橢圓性質(zhì)總結(jié)

1、橢 圓一.考試必“背”1 橢圓的兩種定義：平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長的點的軌跡，即點集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（時為線段，無軌跡）。其中兩定點F1，F(xiàn)2叫焦點，定點間的距離叫焦距。平面內(nèi)一動點到一個定點和一定直線的距離的比是小于1的正常數(shù)的點的軌跡，即點集M=P| ，0e1的常數(shù)。（為拋物線；為雙曲線）2 標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點在x軸上，中心在原點：（ab0）；焦點F1（c，0）， F2（c，0）。其中（一個）（2）焦點在y軸上，中心在原點：（ab0）；焦點F1（0，c），F(xiàn)2（0，c）。其中注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點總在

2、長軸上；兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB），當(dāng)AB時，橢圓的焦點在x軸上，AB時焦點在y軸上。3參數(shù)方程 ：橢圓的參數(shù)方程 4.性質(zhì)：對于焦點在x軸上，中心在原點：（ab0）有以下性質(zhì)：坐標(biāo)系下的性質(zhì)： 范圍：|x|a，|y|b； 對稱性：對稱軸方程為x=0，y=0，對稱中心為O（0，0）； 頂點：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），長軸|A1A2|=2a，短軸|B1B2|=2b；（半長軸長，半短軸長）； 準(zhǔn)線方程：；或 焦半徑公式：P（x0，y0）為橢圓上任一點。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；|PF1|=a

3、+ey0，|PF2|=a-ey0;平面幾何性質(zhì)： 離心率：e=（焦距與長軸長之比）；越大越_，是_。 焦準(zhǔn)距；準(zhǔn)線間距二、焦點三角形結(jié)論一：若、是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且，當(dāng)點P位于_時最大，cos=_.|PF1|PF2|的最大值為_. 結(jié)論二：過橢圓焦點的所有弦中通徑(垂直于焦點的弦)最短，通徑為_。結(jié)論三：已知橢圓方程為兩焦點分別為設(shè)焦點三角形，則橢圓的離心率。結(jié)論四：四心的軌跡(1)、焦點三角形內(nèi)心的軌跡及其方程(2)、焦點三角形重心的軌跡及其方程：(3)、焦點三角形垂心的軌跡及其方程：(4)、焦點三角形的外心的軌跡及其方程（）三中點弦問題是橢圓的一條弦，中點M坐標(biāo)為，則直線的斜

4、率為 。四弦長問題. (1)斜率為的直線與圓錐曲線相交于兩點，則所得的弦長 或 .(2)當(dāng)直線的斜率不存在時，可求出交點的坐標(biāo)，直接運算；(3)經(jīng)過圓錐曲線的焦點的弦(也稱為焦點弦)的長度問題，可利用圓錐曲線的定義，將其轉(zhuǎn)化為利用 ，往往比利用弦長公式簡單。五X軸正半軸到橢圓的最短距離問題：已知橢圓，則點(m ，O)到橢圓的最短距離為：_.六過橢圓上點切線問題若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.習(xí) 題1、已知橢圓方程，橢圓上點M到該橢圓一個焦點的距離是2，N是MF1的中點，O是橢圓的中心，那么線段ON的長是（ ）（A）2（B）4（C）8（D）2點P是橢圓上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且P

5、F1F2的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)P在第一象限時，P點的縱坐標(biāo)為_. 3.（2009年上海卷理）已知、是橢圓（0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=_.4.（2009北京文）橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則 ；的大小為 .4已知橢圓的左、右焦點分別為、F2，點P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P到軸的距離為（ ）（A） （B）3 （C） （D）5橢圓的焦點、，點為其上的動點，當(dāng)為鈍角時,點橫坐標(biāo)的取值范圍是_. 。6.橢圓的中心在原點，焦點在X軸上，離心率3/2，橢圓上各點到直線l的最短距離為1，則該橢圓方程是？直線l為x-y+0 7.設(shè)點P（x，y）在橢圓

6、，（1）試求點P到直線的距離d的最大值和最小值。(2) 求x+2y的最小值8已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點若，則（A）1 （B） （C） （D）29.已知點P是橢圓方程x2/3+y2=1上的動點，M,N是直線L：y=x上的兩個動點，且滿足|MN|=t，則 （1）存在實數(shù)t使MNP為正三角形的點僅有一個（2）存在實數(shù)t使MNP為正三角形的點僅有兩個（3）存在實數(shù)t使MNP為正三角形的點僅有三個（4）存在實數(shù)t使MNP為正三角形的點僅有四個（5）存在實數(shù)t使MNP為正三角形的點有無數(shù)個上述命題中正確的序號是_.10.在平面直角坐標(biāo)系中，點與點A（-1,1）關(guān)于原點O對稱，P

7、是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動點P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線=3交于點M,N，問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由(探究（面積）)11.（2007四川理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.（）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值;（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍.（最值、求取值范圍）12.（本小題共14分）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，點（是其左頂點，點在橢圓上，且，（）求橢圓的方程；（）若平行于的直線和橢圓交于兩個不同點，求面積的

8、最大值，并求此時直線的方程（最值）13.（2009浙江文）（本題滿分15分）已知拋物線：上一點到其焦點的距離為 （I）求與的值； （II）設(shè)拋物線上一點的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點若是的切線，求的最小值SJS14（本題滿分14分） 已知橢圓的離心率為，長軸長為，直線交橢圓于不同的兩點，（）求橢圓的方程；（）若，且，求的值（點為坐標(biāo)原點）；（）若坐標(biāo)原點到直線的距離為，求面積的最大值FT15、（13分）在直角坐標(biāo)系中，點到F1、F2的距離之和是4，點的軌跡與軸的負(fù)半軸交于點，不過點的直線：與軌跡交于不同的兩點和（1）求軌跡的方程；（2）當(dāng)時，求與的關(guān)系，并證明直線過定點（過定點）16.（12分）已知點是橢圓上的一點，,是橢圓的兩個焦點,且滿足.()求橢圓的方程及離心率; ()設(shè)點,是橢圓上的兩點,直線,的傾斜角互補,試判斷直線的斜率是否為定值?并