP(AiBC) 當P(C) > 0, P(AiC) > 0 (i=1,2,···，n)時, . 所以 PBC = i=1nPAiC PBAiC 故 PBC=P(BC)P(C)=i=1nPBC PBAiC 而當C與A1,A

46、2,···,An獨立時，有：PAiC= P(A)此時：PBC = i=1nP(Ai) PBAiC3.1.4 全概率公式的推廣4在第一節(jié)對全概率公式的條件和結論作如下改動,就可以得到推廣的全概率公式.設n 個A1,A2,···,An事件互不相容, 且j=1nAi=,m個事件B1,B2,···,Bn中的Bi(i = 1 ,2 , ,m) 只能與事件A1,A2,···,An之一同時發(fā)生,Bi=j=1nBiAj (i=1,2,m)則有P (Bi)=j=1nP(Aj)PBiAj(i=1

47、,2,m)3.1.5全概率公式的推廣5因為P (Bi)=j=1nP(Aj)PBiAj(i=1,2,m)即 .按矩陣的乘法,有= 3.2貝葉斯公式的推廣 設事件A1,A2,···,An互不相容,且,在事件B1,B2,···,Bn中的Bi (i = 1 ,2 , ,m) 只能與事件A1,A2,···,An之一同時發(fā)生,則在事件Bi (i=1,2,m)發(fā)生的條件下,事件Aj (j=1,2,n)發(fā)生的概率將所有的排成如下矩陣,則由矩陣的運算,有 =即 =容易證明3.3全概率公式及貝葉斯公式推廣的應用例1.設甲、乙、丙三個士兵同時向一目標射擊，每人擊中目標的概率為，一人擊中目標被摧毀的概率是,兩人擊中目標被摧毀的概率是，三人擊中目標被摧毀的概率是，求目標被摧毀的概率.解：令B=“目標被摧毀”，Ai=“有i個人擊中目