菱形的定義、性質(zhì)

1、19.2 .2 菱形的定義、性質(zhì)菱形的定義、性質(zhì)菱形菱形情景創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè) 前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了如果平行四邊形和矩形，知道了如果平行四邊形有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角時(shí)時(shí),成為什么圖形成為什么圖形?(矩形矩形,由角變化得到由角變化得到) 如果從如果從邊的邊的角度角度,將平行四邊形特殊化將平行四邊形特殊化,又會(huì)得到什么特殊的四邊形呢又會(huì)得到什么特殊的四邊形呢?有一組有一組鄰邊相等鄰邊相等的的平行四邊形平行四邊形叫菱形叫菱形 平行四邊形平行四邊形 鄰邊相等鄰邊相等菱形菱形 在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊

2、的長(zhǎng)度改變邊的長(zhǎng)度，請(qǐng)仔細(xì)觀察和思考，在這變化過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)觀察和思考，在這變化過(guò)程中，哪些關(guān)系沒(méi)變？中，哪些關(guān)系沒(méi)變？哪些關(guān)系變了哪些關(guān)系變了？ 如果改變了邊的如果改變了邊的長(zhǎng)度長(zhǎng)度，使，使兩鄰邊相等兩鄰邊相等，那么，那么這個(gè)平行四邊形成為怎樣的四邊形？這個(gè)平行四邊形成為怎樣的四邊形？AB=BCABCD四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)讓我們一同走進(jìn)生活中的菱形20002000多年前多年前 一把埋藏在地下的古劍，出土?xí)r一把埋藏在地下的古劍，出土?xí)r依然寒氣逼人，毫無(wú)銹蝕，鋒利無(wú)依然寒氣逼人，毫無(wú)銹蝕，鋒利無(wú)比，稍一用力，便可將多層白紙劃比，稍一用力，便可將多層白紙劃破，劍身上整

3、齊排列著黑色破，劍身上整齊排列著黑色菱形菱形暗暗花紋花紋越王勾踐劍越王勾踐劍菱形就在我們身邊菱形就在我們身邊有同學(xué)是這樣做的：將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)有同學(xué)是這樣做的：將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，打折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，打開(kāi)即可開(kāi)即可.你知道其中的道理嗎？你知道其中的道理嗎？ 如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)確地剪出一個(gè)菱形的紙片？確地剪出一個(gè)菱形的紙片？BDAC菱形是軸對(duì)稱圖形菱形是軸對(duì)稱圖形(2)從圖中你能得到哪些從圖中你能得到哪些結(jié)論結(jié)論?并說(shuō)明理由并說(shuō)明理由.提示提示:從邊、角、對(duì)角線、從邊、角、對(duì)角線、面積等方面來(lái)探討

4、面積等方面來(lái)探討 (1)觀察得到的菱形觀察得到的菱形,它是中心對(duì)稱圖形嗎它是中心對(duì)稱圖形嗎?它是軸對(duì)稱圖形嗎它是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是，有幾條對(duì)稱軸如果是，有幾條對(duì)稱軸?對(duì)稱軸之間有什么位置關(guān)系對(duì)稱軸之間有什么位置關(guān)系?菱形是中心對(duì)稱圖形菱形是中心對(duì)稱圖形 由于平行四邊形的由于平行四邊形的對(duì)邊相等對(duì)邊相等，而菱形的而菱形的鄰邊相等鄰邊相等， 故：故：菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)2：菱形的菱形的兩條對(duì)角線互相垂兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。分一組對(duì)角。菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)邊形的所有性質(zhì).菱形的性質(zhì)：菱形

5、的性質(zhì)：BDAC菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)1：菱形的菱形的四條邊都相等四條邊都相等。又：又：已知已知：菱形：菱形ABCDABCD的對(duì)角線的對(duì)角線ACAC和和BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，如下圖，如下圖，證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形ABCDO在在ABDABD中，中，又又BO=DOBO=DOAB=ADAB=AD（菱形的四條邊都相等）（菱形的四條邊都相等）ACBDACBD，ACAC平分平分BADBAD同理：同理： ACAC平分平分BCDBCD； BDBD平分平分ABCABC和和ADCADC求證求證：ACBD ACBD ； AC平分平分BAD和和BCD ；BD平分平分ABC和和AD

6、C 命題：命題：菱形的對(duì)角線互相垂直平分，菱形的對(duì)角線互相垂直平分， 并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的菱形的 兩條對(duì)角線互相平分兩條對(duì)角線互相平分菱形的兩組對(duì)邊平行且相等菱形的兩組對(duì)邊平行且相等邊邊對(duì)角線對(duì)角線角角數(shù)學(xué)語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言菱形的四條邊相等菱形的四條邊相等菱形的兩組對(duì)角分別相等菱形的兩組對(duì)角分別相等菱形的鄰角互補(bǔ)菱形的鄰角互補(bǔ)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形 = AD BC AB CD= AB=BC=CD=DAADCBO DAC=BAC

7、 DCA=BCA ADB=CDB ABD=CBD ACBD OA=OC;OB=OD DAB=DCB ADC=ABC DAB+ABC= 180 【菱形的面積公式】【菱形的面積公式】菱形是菱形是特殊的平行四邊形特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形那么能否利用平行四邊形面積公式計(jì)算菱形的面積嗎面積公式計(jì)算菱形的面積嗎?菱形ABCDOES菱形=BCAE思考思考:計(jì)算菱形的面積除了上式方法外計(jì)算菱形的面積除了上式方法外,利利用對(duì)角線能用對(duì)角線能 計(jì)算菱形的面積公式嗎計(jì)算菱形的面積公式嗎? 21ABCD=SABD+SBCD= ACBD S菱形菱形面積：面積：S菱形菱形=底底高高=對(duì)角線乘積的一半對(duì)角線

8、乘積的一半例例1變形變形DOACB菱形菱形ABCDABCD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為1616，相鄰兩角的度數(shù)，相鄰兩角的度數(shù)比為比為1 1：2 2求菱形求菱形ABCDABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)；的對(duì)角線的長(zhǎng)；求菱形求菱形ABCDABCD的面積的面積補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題：已知如圖，菱形：已知如圖，菱形ABCD中，中，E是是AB的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且DEAB，AB=1。求求（1）ABC的度數(shù)；的度數(shù)； （2）對(duì)角線）對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)；的長(zhǎng)； （3）菱形）菱形ABCD的面積。的面積。ABCDEOABCDO如圖，在菱形如圖，在菱形ABCDABCD中，對(duì)角線中，對(duì)角線ACAC、BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O（2 2）有哪

9、些特殊的三角形？）有哪些特殊的三角形？（1 1）圖中有哪些線段是相等的？哪些角是相）圖中有哪些線段是相等的？哪些角是相等的？等的？相等的線段：相等的線段：相等的角：相等的角：等腰三角形：等腰三角形：直角三角形：直角三角形：全等三角形：全等三角形：已知四邊形已知四邊形ABCD是菱形是菱形AB=CD=AD=BC OA=OC OB=ODDAB=BCD ABC =CDA AOB=DOC=AOD=BOC =90 1=2=3=4 5=6=7=8ABC DBC ACD ABDRtAOB RtBOC RtCOD RtDOARtAOB RtBOC RtCOD RtDOAABD BCD ABC ACDABCDO1

10、23456781.1.已知菱形的周長(zhǎng)是已知菱形的周長(zhǎng)是12cm12cm，那，那么它的邊長(zhǎng)是么它的邊長(zhǎng)是_._.2.2.菱形菱形ABCDABCD中中ABCABC6060度，度，則則BACBAC_._.ODCBA3cm3cm6060度度3 3、菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為、菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6cm6cm和和8cm8cm，則菱形的邊長(zhǎng)是（則菱形的邊長(zhǎng)是（ ）CA.10cm B.7cm C. 5cm D.4cmABCDO344.在菱形在菱形ABCD中，中，AEBC，AFCD，E、F分別為分別為BC，CD的中點(diǎn)，那么的中點(diǎn)，那么EAF的度數(shù)是（的度數(shù)是（ ）FECABDA.75B.60C.45D.30

11、B5、四邊形、四邊形ABCD是菱形，是菱形，O是兩條對(duì)角線的是兩條對(duì)角線的 交點(diǎn)，已知交點(diǎn)，已知AB=5cm，AO=4cm，求對(duì)角，求對(duì)角 線線BD的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。ABCDO94522222OAABOB解：解：四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形ACBDOB=3 BD=2OB=6 cm543有關(guān)菱形問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直角三角有關(guān)菱形問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形的問(wèn)題來(lái)解決形或等腰三角形的問(wèn)題來(lái)解決6 已知：如圖，已知：如圖，AD平分平分BAC，DEAC交交AB于于E，DFAB交交AC于于F 求證：求證：EFAD； 321ABCDEF8、如圖，、如圖，E為菱形為菱形ABCD邊邊BC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，且且A

12、B=AE，AE交交BD于于O，且，且DAE=2BAE，求證：求證：EB=OA；ABCDOE7、已知，菱形對(duì)角線長(zhǎng)分別為、已知，菱形對(duì)角線長(zhǎng)分別為12cm和和16cm，求菱形的高。，求菱形的高。1.你的收獲是什么？你的困惑是什么？你的收獲是什么？你的困惑是什么？2.你會(huì)用類(lèi)比的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)特殊四邊形知識(shí)你會(huì)用類(lèi)比的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)特殊四邊形知識(shí)嗎？嗎？課堂反思課堂反思四邊形集合四邊形集合平行四邊形集合平行四邊形集合菱形集合菱形集合矩形集合矩形集合四、課堂小結(jié)：矩形和菱形的性質(zhì)四、課堂小結(jié)：矩形和菱形的性質(zhì) 如圖，邊長(zhǎng)為如圖，邊長(zhǎng)為a的菱形的菱形ABCD中，中，DAB=60度，度，E是異于是異于A、D

13、兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是是CD上的動(dòng)上的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)，滿足AE+CF=a。證明：不論證明：不論E、F怎樣移動(dòng)，三角形怎樣移動(dòng)，三角形BEF總是正總是正三角形。三角形。ABCDEF例例1、已知：、已知：AD是是ABC的角平分線，的角平分線，DEAC交交AB于于E，DFAB交交AC于于F，求證：四邊形，求證：四邊形AEDF是菱形。是菱形。ABCDEF123變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練：把本例中的把本例中的“DE/AC交交AB于于E， DF AB交交AC于于F”改成改成“EF垂垂直平分直平分AD”，其他條件不變，其他條件不變，你能否證明四邊形你能否證明四邊形AEDF是是菱形？菱形？菱形性質(zhì)的應(yīng)用菱形性質(zhì)的應(yīng)

14、用w已知已知: :如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為13cm13cm的菱形的菱形, ,其中對(duì)角線其中對(duì)角線BD長(zhǎng)長(zhǎng)10cm.10cm.求求:(1).:(1).對(duì)角線對(duì)角線AC的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度; (2).; (2).菱形的面積菱形的面積解:(1)四邊形ABCD是菱形,=2=2ABD的面積的面積.5102121cmBDDEAED=90=900 0,(2)菱形ABCD的面積=ABD的面積+CBD的面積.125132222cmDEADAEAC=2=2AE=2=212=24(cm).12=24(cm).AEBD 212DBCAE.12012102122cm三、課堂練習(xí)（復(fù)習(xí)鞏固）三、課堂練習(xí)

15、（復(fù)習(xí)鞏固） 1、菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是、菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6cm和和8cm，則菱形，則菱形 的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) ，面積，面積 。 2、菱形的面積為菱形的面積為24cm2,一條對(duì)角線的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為長(zhǎng)為6cm，則另一條對(duì)角線長(zhǎng)為，則另一條對(duì)角線長(zhǎng)為 ；邊；邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為 。 3、已知菱形的兩個(gè)鄰角的比是、已知菱形的兩個(gè)鄰角的比是1：5，高，高是是 8cm，則菱形的周長(zhǎng)為，則菱形的周長(zhǎng)為 。 4、已知菱形的周長(zhǎng)為、已知菱形的周長(zhǎng)為40cm，兩對(duì)角線的，兩對(duì)角線的比為比為3：4，則兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別，則兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別是是 。 由此可進(jìn)一步推導(dǎo)得出：由此可進(jìn)一步推導(dǎo)得出：對(duì)角線互相垂對(duì)角線互相垂直的

16、四邊形的面積都等于兩條對(duì)角線乘積的直的四邊形的面積都等于兩條對(duì)角線乘積的一半。一半。EDOBA 例例1：如圖，菱形：如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為4cm，BAD2 ABC。對(duì)角線。對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，求這個(gè)菱形的，求這個(gè)菱形的對(duì)角線長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)和和面積面積。ODCBA變式題變式題（1）：菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)為）：菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)為6和和8，菱形，菱形的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 ，面積為，面積為 。 （2）：菱形）：菱形ABCD的面積為的面積為96，對(duì)角線，對(duì)角線AC長(zhǎng)為長(zhǎng)為16 ，此菱形的邊長(zhǎng)為，此菱形的邊長(zhǎng)為 。 （3）:菱形對(duì)角線的平方和等于一邊平方菱形對(duì)角線的平方和等于一邊平方的的 （ ） A. 2倍倍 B. 3倍倍 C.4倍倍 D. 5倍倍5410C 例例2：菱形：菱形ABCD中，對(duì)角線中，對(duì)角線AC、BD相相交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，E、F分別是分別是AB、AD的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：OEOF。FEODCBAABCDEF變式題變式題（1）：菱形）：菱形ABCD ,E、F分別分別ABCD的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：CE=CF. （2）如果上題中還有）如果上題中還有CEAB,CFAD,求各內(nèi)角的度數(shù)求各內(nèi)角的度數(shù) 例例3：如果菱形的一個(gè)角是：如果菱形的一個(gè)角是1200，那么這，那么這個(gè)角的頂點(diǎn)向兩條對(duì)邊所引的兩條垂線分別個(gè)角的頂點(diǎn)向