考研數(shù)學(xué)真題

1、2004年考碩數(shù)學(xué)（二）真題評注一. 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上. ）（1）設(shè), 則的間斷點為 0 .【分析】本題屬于確定由極限定義的函數(shù)的連續(xù)性與間斷點.對不同的,先用求極限的方法得出的表達式, 再討論的間斷點.【詳解】顯然當時,; 當時, ,所以 ,因為 故 為的間斷點. 【評注】本題為常規(guī)題型,類似例題見題型集粹與練習(xí)題集P21【例1.36】（2）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為.【分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性，先用由 定義的 求出二階導(dǎo)數(shù),再由 確定的取值范圍.【詳解】 , ,令 .又 單調(diào)增, 在 時, 。(時，時

2、，曲線凸.)【評注】本題屬新題型.已考過的題型有求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù), 如1989、1991、1994、2003數(shù)二考題，也考過函數(shù)的凹凸性.關(guān)于參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)是文登考研輔導(dǎo)班強調(diào)的重點, 類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P53一般方法及【例2.9】和臨考演習(xí)P86【題（10）】.（3）.【分析】利用變量代換法和形式上的牛頓萊布尼茲公式可得所求的廣義積分值.【詳解1】 .【詳解2】 .【評注】本題為混合廣義積分的基本計算題,主要考查廣義積分(或定積分)的換元積分法,完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P130-131【例4.54】.（4）設(shè)函數(shù)由方程確定, 則.【分析】此題可利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法

3、、公式法或全微分公式求解.【詳解1】在 的兩邊分別對,求偏導(dǎo),為的函數(shù). , ,從而 , 所以 【詳解2】令 則 , , , ,從而 【詳解3】利用全微分公式,得 即 , 從而 【評注】此題屬于典型的隱函數(shù)求偏導(dǎo).相似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P282【習(xí)題十第2,4題】.（5）微分方程滿足的特解為.【分析】此題為一階線性方程的初值問題.可以利用常數(shù)變易法或公式法求出方程的通解,再利用初值條件確定通解中的任意常數(shù)而得特解.【詳解1】原方程變形為 ,先求齊次方程 的通解: 積分得 設(shè)為非齊次方程的通解,代入方程得 從而 , 積分得 ,于是非齊次方程的通解為 ,故所求通解為 .【詳解2】原方程變形為 ,

4、由一階線性方程通解公式得 ,從而所求的解為 .【評注】此題為求解一階線性方程的常規(guī)題,相似的例題見臨考演習(xí)P62【16題第一問】.（6）設(shè)矩陣, 矩陣滿足, 其中為的伴隨矩陣, 是單位矩陣, 則.【分析】利用伴隨矩陣的性質(zhì)及矩陣乘積的行列式性質(zhì)求行列式的值.【詳解1】 , , , .【詳解2】由,得 【評注】此題是由矩陣方程及矩陣的運算法則求行列式值的一般題型,考點是伴隨矩陣的性質(zhì)和矩陣乘積的行列式. 相似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P387-888【例2.18】,只需將例中互換.類似例子還可見臨考演習(xí)P48【題(6)】和P66【題(6)】.二. 選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題

5、給出的四個選項中，只有一項符合題目要求, 把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi). ）（7）把時的無窮小量, , 排列起來, 使排在后面的是前一個的高階無窮小, 則正確的排列次序是（A） （B）（C） （D） 【分析】對與變限積分有關(guān)的極限問題，一般可利用洛必塔法則實現(xiàn)對變限積分的求導(dǎo)并結(jié)合無窮小代換求解.【詳解】 ,即 .又 ,即 .從而按要求排列的順序為, 故選（B）.【評注】此題為比較由變限積分定義的無窮小階的常規(guī)題,類似例題見臨考演習(xí)P73【題(7)】.（8）設(shè), 則（A）是的極值點, 但不是曲線的拐點.（B）不是的極值點, 但是曲線的拐點.（C）是的極值點, 且是曲線的拐點.（D）不是的極

6、值點, 也不是曲線的拐點. 【分析】求分段函數(shù)的極值點與拐點， 按要求只需討論兩方, 的符號.【詳解】 , , ,從而時, 凹, 時, 凸, 于是為拐點.又, 時, , 從而為極小值點.所以, 是極值點, 是曲線的拐點, 故選（C）.【評注】此題是判定分段函數(shù)的極值點與拐點的常規(guī)題目, 類似的題目見文登學(xué)校數(shù)學(xué)考研串講班資料.（9）等于（A）. （B）.（C）. （D） 【分析】將原極限變型，使其對應(yīng)一函數(shù)在一區(qū)間上的積分和式。作變換后,從四個選項中選出正確的.【詳解】 故選（B）.【評注】此題是將無窮和式的極限化為定積分的題型，值得注意的是化為定積分后還必須作一變換,才能化為四選項之一.類似

7、例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P36-37【例1.59】.（10）設(shè)函數(shù)連續(xù), 且, 則存在, 使得（A）在內(nèi)單調(diào)增加.（B）在內(nèi)單調(diào)減小.（C）對任意的有.（D）對任意的有. 【分析】可借助于導(dǎo)數(shù)的定義及極限的性質(zhì)討論函數(shù)在附近的局部性質(zhì).【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知 ,由極限的性質(zhì), , 使時, 有 即時, ， 時, ,故選（C）.【評注】此題是利用導(dǎo)數(shù)的定義和極限的性質(zhì)討論抽象函數(shù)在某一點附近的性質(zhì). 完全類似的題目見臨考演習(xí)P41【題(13)】.（11）微分方程的特解形式可設(shè)為（A）.（B）.（C）.（D） 【分析】利用待定系數(shù)法確定二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形式.【詳解】對應(yīng)齊次方程 的特征方程為

8、 ,特征根為 ,對 而言, 因0不是特征根, 從而其特解形式可設(shè)為 對 , 因為特征根, 從而其特解形式可設(shè)為 從而 的特解形式可設(shè)為 【評注】這是一道求二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的典型題，此題的考點是二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)及非齊次方程特解的形式. 一般結(jié)論見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P165【表6-4】.（12）設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于（A）.（B）.（C）.（D） 【分析】將二重積分化為累次積分的方法是:先畫出積分區(qū)域的示意圖,再選擇直角坐標系和極坐標系,并在兩種坐標系下化為累次積分.【詳解】積分區(qū)域見圖.在直角坐標系下, 故應(yīng)排除（A）、（B）.在極坐標系下, , ,故應(yīng)選（D）.【評注】此

9、題是將二重積分化為累次積分的常規(guī)題,關(guān)鍵在于確定累次積分的積分限. 類似例題見臨考演習(xí)P54【題(7)】.（13）設(shè)是3階方陣, 將的第1列與第2列交換得, 再把的第2列加到第3列得, 則滿足的可逆矩陣為（A）. （B）. （C）. （D）. 【分析】根據(jù)矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系，對題中給出的行（列）變換通過左(右)乘一相應(yīng)的初等矩陣來實現(xiàn).【詳解】由題意 , , ,從而 ,故選（D）.【評注】此題的考點是初等變換與初等矩陣的關(guān)系,抽象矩陣的行列初等變換可通過左、右乘相應(yīng)的初等矩陣來實現(xiàn).類似的題目見題型集粹與練習(xí)題集P197【例2.2】.（14）設(shè),為滿足的任意兩個非零矩陣, 則必

10、有（A）的列向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).（B）的列向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān).（C）的行向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).（D）的行向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān). 【分析】將寫成行矩陣, 可討論列向量組的線性相關(guān)性.將寫成列矩陣, 可討論行向量組的線性相關(guān)性.【詳解】設(shè) , 記 （1）由于, 所以至少有一 (),從而由（1）知, ,于是 線性相關(guān).又記 , 則 由于,則至少存在一 (),使 ,從而 線性相關(guān),故應(yīng)選（A）.【評注】此題的考點是分塊矩陣和向量組的線性相關(guān)性，此題也可以利用齊次線性方程組的理論求解. 類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P411【例3.12】.三. 解答題

11、（本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. ）（15）（本題滿分10分）求極限.【分析】此極限屬于型未定式.可利用羅必塔法則,并結(jié)合無窮小代換求解.【詳解1】 原式 【詳解2】 原式 【評注】此題為求未定式極限的常見題型.在求極限時,要注意將羅必塔法則和無窮小代換結(jié)合,以簡化運算，類似的例題見題型集粹與練習(xí)題集P12【例1.23】及文登考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班例題. （16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在（）上有定義, 在區(qū)間上, , 若對任意的都滿足, 其中為常數(shù).()寫出在上的表達式;()問為何值時, 在處可導(dǎo).【分析】分段函數(shù)在分段點的可導(dǎo)性只能用導(dǎo)數(shù)定義討論.【詳解】()

12、當,即時, .()由題設(shè)知 . .令, 得.即當時, 在處可導(dǎo).【評注】此題的考點是用定義討論分段函數(shù)的可導(dǎo)性,完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P49【例2.3】.（17）（本題滿分11分）設(shè),()證明是以為周期的周期函數(shù);()求的值域.【分析】利用變量代換討論變限積分定義的函數(shù)的周期性,利用求函數(shù)最值的方法討論函數(shù)的值域.【詳解】 () ,設(shè), 則有 ,故是以為周期的周期函數(shù).()因為在上連續(xù)且周期為, 故只需在上討論其值域. 因為 ,令, 得, , 且 , ,又 , ,的最小值是, 最大值是, 故的值域是.【評注】此題的討論分兩部分:(1)證明定積分等式,常用的方法是變量代換, 類似的題目見數(shù)

13、學(xué)復(fù)習(xí)指南P113【例4.31】.(2)求變上限積分的最值, 其方法與一般函數(shù)的最值相同, 類似的例題見題型集粹與練習(xí)題集P55【例4.7】.（18）（本題滿分12分）曲線與直線及圍成一曲邊梯形. 該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體, 其體積為, 側(cè)面積為, 在處的底面積為.()求的值;()計算極限.【分析】用定積分表示旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積，二者及截面積都是的函數(shù),然后計算它們之間的關(guān)系.【詳解】 () , , .(), 【評注】在 固定時,此題屬于利用定積分表示旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積的題型,考點是定積分幾何應(yīng)用的公式和羅必塔求與變限積分有關(guān)的極限問題.具體作法見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P196-198.（1

14、9）（本題滿分12分）設(shè), 證明.【分析】文字不等式可以借助于函數(shù)不等式的證明方法來證明,常用函數(shù)不等式的證明方法主要有單調(diào)性、極值和最值法等.【詳證1】設(shè), 則 ,所以當時, , 故單調(diào)減小, 從而當時, ,即當時, 單調(diào)增加.因此, 當時, , 即 故 .【詳證2】設(shè), 則 ,時, , 從而當時, ,時, 單調(diào)增加.時, 。令有即 . 【詳證3】證 對函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日定理, 得 , .設(shè), 則,當時, , 所以單調(diào)減小,從而, 即 ,故 【評注】此題是文字不等式的證明題型.由于不能直接利用中值定理證明,所以常用的方法是將文字不等式化為函數(shù)不等式,然后借助函數(shù)不等式的證明方法加以證明.

15、類似的例題見題型集粹與練習(xí)題集P87【例6.3】.（20）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時,為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現(xiàn)有一質(zhì)量為的飛機,著陸時的水平速度為.經(jīng)測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數(shù)為).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少? 注 表示千克,表示千米/小時.【分析】本題屬物理應(yīng)用.已知加速度或力求運動方程是質(zhì)點運動學(xué)中一類重要的計算,可利用牛頓第二定律,建立微分方程,再求解.【詳解1】由題設(shè),飛機的質(zhì)量,著陸時的水平速度.從飛機接觸跑道開始記時,設(shè)時刻飛機的滑行距離為,速度為. 根

16、據(jù)牛頓第二定律,得 .又 , ,積分得 ,由于, 故得, 從而 .當時, .所以,飛機滑行的最長距離為.【詳解2】根據(jù)牛頓第二定律,得 .所以 ,兩邊積分得 ,代入初始條件 , 得, ,故飛機滑行的最長距離為 .【詳解3】根據(jù)牛頓第二定律,得 ,其特征方程為 ,解得, ，故 ，由, ，得，.當時, .所以,飛機滑行的最長距離為.【評注】此題的考點是由物理問題建立微分方程,并進一步求解.完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P174【例6.24】、題型集粹與練習(xí)題集P182【例12.19】.（21）（本題滿分10分）設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求.【分析】利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)和混合偏導(dǎo)的方法直接計算.【詳解

17、】 , , .【評注】此題屬求抽象復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的常規(guī)題型. 類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P269【例10.18】.（22）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組試問取何值時, 該方程組有非零解, 并求出其通解.【分析】此題為求含參數(shù)齊次線性方程組的解.由系數(shù)行列式為0確定參數(shù)的取值,進而求方程組的非零解.【詳解1】對方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換, 有 當時, , 故方程組有非零解, 其同解方程組為 .由此得基礎(chǔ)解系為 , , ,于是所求方程組的通解為 , 其中為任意常數(shù).當時, 當時, , 故方程組也有非零解, 其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ,所以所求方程組的通解為 , 其中為任意常數(shù).【詳解2】方程組的系數(shù)行列式.當, 即或時, 方程組有非零解.當時, 對系數(shù)矩陣作初等行變換, 有故方程組的同解方程組為 .其基礎(chǔ)解系為 , , ,于是所求方程組的通解為 , 其中為任意常數(shù).當時, 對作初等行變換, 有 故方程組的同解方程組為 其基礎(chǔ)解系為,所以所求方程組的通解為, 其中為任意常數(shù)【評注】解此題的方法是先根據(jù)齊次方程有非零解的條件確定方程組中的參數(shù),再對求得的參數(shù)對應(yīng)的方程組求解. 類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P435【例4.4】.（23）（本題滿分9分）設(shè)矩陣的特征方程有一個二重根, 求的值, 并討論是否可相似對角化.【分析】由矩陣特征根的定義確定的值，由線性無關(guān)特征向量的個數(shù)與