湘大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題

1、一、單項(xiàng)選擇題1. 設(shè)是兩個(gè)互不相容的事件，則一定成立。 2. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)一定為。 3. 設(shè)隨機(jī)變量，則服從的分布為。 4、 設(shè)隨機(jī)變量與的期望都存在，則一定有。 5、 設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布，則等于。 1、設(shè)是兩個(gè)互不相容的事件，則一定成立。 答案：解析：互不相容互斥 即有：互斥互不相容 ；反之不成立。例子: 若事件總體集合為，那么與為互不相容事件，但不是互斥事件。 若事件總體集合為，那么與為互不相容事件，又是互斥事件。則很顯然選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，（原因是：題中沒(méi)有說(shuō)，構(gòu)成整個(gè)樣本空間）。由是兩個(gè)互不相容的事件，則有以下式子成立： 有條件概率公式得：即選項(xiàng)正確。 所以選項(xiàng)錯(cuò)誤。2. 隨機(jī)變

2、量的分布函數(shù)一定為。 答案: 解析:分布函數(shù)的性質(zhì)； 且；。 是的單調(diào)不減函數(shù)，即若，則。3、 設(shè)隨機(jī)變量，則服從的分布為。 答案： 解析：，根據(jù)的定義有： 設(shè) 其中，； 又因?yàn)?，所以根?jù)分布的定義知，故選。知識(shí)點(diǎn)：1、分布 設(shè)相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則稱隨機(jī)變量所服從的分布為自由度為的分布，記為。 2、分布 設(shè)，且與獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量，所服從的分布為自由度為的分布，記為。 3、分布 設(shè)：，且與獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量所服從的分布為第一自由度為，第二自由度為的分布， 記為。4、設(shè)隨機(jī)變量與的期望都存在，則一定有。 答案：考點(diǎn)：方差的計(jì)算公式： 由于與的期望都存在，知存在，并且則有：故選選項(xiàng)。

3、5、設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布，則等于。 答案：D 解析：由，知， 所以。知識(shí)點(diǎn)：1、兩點(diǎn)分布 ， ； 2、 ， ； 3、 ， 4、 ， 5、 指數(shù)分布，參數(shù)為 ， 6、 ， 二 、填空題 1、 袋子中有5白球3黑球，一次無(wú)放回取球，每一次取1球，則第6次取白球的概率為。 2、 已知隨機(jī)變量X滿足，則由切比雪夫不等式，有 3、 設(shè)，是總體未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，如果也是的無(wú)偏估計(jì)，則。 4、 已知相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則的概率分布密度函數(shù)。 5、 設(shè)總體的方差為50，為樣本，則樣本均值的方差=。解析：1、解：。2、 考察：切比雪夫不等式，本題中的，代入公式，得：3、 該題屬于無(wú)偏估計(jì)問(wèn)題有定義知如果的數(shù)

4、學(xué)期望等于未知參數(shù)，即,則稱為的無(wú)偏估計(jì)。由，是總體未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，則有，設(shè)是的無(wú)偏估計(jì)，則有，即有，推出。4、 解: ,有正態(tài)分布的密度函數(shù)知。考點(diǎn)：正態(tài)分布具有可加性，正態(tài)分布的密度函數(shù)數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)：。方差的線性性質(zhì)： ，5、 解： 有 考點(diǎn)：定理: 設(shè)是來(lái)自某個(gè)總體的樣本，為樣本均值， （1）若總體分布為,則的精確分布為 （2）若總體分布未知或不是正態(tài)分布，存在，則較大時(shí)的漸進(jìn)正態(tài)分布為，常記（這里的漸近分布是指n較大的近似分布）。3、 袋子中共有個(gè)球，其中個(gè)白球，個(gè)黑球。甲先取一球，不再放回，乙再取一球。（1）求乙取得白球的概率；（2）求在已知已取得白球的條件下甲取得白球的概

5、率。解：（1） （2） 四、袋中有6個(gè)產(chǎn)品，其中有4個(gè)正品2個(gè)次品，每次從中隨機(jī)抽取1個(gè)產(chǎn)品，如果取到正品不放回，直到取到次品為止。 求：（1）取到產(chǎn)品數(shù)的概率分布； （2）； （3）的概率分布。解：可取1 ,2 , 3 ,4 , 5 ； X12345P (2) (3)x12345211264774 五、已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 求（1）常數(shù)A （2）X的邊緣密度函數(shù)； （3）； （4）與是否獨(dú)立？為什么？ （5）已知條件下Y的條件分布密度函數(shù)。解（1） 得：。 （2） （3） (4 )不獨(dú)立不獨(dú)立。（5） ： 6、 設(shè)總體的分布密度函數(shù)為 其中為未知數(shù)，設(shè)為其樣本。求（1）參數(shù)的矩法

6、估計(jì)； （2）參數(shù)的極大似然法估計(jì)。解（1） 得： 。 （2） 求參數(shù)的矩法估計(jì)的步驟：（1）判斷未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，選著等式建立方程，若一個(gè)未知參數(shù)選：若兩個(gè)未知參數(shù)選著：求參數(shù)的極大似然估計(jì)的步驟：a:寫出似然函數(shù)b:將似然函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)c:對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)等于零d:求解方程得極大值點(diǎn)，該極大值點(diǎn)就是所求的參數(shù)的極大似然估計(jì)。（求參數(shù)的極大似然估計(jì)就是求似然函數(shù)的極大值點(diǎn)的問(wèn)題。）七、設(shè)某產(chǎn)品的某向質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，已知它的標(biāo)準(zhǔn)差，先從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了25個(gè)，測(cè)得該項(xiàng)指標(biāo)的平均值為1637，（1） 求總體均值的置信水平為0.95的區(qū)間估計(jì)；（2） 在顯著性水平下檢驗(yàn)假設(shè)。 （已知）

7、解：（1）， 代入公式（2） 拒絕區(qū)由于，落入接受域，則接受原假設(shè)。知識(shí)點(diǎn)：1、 單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 1、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì) （1）設(shè)正態(tài)總體， 已知，求的區(qū)間估計(jì)， 樣本函數(shù)；對(duì)于置信概率為，總體均值的置信區(qū)間為（2） 設(shè)正態(tài)總體，未知，求的區(qū)間估計(jì)，樣本函數(shù)2、 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì) （1）設(shè)正態(tài)總體，已知，求的區(qū)間估計(jì) 樣本函數(shù) 對(duì)于置信概率為，總體方差的置信區(qū)間為 （2）設(shè)正態(tài)總體，未知，求的區(qū)間估計(jì) 樣本函數(shù) 對(duì)于置信概率為，總體方差的置信區(qū)間為 2、 兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差比的區(qū)間估計(jì) 省略課后習(xí)題：1：設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為（1） 求；（2） 利用切比雪夫不等式求的近似值。解：，所以(1)（2）2：設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且他們都服從參數(shù)為的泊松分布，記，試?yán)弥行臉O限定理求的近似值。解：因?yàn)槭欠膮?shù)為的泊松分布，相互獨(dú)立，且所以有中心極限定理得:3，某工廠生產(chǎn)的一批手表其走時(shí)誤差（單位：秒/日）副總正太分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取9只進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果如