空間向量與立體幾何(整章教案)

1、空間向量與立體幾何一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算立體幾何中的向量方法空間向量的加減運(yùn)算空間向量的數(shù)乘運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算共線向量定理共面向量定理空間向量基本定理平行與垂直的條件向量夾角與距離直線的方向向量與平面的法向量用空間向量證平行與垂直問題求空間角求空間距離二考綱要求：（1）空間向量及其運(yùn)算 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程； 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示； 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示； 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。（2）空間向量的應(yīng)

2、用 理解直線的方向向量與平面的法向量； 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系； 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）； 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。三、命題走向本章內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本章是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本章的考查形式為：以客觀題形式考查空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。預(yù)測10年高考對(duì)本章內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用

3、向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。第一課時(shí) 空間向量及其運(yùn)算一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1理解空間向量的概念；掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘； 2了解空間向量的基本定理； 3掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；理解空間向量的夾角的概念；掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律；了解空間向量的數(shù)量積的幾何意義；能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。 二、重難點(diǎn)：理解空間向量的概念；掌握空間向量的運(yùn)算方法三、教學(xué)方法：探析類比歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過程（一）、談最新考綱要求及新課標(biāo)高考命題考查情況，促使積極參與。學(xué)生閱讀復(fù)資P128頁，教師點(diǎn)評(píng)，增強(qiáng)目標(biāo)和參與意識(shí)。（二）、知識(shí)梳理

4、，方法定位。（學(xué)生完成復(fù)資P128頁填空題，教師準(zhǔn)對(duì)問題講評(píng)）。1空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。B CO A說明：由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2向量運(yùn)算和運(yùn)算率加法交換率：加法結(jié)合率：數(shù)乘分配率：說明：引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊

5、形法則在空間仍成立。3平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作。 注意：當(dāng)我們說、共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說、平行時(shí)，也具有同樣的意義。共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（）、，的充要條件是存在實(shí)數(shù)使（1）對(duì)于確定的和，表示空間與平行或共線，長度為 |，當(dāng)>0時(shí)與同向，當(dāng)<0時(shí)與反向的所有向量。（3）若直線l，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo)的表達(dá)式。推論：如果 l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直

6、線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式 其中向量叫做直線l的方向向量。在l上取，則式可化為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則 或叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，是線段AB的中點(diǎn)公式。注意：表示式()、()既是表示式,的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；推論的用途：解決三點(diǎn)共線問題。結(jié)合三角形法則記憶方程。4向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作。注意：向量與直線a的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理 如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使注：與共線向量定理一樣，

7、此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（x, y）是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式。又代入，整理得 由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)P，只要滿足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿足等式、，所以等式、都是由不共線的兩個(gè)向量、（或不共線三點(diǎn)M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。5空間向量基本定理：如果三個(gè)向量、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使說明：

8、由上述定理知，如果三個(gè)向量、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個(gè)集合可看作由向量、生成的，所以我們把，叫做空間的一個(gè)基底，都叫做基向量；空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是。推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使6數(shù)量積（1）夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，則角AOB叫做向量與的夾角，記作ABO（1）說明：規(guī)定0,因而=；如果=，則稱與

9、互相垂直，記作；ABO（2）在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖（1）、（2）中的兩個(gè)向量的夾角不同，圖（1）中AOB=，圖（2）中AOB=,從而有=.（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。（3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。ABl即=，向量:（4）性質(zhì)與運(yùn)算率。=0=（三）典例解析題型1：空間向量的概念及性質(zhì)例1、有以下命題：如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是（ ）。 解析：對(duì)于“如果向

10、量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系一定共線”；所以錯(cuò)誤。正確。題型2：空間向量的基本運(yùn)算例2、如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，則下列向量中與相等的向量是（ ）解析：顯然；答案為A。點(diǎn)評(píng)：類比平面向量表達(dá)平面位置關(guān)系過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力。例3、已知：且不共面.若,求的值.解：,且即又不共面,點(diǎn)評(píng)：空間向量在運(yùn)算時(shí)，注意到如何實(shí)施空間向量共線定理。例4、底面為正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)，求證：AB1平面C1BD.證明：記則

11、,共面.B1平面C1BD, AB1/平面C1BD.（四）強(qiáng)化鞏固導(dǎo)練1、已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)F是側(cè)面CDD1C1的中心，若，求xy的值.解：易求得2、在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是(A )。ABCDA1C1B1A-abc BabcCa-bcD-a-bc3、（2009四川卷理）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè) 棱的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的大是。解析：不妨設(shè)棱長為2，選擇基向量，則，故填寫。（五）、小結(jié)：1立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過向量運(yùn)算來證明對(duì)于垂直，一般是利用aba·b0進(jìn)行證明對(duì)于平行，

12、一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明 2運(yùn)用向量求解距離問題，其一般方法是找出代表相應(yīng)距離的線段所對(duì)向量，然后計(jì)算這個(gè)向量對(duì)應(yīng)的模而計(jì)算過程中只要運(yùn)用好加法法則，就總能利用一個(gè)一個(gè)的向量三角形，將所求向量用有模和夾角的已知向量表示出來，從而求得結(jié)果 3利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時(shí)也很方便其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角，而求兩個(gè)向量的夾角則可以利用公式cos 4異面直線間的距離的向量求法：已知異面直線l1、l2，AB為其公垂線段，C、D分別為l1、l2上的任意一點(diǎn)，為與共線的向量，則.5設(shè)平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)P是平面外一點(diǎn)，且Po，則點(diǎn)P到平面的距離是d

13、.第二課時(shí) 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解空間向量坐標(biāo)的概念；2、掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算； 3掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式二、重難點(diǎn)：掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式三：教學(xué)方法：探析類比歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過程（一）、基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)（學(xué)生完成下列填空題）1、空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個(gè)空間直角坐

14、標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量都叫坐標(biāo)向量通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；2、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)： 在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)3、設(shè)a，b(1) a±b。(2) a(3) a·b(4) ab；ab（5）模長公式：若， 則（6）夾角公式：（7）兩點(diǎn)間的距離公式：若，則(8) 設(shè)則，AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為4、直線的方向向量的定義為 。如何求直線的方向向量？5、平面的法向量的定義為 。如何求平面的法向量？（二）典型題型探析題型1：空間向量的坐標(biāo)例1、

15、（1）已知兩個(gè)非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（）A.：|=：|B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實(shí)數(shù)k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，則x+y的值是（）A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.1（3）下列各組向量共面的是（）A.=(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B.=(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C.=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D.=(1，1，1)，=(1，1，0)，=(

16、1，0，1)解析：（1）D；點(diǎn)撥：由共線向量定線易知；（2）A點(diǎn)撥：由題知或；（3）A點(diǎn)撥：由共面向量基本定理可得。點(diǎn)評(píng)：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考查共線、垂直時(shí)參數(shù)的取值情況。例2、已知空間三點(diǎn)A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。設(shè)=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k2互相垂直，求k的值.思維入門指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果.解：A(2，0，2)，B（1，1，2），C(3，0，4)，=，=，=(1，1，0)，=（1，0，2）.(1)cos=，和的夾角為。(2)k+=k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，

17、2），k2=（k+2，k，4），且(k+)（k2），（k1，k，2）·（k+2，k，4）=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0。則k=或k=2。點(diǎn)撥：第（2）問在解答時(shí)也可以按運(yùn)算律做。（+）(k2)=k22k·22=2k2+k10=0，解得k=，或k=2。題型2：數(shù)量積例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量和的夾角為120°，且|=2，|=5，則（2）·=_.（2）設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中

18、0<，>。解析：（1）答案：13；解析：（2）·=22·=2|2|·|·cos120°=2·42·5（）=13。（2）解：(1)|=|=1，x+y=1，x=y=1.又與的夾角為，·=|cos=.又·=x1+y1，x1+y1=。另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=()21=.x1y1=。(2)cos<，>=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.x1，y1是方程x2x+=0的解.或同理可得或，或cos<，>=·+·

19、;=+=.0<，>，<，>=。評(píng)述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。題型3：空間向量的應(yīng)用例4、（1）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：+4。（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M1（1，-2，1）移到點(diǎn)M2(3，1，2)，求物體合力做的功。解析：（1）設(shè)=(，)，=(1，1，1)，則|=4，|=.·|·|，·=+|·|=4.當(dāng)=時(shí)，即a=b=c=時(shí)，取“=”號(hào)。（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=

20、14。點(diǎn)評(píng)：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，則由·|·|，得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考查|·|·的應(yīng)用，解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量，然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算?？臻g向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)做功問題。（三）、強(qiáng)化鞏固訓(xùn)練1、(07天津理，4)設(shè)、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（·）（·）=|<| （·）（·）不與垂直 （3+2）（32）=9|24|2中，是真命題的有（ ）A.B.C.D.解析：平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故

21、假；答案：D由向量的減法運(yùn)算可知|、|、|恰為一個(gè)三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故真；因?yàn)椋?#183;）（·）·=（·）·（·）·=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=9··4·=9|24|2成立.故真.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。2、已知為原點(diǎn)，向量，求解：設(shè)，即解此方程組，得。（四）、小結(jié)：(1) 共線與共面問題；(2) 平行與垂直問題；(3) 夾角問題；(4) 距離問題；運(yùn)用向量來解決它們有時(shí)會(huì)體現(xiàn)出一定的優(yōu)勢(shì)用空間向量解題的關(guān)鍵步驟是把所求向量用某個(gè)合適的基底表示，

22、本節(jié)主要是用單位正交基底表示，就是適當(dāng)?shù)亟⑵鹂臻g直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，然后進(jìn)行向量與向量的坐標(biāo)運(yùn)算，最后通過向量在數(shù)量上的關(guān)系反映出向量的空間位置關(guān)系，從而使問題得到解決在尋求向量間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，一個(gè)基本的思路是列方程，解方程第三課時(shí) 空間向量及其運(yùn)算強(qiáng)化訓(xùn)練一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2、 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；3、 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；4、通過本課強(qiáng)化訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步熟練理解和掌握上述概念和運(yùn)算方法，提高學(xué)生的靈活和綜合運(yùn)用能力。二、

23、重難點(diǎn)：空間向量及其運(yùn)算的綜合運(yùn)用。三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納。四、教學(xué)過程（一）、基礎(chǔ)自測（分組訓(xùn)練、共同交流）1.有4個(gè)命題：若p=xa+yb，則p與a、b共面；若p與a、b共面，則p=xa+yb；若=x+y，則P、M、A、B共面；若P、M、A、B共面，則=x+y.其中真命題的個(gè)數(shù)是（ B ）。A.1 B.2C.3D.42.下列命題中是真命題的是( D )。A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量B.若|a|=|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C.若向量，滿足|，且與同向，則D.若兩個(gè)非零向量與滿足+=0，則3.若a=(2x,1,3),b=

24、(1,-2y,9),且ab，則（ C）。A.x=1,y=1B.x=，y=-C.x=，y=-D.x=-，y=4.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是. 答案5.在四面體O-ABC中，=a,=b,=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn)，則=(用a,b,c表示). 答案 a+b+c（二）、典例探析例1、如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)=a，=b，=c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量： （1）；（2）；（3）+.解 （1）P是C1D1的中點(diǎn)，=+=a+=a+

25、c+=a+c+b.（2）N是BC的中點(diǎn)，=+=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.（3）M是AA1的中點(diǎn)，=+=+=-a+(a+c+b)=a+b+c，又=+=+=+=c+a，+=(a+b+c)+(a+c)=a+b+c.例2、如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).（1）求證：MNAB，MNCD；（2）求MN的長；（3）求異面直線AN與CM夾角的余弦值.（1）證明 設(shè)=p,=q，=r.由題意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.=-=（+）-=（q+r-p），·=（q+r-p）·

26、p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.MNAB,同理可證MNCD.（2）解由（1）可知=（q+r-p）|2=2=（q+r-p）2=q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）=a2+a2+a2+2（-）=×2a2=.|=a,MN的長為a.(3)解設(shè)向量與的夾角為.=(+)=(q+r),=-=q-p,·=（q+r）·（q-p）=（q2-q·p+r·q-r·p）=(a2-a2·cos60

27、76;+a2·cos60°-a2·cos60°)=（a2-+-）=.又|=|=，·=|·|·cos=··cos=.cos=，向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM夾角的余弦值為.例3、 （1）求與向量a=(2,-1,2)共線且滿足方程a·x=-18的向量x的坐標(biāo)；（2）已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求點(diǎn)P的坐標(biāo)使得=（-）；（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：a·b；a與b夾角的余弦值；確定，的值使得a+b

28、與z軸垂直，且（a+b）·（a+b）=53.解 （1）x與a共線，故可設(shè)x=ka，由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k（）2=9k，9k=-18，故k=-2.x=-2a=（-4，2，-4）.（2）設(shè)P（x，y，z），則=（x-2，y+1，z-2），=（2，6，-3），=（-4，3，1），=（-）.（x-2，y+1，z-2）=（2，6，-3）-（-4，3，1）=（6，3，-4）=(3，-2)，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0).（3）a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21.|a|=5,|

29、b|=,cosa,b= =-.a與b夾角的余弦值為-.取z軸上的單位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.依題意 即故 解得.（三）、強(qiáng)化訓(xùn)練：如圖所示，正四面體VABC的高VD的中點(diǎn)為O，VC的中點(diǎn)為M.（1）求證：AO、BO、CO兩兩垂直；（2）求,.(1)證明 設(shè)=a,=b,=c,正四面體的棱長為1,則=(a+b+c),=(b+c-5a),=(a+c-5b),=(a+b-5c)·=（b+c-5a）·（a+c-5b）=（18a·b-9|a|2）=（18×1×1·cos60°-9）=0.，AOBO，同理AOCO，

30、BOCO，AO、BO、CO兩兩垂直.（2）解=+=-（a+b+c）+c=(-2a-2b+c).|=，|=，·=（-2a-2b+c）·（b+c-5a）=，cos,=，,(0,),=45°.（四）、小結(jié)：本節(jié)主要有空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式，要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類似，具有類似的運(yùn)算法則.一個(gè)向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實(shí)質(zhì)沒有改變.因而運(yùn)算的方法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒變。不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式.空間兩向量平行時(shí)同平面兩向量平行時(shí)表達(dá)式不一樣，但

31、實(shí)質(zhì)是一致的，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為，對(duì)于中點(diǎn)公式要熟記。（五）、補(bǔ)充：1、已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長都等于a,點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則·的值為（ C ）A.a2B.C.D.2、已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C為線段AB上一點(diǎn)，且=，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為( C )A.B.C.D.3、如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°. (1)求AC1的長；（2）求BD1與AC夾角的余弦值.解 記=a，=b，=c，則|a|=|b|=|c|=1，a,b=b,c=c,a=60°,a&#

32、183;b=b·c=c·a=.（1）|2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（a·b+b·c+c·a）=1+1+1+2×(+)=6,|=,即AC1的長為.(2)=b+c-a,=a+b,|=,|=,·=（b+c-a）·（a+b）=b2-a2+a·c+b·c=1.cos,=.AC與BD1夾角的余弦值為.立體幾何中的向量方法-空間夾角和距離一考綱要求：1能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；2能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。二命題走向

33、：空間的夾角和距離問題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本節(jié)的考查主要有以下情況：（1）空間的夾角；（2）空間的距離；（3）空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用。預(yù)測2010年高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考查。第一課時(shí) 空間夾角和距離一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；2能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向

34、量方法在研究幾何問題中的作用。二、重難點(diǎn)：向量法在立體幾何中求空間的夾角和距離應(yīng)用。三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納四、教學(xué)過程（一）、談最新考綱要求及新課程高考命題考查情況，促使積極參與。學(xué)生閱讀復(fù)資132頁，教師講解，增強(qiáng)目標(biāo)與參與意識(shí)。（二）、知識(shí)梳理，方法定位（學(xué)生完成復(fù)資P132頁填空題，教師準(zhǔn)對(duì)問題講評(píng)）1空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。（1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇

35、在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來求角。（2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。DBAC具體步驟如下：找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計(jì)算。注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的

36、夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法棱上一點(diǎn)

37、雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí),如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面

38、角的大小。2空間的距離（1）點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為，過作的垂線，垂足為連，則由三垂線定理可得線段即為點(diǎn)到直線的距離。在直角三角形中求出的長即可。點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的垂線段的長常用求法作出點(diǎn)到平面的垂線后求出垂線段的長；轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)，到斜足的距離，的比為，則點(diǎn)，到平面的距離之比也為特別地，時(shí)，點(diǎn)，到平面的距離相等；體積法（2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長常有求法先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長即可找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的

39、距離找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。（3）直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間為直線上任意一點(diǎn)到平面間的距離。（4）平面與平面間的距離：只存在于兩個(gè)平行平面之間為一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。以上所說的所有距離：點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距都是對(duì)應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。3空間向量的應(yīng)用abEF（1）用法向量求異面直線間的距離如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點(diǎn)Ea，F(xiàn)b，則異面直線 a與b之間的距離是 ；ABC（2）用法向量求點(diǎn)到平面的距

40、離如右圖所示，已知AB是平面的 一條斜線，為平面的法向量，則 A到平面的距離為；（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問題。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問題。（5）用法向量求二面角如圖，有兩個(gè)平面與，分別作這兩個(gè)平面的法向量與，則平面與所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面所成的角，先求這個(gè)平面的法向量與直線a的夾角的余弦，易知

41、=或者。（三）、基礎(chǔ)鞏固導(dǎo)練1、在平行六面體ABCD中，設(shè)，則x+y+z=（A ）A. B. C. D. 2、在正方體ABCD中，M是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點(diǎn)，則異面直線OP與AM所成角的大小為（ C ）A. B. C. D. 與P點(diǎn)位置無關(guān)3、如圖，正方體ABCD中，E、F分別是AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值為（ B ）A. B. C. D. 4、 如圖所示，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE。（1）求證：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大??；（3）求點(diǎn)

42、D到平面ACE的距離。10、（1）略（2）（3） （四）、小結(jié)：本課要求大家理解和掌握運(yùn)用向量法解決立體幾何中：1、線面角的求法：2、二面角的求法：AB，CD分別是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。3、設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。4、異面直線間距離的求法：5、點(diǎn)面距離的求法：6、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。：第二課時(shí) 用向量法求空間夾角熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角；2能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。3、探究題型，掌

43、握解法。二、重難點(diǎn)：向量法在立體幾何中求空間的夾角應(yīng)用。探究題型，掌握解法。三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納四、教學(xué)過程（一）熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析題型1：異面直線所成的角A1B1C1D1ABCDExyz例1、已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)。求：D1E與平面BC1D所成角的大?。ㄓ糜嘞抑当硎荆┙馕觯航⒆鴺?biāo)系如圖，則、，。不難證明為平面BC1D的法向量，。D1E與平面BC1D所成的角的余弦值為。反思?xì)w納：將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。題型2：直線與平面所成的角例2、（09年高考試題）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90

44、76;，側(cè)棱AA12，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。求A1B與平面ABD所成角的大小（結(jié)果用余弦值表示）；GDDA1C1B1CBKxyzAE解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為C，設(shè)CA2a，則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G() ，a1，為平面ABD的法向量，且。A1B與平面ABD所成角的余弦值是。反思?xì)w納：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。題型3：二面角EFO例3、（08年高考）在四棱錐PABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，

45、PAABa，E為BC中點(diǎn)。（1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。解析：（1）延長AB、DE交于點(diǎn)F，則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，PA平面ABCD，ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A，過A作AOPF于O，連結(jié)OD，則AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。易得，故平面PDE與平PAD所成二面角的正切值為；（2）解法1（面積法）如圖ADPA、AB, PAAB=A，DA平面BPA于A, 同時(shí)，BC平面BPA于B，PBA是PCD在平面PBA上的射影, 設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角

46、大小為,cos=SPAB/SPCD=/2 =450。即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45°。解法2（補(bǔ)形化為定義法）如圖：將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形得正方體ABCDPQMN，則PQPA、PD，于是APD是兩面所成二面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD，則APD=45°。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45°。（二）、強(qiáng)化鞏固訓(xùn)練1、（2007年，北京卷高考題）如圖6，正三棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱，D是CB延長線上一點(diǎn)，且。求二面角的大小。（略去了該題的，問）2、（06四川卷）已知球的半徑是1，、三點(diǎn)都在球面上，、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)的球面距離都是，

47、、兩點(diǎn)的球面距離是，則二面角的大小是（ ）（A） （B） （C） （D）1、解析：（1）取BC的中點(diǎn)O，連AO。由題意：平面平面，平面，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖6所示空間直角坐標(biāo)系，則 ， ， ， ，由題意 平面ABD， 為平面ABD的法向量。設(shè) 平面的法向量為 ，則， ， ，即 。 不妨設(shè) ，由，得。 故所求二面角的大小為。評(píng)析：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問題時(shí)的三步曲：“找證求”直接簡化成了一步曲：“計(jì)算”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力，但實(shí)質(zhì)不然，向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神；（2）此法在處理二面角

48、問題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取時(shí)，會(huì)算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角、直角，有時(shí)也為鈍角。所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。2、解析：球的半徑是R=，三點(diǎn)都在球面上，兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的球面距離都是，則AOB，AOC都等于，AB=AC，兩點(diǎn)的球面距離是，BOC=，BC=1，過B做BDAO，垂足為D，連接CD，則CDAD，則BDC是二面角的平面角，BD=CD=，BDC=，二面角的大小是，選C。（三）、小結(jié)：本課要求大家理解和掌握運(yùn)用向量法解決立體幾何中：1、線面角的求法： 2、二面角的求法：AB，CD分別是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。3、設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。教師引導(dǎo)學(xué)生反思?xì)w納回顧，進(jìn)一步深化理解。（第三課時(shí) 用向量法求空間的距離熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的距離；2能用向量方法解決線線、線面、面面的距離的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。3、探究題型，掌握解法。二、重難點(diǎn)：向量法在立體幾何中求空間的距離應(yīng)用。探究題型，掌握解法。三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納四、教學(xué)過程ABCDOS圖2（一）熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析題型1：異面直線間的距