數(shù)值分析公式定理等

1、第一章 緒論1. ，如果x|0.5（這里n是使此式成立的最大正整數(shù)），則稱為x的具有n位有效數(shù)字的近似值。2定理：設(shè)x的近似值有（1-1）的表示式： （）如果有n位有效數(shù)字，則 （）如果，則至少有n位有效數(shù)字。第二章 非線性方程根求解1. （零點存在定理）如果f(x)在a,b上連續(xù)，使f(a)×f(b)<0，則必存在aÎ(a,b)，使f(a)=0。2.二分法的誤差： |3. 局部收斂性：設(shè)a是f(x)=0的根，若存在a的一個鄰域，當(dāng)?shù)踔祵儆跁r，迭代法得到的序列收斂到a，則稱該迭代法關(guān)于根a具有局部收斂性。4. 收斂速度：設(shè)為第i次迭代值，a是f(x)=0的根，令，

2、且假設(shè)迭代收斂，即。若存在實數(shù)P³1，使 ¹0 ，則稱此方法關(guān)于根a具有P階收斂速度。C稱為漸近誤差常數(shù)，漸近誤差常數(shù)C與f(x)有關(guān)。C¹0保證了P的唯一性。對于特殊的函數(shù)，C可能為零，此時，由這個函數(shù)針對此方法迭代產(chǎn)生的序列收斂得更快。一般情況下，P越大，收斂就越快。當(dāng)P=1時，我們稱為線性收斂。P>1，稱為超線性收斂。P=2，稱為平方收斂。5.牛頓迭代法：定理3：如果方程f(x)=0的根a是單根，且在a的某領(lǐng)域內(nèi)f(x)具有二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則Newton迭代法必是局部收斂的且 （即具有二階收斂速度）定理4：如果a是方程f(x)=0的r重根（r>1

3、），且f(x)在a的某鄰域內(nèi)具有r階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Newton法具有局部收斂性，且具有線性收斂速度。定理5：如果a是方程f(x)=0的r重根（r>1），且f(x)在a的某鄰域內(nèi)具有r+2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則修正Newton迭代公式：，具有局部收斂性，且具有二階收斂速度。定理6：設(shè)f(x)在f(x)=0的有根區(qū)間a,b上二階導(dǎo)數(shù)存在，且滿足：（1）f(a) f(b)<0；（2）在a,b中不變號。則對a,b任一使f²(x)f(x)>0的點，都能使Newton迭代法： 得到的序列收斂到方程f(x)=0唯一的根a。6.弦割法：定理：設(shè)f(x),f ¢(x),f ²

4、;(x)在包含f(x)=0的根a的某區(qū)間上連續(xù)，且a是其單根，則如果初始值和選得充分接近a，由（212）產(chǎn)生的迭代序列收斂于a，收斂的階是，且 第三章 插值法1.定義：設(shè)f(x)為定義在a,b上的函數(shù)，為a,b上n+1個互不相同的點，為給定的某一個函數(shù)類，若上有函數(shù)y(x)，滿足： (3)，則稱y(x)為f(x)關(guān)于節(jié)點在上的插值函數(shù)，點稱為插值節(jié)點,f(x)稱為被插值函數(shù)。包含插值節(jié)點的區(qū)間a,b稱為插值區(qū)間，條件（3）稱為插值條件。2. 定理：設(shè)表示次數(shù)不超過n次的多項式的全體，則滿足插值條件（3）的，屬于函數(shù)類的插值多項y(x)存在且唯一。3. Lagrange插值多項式：， 定理：設(shè)f

5、(x)在a,b上存在n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在（a,b）上存在n+1階導(dǎo)數(shù)，是滿足條件（3）屬于插值多項式，則對任何，插值余項為：，其中，且依賴于x，推論：滿足條件(33)的Lagrange插值基函數(shù)：，有如下性質(zhì)：（1），(k=0,1,n)，特別（2）（k=1,n）4. 差商（均差）與Newton插值法為f(x)關(guān)于節(jié)點的k階差商。性質(zhì)1：性質(zhì)2：如果是0，1，2，k的一個排列，則=性質(zhì)3：Newton插值多項式的余項為R(x)=f(x)-=性質(zhì)4：如果f(x)有n階導(dǎo)數(shù)，則5.差分及插值公式：見教材P31.6.Hermite插值多項式：用Hermite插值多項式去替代f(x)產(chǎn)生的誤差為：R(x)=

6、f(x)-H(x)。如f(x)在(a,b)中有n+r+2階導(dǎo)數(shù)時，誤差可寫成如下形式，其中eÎ（a,b）7.三次樣條插值定義：如果函數(shù)S(x)在a，b區(qū)間滿足：(1) S(x)在a，b上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。(2) 對a，b上的劃分,S(x)在每一個區(qū)間上，S(x)是一個不高于次的多項式，(i=0,1,n-1)。則我們稱S(x)是關(guān)于劃分的一個三次樣條函數(shù)。三次樣條插值唯一性的條件：（1）第一邊界條件：（2）第二邊界條件：。特別稱為自然邊界條件。（3）第三邊界條件（周期條件）：當(dāng)f(x)是以b-a為周期函數(shù)時，再增加邊界條件：第四章 函數(shù)逼近與曲線擬合1.權(quán)函數(shù)定義：設(shè)a,b是有限區(qū)間或

7、無限區(qū)間，在a,b上的非負函數(shù)滿足條件：(1)存在且有限（k=0,1,），(2) 對a,b上的非負函數(shù) g(x)，如果，則，則稱為權(quán)函數(shù)2. 最佳平方逼近： ，定理4 設(shè)是中的線性無關(guān)的函數(shù)系，則 存在且唯一。 最優(yōu)解為 （2-2）其中是下面方程組（稱之為正規(guī)方程組）的解： （2-3）這里是函數(shù)的內(nèi)積 。 =3.最小二乘曲線擬合：定理5 設(shè)已知，這里不妨設(shè)，是在上給定的的函數(shù)系，則 的解存在。 最優(yōu)解為 （3-3）其中是下面方程組（稱之為正規(guī)方程組）的解： （3-4）如果（3-4）中的系數(shù)矩陣為非奇異，則（3-2）的解唯一。這里是上向量的加權(quán)內(nèi)積，即：，。4.正交函數(shù)與正交項定義6.假設(shè)都是內(nèi)

8、積空間上的線性無關(guān)的函數(shù)。如果它們兩兩正交，即，則稱連續(xù)型函數(shù)系是正交系。定理6 (Gram-Schmidt正交化定理)設(shè)函數(shù)系是內(nèi)積空間上線性無關(guān)的函數(shù)系，則：，是上的線性無關(guān)的正交函數(shù)系。推論1.定理6中的可由唯一表示,也可由唯一表示。，最佳逼近函數(shù)，平方誤差：。定理9. 對在內(nèi)積空間上的任一正交多項式系，則在開區(qū)間內(nèi)恰有k個不同的實零點。Legendre多項式：定義7 在，取權(quán)函數(shù)，稱多項式，為Legendre多項式。性質(zhì)4.（Legendre多項式的正交性）性質(zhì)5 （奇偶性）Chebyshev多項式：定義8. 在中，稱多項式為Chebyshev多項式。性質(zhì)7.（遞推關(guān)系）；5.最佳一致

9、逼近：定理14（唯一性定理），設(shè)，則在中的最佳一致逼近多項式是唯一的。推論：在區(qū)間上所有最高次項系數(shù)為1的次多項式中，與零的偏差最小，其偏差為，這里是次Chebyshev多項式。定理15.設(shè)，縣對，令，則中最優(yōu)解可如下得到： 其中： ，且滿足的解。第五章 線性方程組的直接解法1.矩陣的三角分解 定理：設(shè)方陣，記，（k=1,n），稱為順序主子式，如果方陣A的n個順序主子式都不等于零，則A一定可以解成LU的形式且分解唯一。設(shè)：，則得：這里=1，(1)當(dāng)i£j時，因,得：（j=i,n） （41）(2)當(dāng)i>j時，因得：（i=j+1,，n）（42）（4-2）中i與j的位置互換得：（j=

10、i+1,n）。2.對稱正定矩陣的Cholesky分解性質(zhì)1：如果A是正定陣，則A必可Doolittle分解：A=LU。性質(zhì)3：如果A是正定陣，則A可分解成A=，其中是下三角陣。Cholesky分解： （i=1,n）=(j>i)定義：設(shè)矩陣，如果滿足條件：(i=1,n)，則稱此矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣。定理：如果矩陣A是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則detA¹0。推論1：如果A是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則A的所有順序主子式都不為零。推論2：如果A是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則A可Doolittle分解。3.方程組的性態(tài)、條件數(shù)向量的范數(shù)：定義1：對任意n維向量x，都定義了一個非負實數(shù)，記為，且滿足下列三個條件：對

11、任意向量x有³0, =0當(dāng)且僅當(dāng)x=0對任意數(shù)a，則稱為n維向量空間上的一個范數(shù)。n維向量空間上常用的向量范數(shù)有：（1）；（2）；（）|xi|；（4）性質(zhì)4（向量范數(shù)的等價性） 設(shè)為n維向量空間上的任意二個不同的范數(shù)，則必存在常數(shù)，使對中的任意向量x有 。矩陣的范數(shù)：定義3：對任意n階方陣A，若對應(yīng)一個非負實數(shù)滿足：（1）³0，等號當(dāng)且僅當(dāng)A=0時成立（2）對任意數(shù)a，（3）對任意兩個n階方程A，B有（4）則稱是所有n階方陣所構(gòu)成的空間上的一個范數(shù)（我們這里主要是實的方陣）。設(shè)A=()n´n ，常用的矩陣范數(shù)有：（3）為ATA的最大特征值（也稱2范數(shù)）（4） （也

12、稱Frobenius范數(shù)）向量范數(shù)與矩陣范數(shù)之間有如下的關(guān)系：。方程組的性態(tài)、條件數(shù)：；cond(A)=。第六章 線性方程組的迭代法x(k)=Bx(k-1)+g，B為迭代矩陣1簡單迭代.定理1：簡單迭代格式（63）收斂的充要條件是B(k)®0(k®¥)。定義2：設(shè)n´n階矩陣B的n個特征值為，稱r(B)為矩陣B的譜半徑。定理2：n´n階矩陣A，有Ak®0(k®¥)的充要條件是r(A)<1定理3：設(shè)為上定義的一個范數(shù), 如果, 則。定理4：如果簡單迭代法（63）的迭代矩陣B滿足下列條件之一（1）；（2）（3），

13、則簡單迭代法、Seidel迭代法都收斂，這里B=（bij）n´n2. Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代Jacobi迭代，B=I，g=b，D=diag(a11,，ann)定理：Jacobi迭代（611）收斂的充要條件是r（）<。定理2：若方程組Ax=b的系矩陣滿足下面條件中的任何一條，則其Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法都收斂。（） 為行對角占優(yōu)陣，即：（i=1,2,n）（） 為列對角占優(yōu)陣，即： (j=1,2,n)的元素滿足： ，(j=1,2，,n)Gauss-Seidel迭代，B=(DLU，常數(shù)項為(DLb，收斂的充要條件是r（(DLU)<

14、;1，L=定理4：若方程組系數(shù)矩陣為正定陣，則其Guass-Seidel迭代收斂。定理5：設(shè)具有正對角線元素的對稱矩陣，則解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代法的收斂的充要條件是和都是正定陣。易知與的差別僅是非對角線元素的符號不同(D=diag(a11,，ann)。3.SOR (j=1,n) ，SOR方法收斂的充要條件是r（Bw）<1定理1：SOR方法收斂的必要條件是：0<w<2定理2：如果A是正定對稱陣，且0<w<2，則解方程組Ax=b的SOR方法收斂。定理3：若A為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則當(dāng)0<w£1時，SOR方法收斂。第七章 數(shù)值積分和數(shù)值微分1

15、.數(shù)值積分及代數(shù)精度Q(f)= ，xi (i=0,1,n) （71）是互異的，Ai (i=0,1,n)與f(x)無關(guān)的。誤差：En(f) =定義：如果求積公式（71）對所有次數(shù)不超過k次的多項式f(x)能精確成立（即E（f）=0)，而至少存在一個k+1次多項式g(x)是不成立，即E(g)¹0，則稱該公式具有k次代數(shù)精度。定理71：求積公式（71）有k次代數(shù)精度的充要條件是對f(x)=1,x，xk：都精確成立，而對f(x)= xk+1不成立。定理72：求積公式（71）的代數(shù)精確度不超過2n+1。2.等距節(jié)點的Newton-Cotes公式 （i=0,1,n）誤差： =性質(zhì)1：有n+1個節(jié)

16、點的插值型求積公式（73）的代數(shù)精度至少有n次。性質(zhì)2：有n+1個節(jié)點的插值型求積公式（73）的求積系數(shù)滿足：梯形公式（n=1）：»Simpson公式（n=2）：»Cotes公式（n=4）：性質(zhì)3：對固定的n，Newton-Cotes系數(shù)滿足(n³1)：3.公式的誤差分析梯形公式的誤差分析：=Simpson公式的誤差分析：E2(f)= 4.復(fù)合求積公式復(fù)合梯形求積公式：，xk=a+kh，h=，k=0,1,n。誤差：，hÎa，b復(fù)合Simpson求積公式：，（k=1,2,2n-1）誤差：，hÎa，b4.Guass型求積公式把用a，b上的n+1個節(jié)點（互不相同的）xk(k=0,1,n)而使的代數(shù)精確度達到2n+1的公式（726）稱為Gauss型求積公式。稱此組節(jié)點為Gauss點。定理：插值型數(shù)值積分公式（726）中的節(jié)點是Gauss節(jié)點的充要條件是n+1次