極限求法思想綜述詳細(xì)版

1、數(shù)學(xué)分析中極限的求法思想綜述 西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系 09級(jí)01班 中國(guó) 西安 710055摘要:本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種思想方法, 利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限, 利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限, 利用兩個(gè)重要極限公式求極限, 利用單側(cè)極限求極限，利用函數(shù)的連續(xù)性求極限, 利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限, 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限, 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限, 利用中值定理求極限, 利用洛必達(dá)法則求極限, 利用定積分求和式的極限,利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限, 利用泰勒展開(kāi)式求極限, 利用換元法求極限。關(guān)鍵詞: 單調(diào)有界準(zhǔn)則, 無(wú)窮小量的性質(zhì), 洛必達(dá)法則, 中值定理, 泰勒展開(kāi)式.極限是

2、數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念來(lái)表述，都可以用極限思想來(lái)描述。如函數(shù)yf(x)在處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的定義，都是用極限來(lái)定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對(duì)第二個(gè)問(wèn)題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限。 (1)夾逼準(zhǔn)則：若存在正整數(shù) N,當(dāng)n>N時(shí)，有且則有 . 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過(guò)放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值

3、的數(shù)列和 ，使得。例1 求的極限解：因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 則 又因?yàn)椋?）：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。 例：1 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。 證明：從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來(lái)看 顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。 又因?yàn)?所以得. 因?yàn)榍懊孀C明是單調(diào)增加的。 兩端除以 得 因?yàn)閯t, 從而 即 是有界的。根據(jù)定理有極限，而且極限唯一。 令 則 則. 因?yàn)?解方程得 所以 2：利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 極限的四則運(yùn)算性質(zhì)：1：兩收斂數(shù)列的和或積或差也收斂且和或積或差的極限等于極

4、限和的或積或差。 2：兩收斂數(shù)列且作除數(shù)的數(shù)列的極限不為零，則商的極限等于極限的商。通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算。首先對(duì)函數(shù)施行各種恒等變形。例如分之，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化簡(jiǎn)；化無(wú)窮多項(xiàng)的和（或積）為有限項(xiàng)。例；求極限(1) (2)(3)(4) 已知 求解：(1) (2)(3)-1 (4) 因?yàn)?所以 3：利用兩個(gè)重要極限公式求極限 兩個(gè)極限公式 (1) (2) 在這一類型題中，一般也不能直接運(yùn)用公式，需要恒等變形進(jìn)行化簡(jiǎn)后才可以利用公式。 例：求下列函數(shù)的極限4 (1) (2) 解：(1) 1(2)

5、14：利用單側(cè)極限求極限 這種方法使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。例：求 f(x)在x=0的左右極限 解：1 1 5：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限。如果 u=g(x) 在點(diǎn)連續(xù) g()=,而y=f(u)在點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)在點(diǎn)連續(xù)。即也就是說(shuō)，極限號(hào)可以與符號(hào)f互換順序。 例：求 解：令 ylnu, u 因?yàn)?lnu 在點(diǎn) 處連續(xù) 所以 16：利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限： 無(wú)窮小量的性質(zhì)：無(wú)窮小量與有界量的乘積還是無(wú)窮小量。如果,g(x)在某區(qū)間有界

6、，那么.這種方法可以處理一個(gè)函數(shù)不存在但有界，和另一個(gè)函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問(wèn)題。 例：求 解： 因?yàn)?所以 07：利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限： 等價(jià)無(wú)窮小量：當(dāng)時(shí)，稱y,z是等價(jià)無(wú)窮小量：記為 yz 在求極限過(guò)程中，往往可以把其中的無(wú)窮小量，或它的主要部分來(lái)代替。但是，不是乘除的情況，不一定能這樣做。 例：求 解：88：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在附近有定義，則 如果存在，則此極限值就稱函數(shù) f(x)在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)記為 .即在這種方法的運(yùn)用過(guò)程中。首先要選好f(x)。然后把所求極限。表示成f(x)在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。 例：求 解：取f(x)= .則 9：利用中值定理求極限：

7、 1：微分中值定理：若函數(shù) f(x) 滿足 () 在 連續(xù) .()在(a,b)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 例2：求 解： 2：積分中值定理：設(shè)函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間 上連續(xù);g(x) 在上不變號(hào)且可積，則在上至少有一點(diǎn)使得 例：求 解： 10：洛必達(dá)法則求極限： 洛必達(dá)法則只能對(duì)或型才可直接使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則。洛必達(dá)法則只說(shuō)明當(dāng) 等于 A 時(shí)，那么也存在且等于A. 如果不存在時(shí)，并不能斷定也不存在，只是這是不能用洛必達(dá)法則，而須用其他方法討論 。 例1：(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述極限是待定型1(2) 它為型 由對(duì)數(shù)恒等

8、式可得 = 11：利用定積分求和式的極限 利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。 例：求 解：由于 可取函數(shù) f(x)區(qū)間為上述和式恰好是 在 上n等分的積分和。 所以 12：利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，則運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級(jí)數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限 例： 求 解：設(shè) 則 = =0<1由比值判別法知收斂 由必要條件知013：利用泰勒展開(kāi)式求極限 泰勒展開(kāi)式：若 f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1 階連續(xù)導(dǎo)數(shù),那么 (其中在0與1之間) 例： 解：泰勒展開(kāi)式 于是- 所以14：換元法求極限： 當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡(jiǎn)化易求。 例：3 求 解：令 則 1本文對(duì)極限的求法思想作了一下小結(jié),歸納了14種求極限的基本思想方法.對(duì)一般的極限用上面的方法可以求出來(lái),復(fù)雜一點(diǎn)的可能要綜合幾種方法才能求出.關(guān)鍵是“運(yùn)用之妙,存孚一心”.參考文獻(xiàn)：1 陳傳璋，金福臨編，數(shù)學(xué)分析（上下冊(cè)）第二版，高等教育出版社2 蔡子華主編，2005年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全