函數(shù)極限的性質(zhì)

1、§2 函數(shù)極限的性質(zhì)【教學(xué)目的】掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、保不等式性、迫斂性以及四則運(yùn)算性等，并能應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)解決函數(shù)的極限問題。【教學(xué)重點(diǎn)】函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限:1) f ( x ) 2) f ( x ) 3) f ( x )4) 5) 6)它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì),下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì).至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明, 只要相應(yīng)地作些修改即可.定理3.2(唯一性) 若極限存在,則此極限是唯一的.證 設(shè) A 、B都是f當(dāng)xx

2、0時(shí)的極限,則對(duì)任給的>0分別存在正數(shù)1與2使得當(dāng)0 < < 1時(shí)有 < (1)當(dāng) 0 < < 2 時(shí)有 < (2)取=min(1;2) ,則當(dāng) 0 < < 時(shí), (1)與(2)式同時(shí)成立, 故有 = < 2由的任意性得A=B.這就證明了極限是唯一的.定理3.3 (局部有界性) 若 存在, 則f在x0的某空心鄰域 0(x0) 內(nèi)有界證 設(shè) = A取=1,則存在> 0 使得對(duì)一切x0(x0; )有這就證明了f 在0(x0; ) 內(nèi)有界. 定理3.4(局部保號(hào)性) 若 = A > 0 (或< 0), 則對(duì)任何正數(shù)r &l

3、t; A (或r<A),存在0(x0) 使得對(duì)一切x 0(x0) 有f(x) > r > 0 (或f(x) < r < 0)證 設(shè) A >0,對(duì)任何r(0,A)取 =A - r,則存在> 0使得對(duì)一切x0(x0; )有f(x) > A = r這就證明得結(jié)論.對(duì)于A < 0的情形可類似地證明注 在以后應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)常取r=定理3.5 (保不等式性) 設(shè) 與都存在,且在某鄰域0(x0; )內(nèi)有f(x) g(x),則 (3)證 設(shè) = A, =B則對(duì)任給的>0分別存在正數(shù)1與2使得當(dāng) 0 < < 1時(shí)有A< f(x) (

4、4)當(dāng) 0 < < 2 時(shí)有 g(x) < B + (5)令 = min/,1,2, 則當(dāng) 0 < < 時(shí)不等式f(x)g(x)與(4)、(5)兩式同時(shí)成立,于是有 A <f(x) g(x) < B +從而 A < B + 2由的任意性推出AB,即(3)式成立定理3.6(迫斂性) 設(shè)= A 且在某 0(x0; )內(nèi)有f(x)h(x)g(x) (6)則 =A證 按假設(shè),對(duì)任給的>0分別存在正數(shù)1與2使得當(dāng)0 < < 1時(shí)有A< f(x) (7)當(dāng)0 < < 2時(shí)有 g(x)< A + (8)令= min/,

5、1,2 則當(dāng)0 < < 時(shí)不等式(6)、(7)、(8)同時(shí)成立,故有 A< f(x) h(x) g(x)< A +由此得 | <,所以 = A定理3.7(四則運(yùn)算法則) 若極限與都存在,則函數(shù)f±g , f·g 當(dāng) xx0時(shí)極限也存在,且1) = ± ;2) = ·又若0, 則f / g當(dāng)xx0 時(shí)極限存在,且有 3) 這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理,留給讀者作為練習(xí).利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則,我們可人一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限出發(fā),計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限.例1 求解 1由 第一章§3習(xí)題12,當(dāng)x>

6、;0時(shí)有 1x < x1而(1x) = 1,故由迫斂性得x = 1另一方面,當(dāng)x < 0時(shí)有1 x< 1x故由迫斂性又可得x=1綜上,我們求得 x=1例 2 求 (x tan x1)解 由 x tan x=x及§1例4所得的 sinx = sin=cos x并按四則運(yùn)算法則有(x tanx1)= x· 1= 1例 3 求 ()解 當(dāng) x+10時(shí)有 =故所求極限等于=1例4 證明 = 1 (a>1)證 任給 >0 (不妨設(shè)<1),為使 < (9)即 1<ax<1+,利用對(duì)數(shù)函數(shù)logax(當(dāng)a>1時(shí))的嚴(yán)格增性,只要L