動(dòng)量-含彈簧的碰撞模型

1、水平彈簧1、如圖所示，光滑的水平面上有mA=2kg，mB= mC=1kg的三個(gè)物體，用輕彈簧將A與B連接在A、C兩邊用力使三個(gè)物體靠近，A、B間的彈簧被壓縮，此過(guò)程外力做功72 J，然后從靜止開(kāi)始釋放，求：（1）當(dāng)物體B與C分離時(shí)，B對(duì)C做的功有多少？（2）當(dāng)彈簧再次恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，A、B的速度各是多大？（1）當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，B與C分離，0=mAvA（mB+mc）vC，EP= +，對(duì)C由動(dòng)能定理得W=0，由得W=18J，vA=vC=6m/s（2）取A、B為研究系統(tǒng)，mAvA mB vC= mAvA +mB vC， += mAvA+ mB vC，當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)A、B的速度分別為：，vA=vB

2、=6m/s或vA=-2m/s， vB=10m/s2、（2）如圖所示，光滑水平面軌道上有三個(gè)木塊，A、B、C，質(zhì)量分別為mB=mc=2m,mA=m，A、B用細(xì)繩連接，中間有一壓縮的彈簧 (彈簧與滑塊不栓接)。開(kāi)始時(shí)A、B以共同速度v0運(yùn)動(dòng)，C靜止。某時(shí)刻細(xì)繩突然斷開(kāi)，A、B被彈開(kāi)，然后B又與C發(fā)生碰撞并粘在一起，最終三滑塊速度恰好相同。求B與C碰撞前B的速度。解析：（2）設(shè)共同速度為v，球A和B分開(kāi)后，B的速度為,由動(dòng)量守恒定律有,聯(lián)立這兩式得B和C碰撞前B的速度為?？键c(diǎn)：動(dòng)量守恒定律3、兩物塊A、B用輕彈簧相連，質(zhì)量均為2 kg，初始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，A、B兩物塊都以v6 ms的速度在光滑的水平

3、地面上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量4 kg的物塊C靜止在前方，如圖所示。B與C碰撞后二者會(huì)粘在一起運(yùn)動(dòng)。求在以后的運(yùn)動(dòng)中：（1）當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，物塊A的速度為多大?（2）系統(tǒng)中彈性勢(shì)能的最大值是多少?解析：(1)當(dāng)A、B、C三者的速度相等時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大.由A、B、C三者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒， (2分)解得 (2分)(2)B、C碰撞時(shí)B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)碰后瞬間B、C兩者速度為，則mBv=(mB+mC) =2 m/s （2分）設(shè)物速度相同時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大為Ep，根據(jù)能量守恒Ep=(mB+mC) +mAv2-(mA+mB+mC) =(2+4)22+262-(2+2+4)32=12 J(4分)

4、4、兩物塊A、B用輕彈簧相連,質(zhì)量均為2 kg,初始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng),A、B兩物塊都以v=6 m/s的速度在光滑的水平地面上運(yùn)動(dòng),質(zhì)量4 kg的物塊C靜止在前方,如圖所示.B與C碰撞后二者會(huì)粘在一起運(yùn)動(dòng).求在以后的運(yùn)動(dòng)中：（1）當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí),物塊A的速度為多大？（2）系統(tǒng)中彈性勢(shì)能的最大值是多少？（3）A物塊的速度有可能向左嗎？簡(jiǎn)略說(shuō)明理由. 答案 （1）3 m/s(2)12 J(3)A不可能向左運(yùn)動(dòng)5、 用輕彈簧相連的質(zhì)量均為2 kg的A、B兩物塊都以v 6 ms的速度在光滑的水平地面上運(yùn)動(dòng)，彈簧處于原長(zhǎng)，質(zhì)量4 kg的物塊C靜止在前方，如圖所示.B與C碰撞后二者粘在一起運(yùn)動(dòng).求：在

5、以后的運(yùn)動(dòng)中：（1）當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，物體A的速度多大?（2）彈性勢(shì)能的最大值是多大?（3）A的速度有可能向左嗎?為什么?解析：（1）當(dāng)A、B、C三者的速度相等時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大.由于A、B、C三者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，（mA+mB）v（mA+mB+mC）vA解得 vA= m/s=3 m/s（2）B、C碰撞時(shí)B、C系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)碰后瞬間B、C兩者速度為v，則mBv=（mB+mC）v v=2 m/s設(shè)物A速度為vA時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大為Ep，根據(jù)能量守恒Ep=（mB+mC） +mAv2-（mA+mB+mC）=（2+4）22+262-（2+2+4）32=12 J（3）A不可能向左運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)

6、量守恒，mAv+mBv=mAvA+（mB+mC）vB設(shè) A向左，vA0，vB4 m/s 則作用后A、B、C動(dòng)能之和E=mAvA2+（mB+mC）vB2（mB+mC）vB2=48 J實(shí)際上系統(tǒng)的機(jī)械能 E=Ep+（mA+mB+mC）=12+36=48 J根據(jù)能量守恒定律，E是不可能的6、 如圖15所示,勁度系數(shù)為k的輕彈簧,左端連著絕緣介質(zhì)小球B，右端連在固定板上，放在光滑絕緣的水平面上。整個(gè)裝置處在場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球A，從距B球?yàn)镾處自由釋放，并與B球發(fā)生碰撞。碰撞中無(wú)機(jī)械能損失，且A球的電荷量始終不變。已知B球的質(zhì)量M=3m，B球被碰

7、后作周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期(A、B小球均可視為質(zhì)點(diǎn))。(1)求A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度V1和B球的速度V2；(2)要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求勁度系數(shù)k的可能取值。答案：（1）設(shè)A球與B球碰撞前瞬間的速度為v0，由動(dòng)能定理得， 解得： 碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒 機(jī)械能無(wú)損失，有 解得 負(fù)號(hào)表示方向向左 方向向右 （2）要使m與M第二次迎面碰撞仍發(fā)生在原位置，則必有A球重新回到O處所用 的時(shí)間t恰好等于B球的 （n=0 、1 、2 、3 ） 由題意得： 解得： （n=0 、1 、2 、3 ） 7、下圖中，輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B相連，B靜止在水平導(dǎo)軌上，彈簧

8、處在原長(zhǎng)狀態(tài)。另一質(zhì)量與B相同滑塊A，從導(dǎo)軌上的P點(diǎn)以某一初速度向B滑行，當(dāng)A滑過(guò)距離時(shí)，與B相碰，碰撞時(shí)間極短，碰后A、B緊貼在一起運(yùn)動(dòng)，但互不粘連。已知最后A恰好返回出發(fā)點(diǎn)P并停止。滑塊A和B與導(dǎo)軌的滑動(dòng)摩擦因數(shù)都為，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧最大形變量為，求A從P出發(fā)時(shí)的初速度。解：設(shè)A、B質(zhì)量皆為m，A剛接觸B時(shí)速度為（碰前），由動(dòng)能關(guān)系，有 A、B碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，令碰后A、B共同運(yùn)動(dòng)的速度為有 碰后A、B先一起向左運(yùn)動(dòng)，接著A、B一起被彈回，在彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，設(shè)A、B的共同速度為，在這過(guò)程中，彈簧勢(shì)能始末兩態(tài)都為零，利用動(dòng)能定理，有 此后A、B開(kāi)始分離，A單獨(dú)向右滑到P點(diǎn)停下，由動(dòng)能定理有

9、 由以上各式，解得 1.如圖所示,EF為水平地面,O點(diǎn)左側(cè)是粗糙的,右側(cè)是光滑的,一輕質(zhì)彈簧右端與墻壁固定,左側(cè)與靜止在O點(diǎn)質(zhì)量為m的小物塊A連結(jié),彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài). 質(zhì)量為m的物塊B在大小為F的水平恒力作用下由C處從靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng),已知物塊B與地面EO段間的滑動(dòng)摩擦力大小為,物塊B運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)與物塊A相碰并一起向右運(yùn)動(dòng)(設(shè)碰撞時(shí)間極短),運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)撤去外力F,已知CO=4S,OD=S.求撤去外力后(1)彈簧的最大彈性勢(shì)能(2)物塊B最終離O點(diǎn)的距離BA4SECODSF1.解:B與A碰撞前速度由動(dòng)能定理:得B與A碰撞,由動(dòng)量守恒定律有mv=2mv1 .得碰后到物塊A、B運(yùn)動(dòng)至速度減為0，彈簧

10、的最大彈性勢(shì)能（2）設(shè)撤去F后，A、B一起回到O點(diǎn)時(shí)速度為v2，由機(jī)械能守恒得，。返回至O點(diǎn)時(shí)，A、B開(kāi)始分離，B在摩擦力作用下向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊B最終離O點(diǎn)最大距離為x，由動(dòng)能定理：，x=5S6.光滑水平面上放著質(zhì)量mA=1 kg的物塊A與質(zhì)量mB=2 kg的物塊B,A與B均可視為質(zhì)點(diǎn),A靠在豎直墻壁上,A、B間夾一個(gè)被壓縮的輕彈簧（彈簧與A、B均不拴接）,用手擋住B不動(dòng),此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能EP=49 J.在A、B間系一輕質(zhì)細(xì)繩,細(xì)繩長(zhǎng)度大于彈簧的自然長(zhǎng)度,如圖所示.放手后B向右運(yùn)動(dòng),繩在短暫時(shí)間內(nèi)被拉斷,之后B沖上與水平面相切的豎直半圓光滑軌道,其半徑R=0.5 m,B恰能到達(dá)最高點(diǎn)C

11、.取g=10 m/s2,求（1）繩拉斷后瞬間B的速度vB的大小;（2）繩拉斷過(guò)程繩對(duì)B的沖量I的大小;（3）繩拉斷過(guò)程繩對(duì)A所做的功W.答案 (1)5 m/s (2)4 Ns（3）8 J解析 （1）設(shè)B在繩被拉斷后瞬間的速度為vB,到達(dá)C時(shí)的速度為vC,有mBg=mB mBvB2=mBvC2+2mBgR 代入數(shù)據(jù)得vB=5 m/s（2）設(shè)彈簧恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)B的速度為v1,取水平向右為正方向,有Ep=mBv12I=mBvB-mBv1代入數(shù)據(jù)得I=-4 Ns,其大小為4 Ns（3）設(shè)繩斷后A的速度為vA,取水平向右為正方向,有mBv1=mBvB+mAvAW=mAvA2代入數(shù)據(jù)得W=8 J13、如

12、圖所示，坡道頂端距水平面高度為h，質(zhì)量為m1的小物塊A從坡道頂端由靜止滑下，進(jìn)入水平面上的滑道時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，為使A制動(dòng)，將輕彈簧的一端固定在水平滑道延長(zhǎng)線M處的墻上，另一端與質(zhì)量為m2的檔板相連，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，B恰好位于滑道的末端O點(diǎn)。A與B碰撞時(shí)間極短，碰撞后結(jié)合在一起共同壓縮彈簧。已知在OM段A、B與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，其余各處的摩擦不計(jì)，重力加速度為g，求（1）物塊A在檔板B碰撞瞬間的速度v的大??；（2）彈簧最大壓縮時(shí)為d時(shí)的彈性勢(shì)能EP（設(shè)彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)彈性勢(shì)能為零）。45如圖所示，一輕質(zhì)彈簧的一端固定在滑塊B上，另一端與滑塊C接觸但未連接，該整體靜止放在離地面高為H的光滑水平

13、桌面上?，F(xiàn)有一滑塊A從光滑曲面上離桌面h高處由靜止開(kāi)始下滑下，與滑塊B發(fā)生碰撞（時(shí)間極短）并粘在一起壓縮彈簧推動(dòng)滑塊C向前運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一段時(shí)間，滑塊C脫離彈簧，繼續(xù)在水平桌面上勻速運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從桌面邊緣飛出。已知求： （1）滑塊A與滑塊B碰撞結(jié)束瞬間的速度； （2）被壓縮彈簧的最大彈性勢(shì)能； （3）滑塊C落地點(diǎn)與桌面邊緣的水平距離。解：（1）滑塊A從光滑曲面上h高處由靜止開(kāi)始滑下的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，設(shè)其滑到底面的速度為v1，由機(jī)械能守恒定律有 解得：滑塊A與B碰撞的過(guò)程，A、B系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，碰撞結(jié)束瞬間具有共同速度設(shè)為v2，由動(dòng)量守恒定律有解得： （2）滑塊A、B發(fā)生碰撞后與滑塊C一起壓縮彈

14、簧，壓縮的過(guò)程機(jī)械能定恒，被壓縮彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，滑塊A、B、C速度相等，設(shè)為速度v3，由動(dòng)量定恒定律有： 由機(jī)械能定恒定律有： （3）被壓縮彈簧再次恢復(fù)自然長(zhǎng)度時(shí)，滑塊C脫離彈簧，設(shè)滑塊A、B速度為v4，滑塊C的速度為v5，分別由動(dòng)量定恒定律和機(jī)械能定恒定律有：解之得：（另一組解舍去）滑塊C從桌面邊緣飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)：解得之：66如圖所示，在傾角為的光滑斜面上有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧相連接的物塊A 、B 它們的質(zhì)量分別為mA、mB，彈簧的勁度系數(shù)為k , C為一固定擋板。系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)開(kāi)始用一恒力F沿斜面方向拉物塊A 使之向上運(yùn)動(dòng)，求物塊B 剛要離開(kāi)C時(shí)物塊A 的加速度a 和從開(kāi)始到此時(shí)物

15、塊A 的位移d。重力加速度為g。解析：令x1表示未加F時(shí)彈簧的壓縮量，由胡克定律和牛頓定律可知mAgsin=kx1 令x2表示B 剛要離開(kāi)C時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，a表示此時(shí)A 的加速度，由胡克定律和牛頓定律可知kx2=mBgsin FmAgsinkx2=mAa 由 式可得a= 由題意 d=x1+x2 由式可得d= 36.如圖所示，質(zhì)量均為m的物塊A和B用彈簧連結(jié)起來(lái)，將它們懸于空中靜止，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)，A距地面高度H=0.90m，同時(shí)釋放兩物塊，A與地面碰撞后速度立即變?yōu)榱?，由于B的反彈，A剛好能離開(kāi)地面。若B物塊換為質(zhì)量為2m的物塊C（圖中未畫(huà)出），仍將它們懸于空中靜止且彈簧為原長(zhǎng)，從A距地面高

16、度為H處同時(shí)釋放，設(shè)A也剛好能離開(kāi)地面。已知彈簧的彈性勢(shì)能EP與彈簧的勁度系數(shù)k和形變量x的關(guān)系是：EP=kx2。試求：（1）B反彈后，彈簧的最大伸長(zhǎng)量。（2）H的大小答案：（1）A落地時(shí)，B的速度為B= 設(shè)反彈后上升的最大高度為x，A恰好離開(kāi)地面時(shí) kx=mg 由系統(tǒng)機(jī)械能守恒 mB2=mgx+kx2 由聯(lián)立得 x=0.6m （2）將B換成C后，A落地時(shí)，C的速度為 C= C反彈后上升到最高時(shí)A剛好離開(kāi)地面， 故仍有 kx=mg由系統(tǒng)機(jī)械能守恒1/22mc2=2mgx+kx2 解得：H=0.75m14如圖所示的裝置可以測(cè)量飛行器在豎直方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度該裝置是在矩形箱子的上、下壁上各安裝一個(gè)