知識點六重積分

1、1 二重積分（1） 求二重積分的一般步驟為 畫出積分區(qū)域的草圖，并寫出積分域； 根據(jù)積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.一般地，當(dāng)二重積分的被積函數(shù)等因子時，以及積分域為以原點為中心的圓域、扇域，或過原點而中心在坐標(biāo)軸上的圓域，利用極坐標(biāo)來計算往往會更加簡便； 根據(jù)積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點選取適當(dāng)?shù)姆e分次序.二重積分化為二次積分（也稱累次積分）后，其本質(zhì)是進行二次定積分的計算，對先積分的變量求定積分時，后積分的變量應(yīng)視為一個常數(shù).直角坐標(biāo)系下定限口訣可歸納為：后積先定限，上限與下限，均應(yīng)為常限；限內(nèi)劃條線，先交下限寫，后交上限見. （2）注意根據(jù)積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡化積分

2、計算. 如果關(guān)于軸對稱，為的奇（偶）函數(shù)，則其中為中的部分. 如果關(guān)于軸對稱，為的奇（偶）函數(shù)，則其中為中的部分. 如果關(guān)于原點對稱，為的奇（偶）函數(shù)，則其中為中的部分，也可為中的部分. 如果關(guān)于直線對稱，則 . （3）被積函數(shù)為分段函數(shù)（包括絕對值函數(shù)、取極值函數(shù)）時，要利用積分區(qū)域的可加性，正確劃分積分區(qū)域，以確定被積函數(shù)的表達式.2三重積分（1）計算三重積分注意選擇積分順序問題：“先單后重”與“先重后單”積分法.回顧化成累次積分的順序是先對某一個變量，例如 ，做一次單積分，然后再做關(guān)于另外兩個變量與 的一個二重積分，即 其實，上式中的二重積分與單積分的次序是可以交換的，即可把它寫成 其中

3、是把暫時固定，過點且垂直于z軸的平面截域所得到的截面域.對后一個等式我們可以這樣來理解，把等式的左端看作是以 為密度的物質(zhì)立體的質(zhì)量，右端看作是把物質(zhì)立體切成薄片，然后把所有薄片的質(zhì)量相加.（2）根據(jù)積分域和被積函數(shù)的特點選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.一般地，下列情形適用柱面坐標(biāo)求三重積分：積分域的邊界為圓柱面、圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面或投影域D為圓域，被積函數(shù)含有的因子.而若積分域的邊界為球面或圓錐面，則利用球面坐標(biāo)求三重積比較方便 .但要記?。?化為柱面坐標(biāo)時，要把換成，； 化為球面坐標(biāo)時，要把換成，. （3）注意利用區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算三重積分. 設(shè)在有界閉區(qū)域連續(xù)，若關(guān)于平面對稱（），則其中. 若關(guān)于平面（或）平面，關(guān)于（或）為奇函數(shù)或偶函數(shù)有類似的結(jié)果.3. 重積分的應(yīng)用 （1）幾何方面的應(yīng)用 求幾何體的體積 ，或. 曲面的面積設(shè)曲面的方程為，則曲面的面積 . 其中曲面的面積元素. （2）物理方面的應(yīng)用求質(zhì)量 平面薄片的質(zhì)量其中是平面薄片在點的面密度. 空間非均勻密度物體的質(zhì)量為其中是非均勻物體在點處的密度. 求重心平面薄片的重心坐標(biāo)為其中是平面薄片在點的面密度. 空間物體的重心其中是非均勻物體在點處的密度， 求轉(zhuǎn)動慣量 平面薄片軸和