不等式恒成立問題

1、淺談不等式恒成立問題在近幾年的高考數(shù)學試題中，常常出現(xiàn)含參數(shù)的不等式成立的問題，這類問題與函數(shù)，導數(shù)，方程等知識綜合在一起，演繹出一道道設問新穎，五光十色的題目，這些試題的思辨性很強，往往讓人眼花繚亂，使解題者不知所措，這些題目從解題目標上看，基本上有三種，即求參數(shù)的取值范圍，使含參數(shù)的不等式恒成立，能成立或恰成立.1. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題的操作程序用函數(shù)思想作指導,解不等式的恒成立、能成立、恰成立問題的操作程序是這樣的:（1）恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最小值大于,若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于.（2）能成立問題若在區(qū)間

2、上存在實數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最大值大于,若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于.（3）恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為,若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為,如果從解題模式看,好象問題很簡單,但是,由于試題的結構千變?nèi)f化,試題的設問方式各不相同,就使得題目變得十分靈活,如何對這類題目進行思辨和模式識別,把問題化歸到常見的基本的題型,是高考復習的一個課題. 2不等式的恒成立問題含參數(shù)不等式的“恒成立”的問題，是近幾年高考的熱點，它往往以函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何為載體

3、具有一定的綜合性，解決這類問題，主要是運用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：即一般的，若函數(shù)在定義域為D，則當xD時，有恒成立；恒成立.因而,含參數(shù)不等式的恒成立問題常根據(jù)不等式的結構特征,恰當?shù)貥嬙旌瘮?shù),等價轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論.1 轉(zhuǎn)換主元法確定題目中的主元，化歸成初等函數(shù)求解。此方法通?；癁橐淮魏瘮?shù)。 例1：若不等式 2x1m(x2-1)對滿足2m2的所有m都成立，求x的取值范圍。 解：原不等式化為 (x21)m(2x1)0 記f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根據(jù)題意有： 即：解之：得x的取值范圍為練習:1若對一切，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍。分析與解：原不等式變形為，現(xiàn)

4、在考慮p的一次函數(shù)： 在上恒成立. 解得： 或， 的取值范圍為注：本題對于一切不等式恒成立，因此應視p為主元，視x為參數(shù)，把不等式左邊變成關于p的一次函數(shù)型2 化歸二次函數(shù)法根據(jù)題目要求，構造二次函數(shù)。結合二次函數(shù)實根分布等相關知識，求出參數(shù)取值范圍。例2：在R上定義運算：xy(1y) 若不等式(xa)(xa)1對任意實數(shù)x成立，則 ( )(A)1a1 (B)0a2 (C) (D) 解：由題意可知 (x-a)1-(x+a) 0對xR恒成立記f(x)=x2-x-a2+a+1則應滿足(-1)2-4(-a2+a+1)0化簡得 4a2-4a-30對滿足0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍。解：設f

5、(x)=x2-2mx+2m+1本題等價于函數(shù)f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范圍。(1)當m0時，f(x)在0,1上是增函數(shù)，因此f(0)是最小值，解 得 m1時，f(x)在0,1 上是減函數(shù)，因此f(1)是最小值解 得 m1綜合(1)(2)(3) 得 注：當化歸為二次函數(shù)后，自變量是實數(shù)集的子集時，應用二次函數(shù)知識解決有時較繁瑣。此型題目有時也可轉(zhuǎn)化為后面的法3求解。練習:2對于，恒成立，求實數(shù)m的范圍。分析與解： 原不等式變形為： 即 令 ， ，令， 題意為0在上恒成立。故 或或解得 ： 或或， ，即 的取值范圍為：總結:根據(jù)題目要求，構造二次函數(shù)。結合二次函數(shù)實根分布等相關知

6、識，求出參數(shù)取值范圍。3 分離參數(shù)法對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)⒉坏仁竭M行同解變形，將不等式中的變量和參數(shù)進行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關于參數(shù)的不等式的問題。或在題目中分離出參數(shù)，化成af(x) （afmax(x) （a0且a1,當x(-1，1)時，不等式x2-ax恒成立，則a的取值范圍解析：不等式x2-ax x2-畫出y1= ax,y2= x2-的圖像。由圖可看出 a1或13或x-1。解析：令，或。1.已知方程sin2x4sinx+1a=0有解，則實數(shù)a的取值范圍是A.3，6B.2，6C.3，2D.2，2解析：a

7、=（sinx2）23，|sinx|1，2a6.答案：B4.當x1，2時，不等式ax22x1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是A.a2B.a1C.a0D.a2解析：當x1，2時，x22x1=（x1）222，2.ax22x1恒成立，a2.答案：A5（1）設不等式2x1m(x21)對滿足|m|2的一切實數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍； （2）是否存在m使得不等式2x1m(x21)對滿足|x|2的一切實數(shù)x的取值都成立答案：(1)解：令f(m)2x1m(x21)(1x2)m2x1，可看成是一條直線，且使|m|2的一切實數(shù)都有2x1m(x21)成立。所以，即，即所以，。(2) 令f(x)= 2x1m(x21)= mx2+2x+