平面向量與三角形三心

1、向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯、四心的概念介紹1重心中線的交點：重心將中線長度分成2 : 1 ；2垂心一一高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；3內(nèi)心一一角平分線的交點 內(nèi)切圓的圓心：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等;4外心一一中垂線的交點外接圓的圓心 ：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合1OA OB OC 0 O 是 ABC 的重心.證法 1 設(shè) Ox, y,人,%弋匕2, y2,CX3，y3X1X2X3OA OB OC 0(XiX) (X2 X) (X3 x)(yi y) (y2y) (y3y) 0%y2y33O是ABC的重心.證法2:如圖OA OB OCOA 2

2、OD 0AO 2ODA、0、D三點共線，且O分AD為2： 1O是ABC的重心2OA OB OB OC OC OAO為ABC的垂心.BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OA OBOB OCOB(OA OC) OB CA 0OBAC同理OABC，OCABO為ABC的垂心證明：如下列圖 O是三角形ABC的垂心,3設(shè)a, b , c是三角形的三條邊長， O是 ABC的內(nèi)心aOA bOB cOC 0 O 為 ABC 的內(nèi)心.1IAB AC證明：、分別為AB AC方向上的單位向量,c bABAC平分BACcb“ ABAC人bcAO(-，令cba b c be r AB AC AO)a b e e b

3、化簡得(a b e)OA bAB eACaOA bOB eOC 0|OAOBOCO為ABC的外心。典型例題分析例題點 G是也ABC內(nèi)任意一點，點M是也ABC G點可能通過也ABC的心.(填“內(nèi)心或“外心或“重心或“垂心).提出問題AB AC(1)假設(shè)存在常數(shù)，滿足MG MA (-一一 )(0),那么點G可能通過|ab| |ac|込ABC的. 假設(shè)點D是込ABC的底邊BC上的中點，滿足G»gB GDGC ,那么點G可能通ABAC0),那么點G可)(八AB *sin BACsin C( ABAC )(0),那么點G可('|ABcos BAC*eosC過企ABC的.(3)假設(shè)存在常

4、數(shù) ，滿足MG MA能通過乜ABC的.(4)假設(shè)存在常數(shù)，滿足MG MA能通過乜ABC的.思路分析以上四個問題的解決要求不同，除了熟悉三角形的“四心的性質(zhì) 同時更要熟悉平面向量的性質(zhì)，對于平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合也要相當(dāng)熟悉.AB - ac 解答過程(1)記円 6，円 2,那么AG (e 62).由平面向量的平行四邊|ab|ac形或三角形法那么知，點G是角平分線上的點，故應(yīng)填內(nèi)心. 簡單的變形后發(fā)現(xiàn)點G是BC邊中垂線上的點，故應(yīng)填外心.(3)：ABsi nB AC-si nC, 記 AB *si nB AC *s inC h ,那么AG '(AB AC)(').由平面向量的平行

5、四邊形或三角形法那么知，點G是 hBC邊的中線上的點，故應(yīng)填重心.(4) MGMA (ABAC)(AB pos BAC *cosC0),得AGABAB cos BAC)(AC icosC0),關(guān)鍵點AG -BCABACAGBC于是ABcos BAC *cosC BC( 0)AB-BCACBCIab|posB)(0)cosC(Bc pos( -B) Bc posB)=從而AG BC,點G是高線上的點，故應(yīng)填垂心.點評以上四個問題處理的方法各不相同，注意到平面向量及三角形的“四心 的性質(zhì)在解答問題時的作用特別注意第四問兩邊同乘以某個表達(dá)式的技巧總結(jié):1OA OB OC 0 O 是 ABC 的重心.

6、2OA OB OB OC OC OA O 為 ABC 的垂心.3設(shè)a, b , c是三角形的三條邊長， O是 ABC的內(nèi)心aOA bOB cOC 0 O 為 ABC 的內(nèi)心.4|oaOB |OCO為ABC的外心?；蛘呒僭O(shè)P點為ABC內(nèi)任意一點，假設(shè)P點滿足:APA.),P為乙ABC的內(nèi)心；BPt(iBA BC), t I BABC2. D、E兩點分別是色ABC的邊BC、CA上的中點，且DP *PBDP PCP為邑ABC的外心；EP*PCEPPAAP3.BP1 (AB31 一(BA3AC),BC),P為也ABC的重心；4.AP*BC 0P為汪ABC的垂心.BPAC 0結(jié)合運(yùn)用:OP例1:O是平面

7、上一定OA(AbAC),A.外心分析：如卜圖ABC ,ABAC2ADOPOA2 ADOPOAAPAP2 ADAP/AD占P八、1'的軌跡疋通過占八、-0,A、B、C是平面上不共線的三個點，動點，那么點P的軌跡一定通過 ABC的B .D、E分別為邊BC、AC的中內(nèi)心C.重心ABC的重心，即選C .例2 : O是平面上一定點,A、OPOA(AB AC)(AB AC)，A .外心B.內(nèi)心0,分析:OPP滿足D.垂心B、C是平面上不共線的三個點，動點，那么點P的軌跡一定通過 ABC的C.重心D.垂心P滿足AB ACAB、AC分別為ABAC方向上的單位向量,AB AC平分陀點P的軌跡一定通過 A

8、BC的內(nèi)心,即選B.OAO是平面上一定點,A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足ABACAB cosBA .外心)，AC cosCB .內(nèi)心0,，那么點P的軌跡一定通過ABC的C.重心D .垂心ABAB cosBACAC cosC)BCAB BCAB cosBAC BCAC cosCAB BC cosBAC|BCcosCACcosCBC + BC =0點P的軌跡一定通過 ABC的垂心，即選 D .練習(xí):ABC三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P，滿足PAPB PC0,假設(shè)實數(shù)滿足：AB AC AP，貝U 的值為3A . 2B.C. 3D. 62O,半徑為 1,0A OB OC0，那么 OA

9、OB (1A.-2B. 0C. 12假設(shè) ABC的外接圓的圓心為3 點O在 ABC內(nèi)部且滿足OA 2OB2OC0,那么 ABC面積與凹四邊形ABOC面積之比是3B.-25C.44.ABC的外接圓的圓心為假設(shè)OHOAOBOC ,那么H是ABC的A .外心內(nèi)心C.重心D .垂心5.O是平面上一定點,2 2 2B、C是平面上不共線的三個點， 假設(shè)OA BC OB2CA2 2OC AB，那么O是ABC 的 A .外心B .內(nèi)心C.重心D .垂心6.ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點為H ,0H m(OA OB OC),那么實數(shù)且AB 竽=2 ,那么厶ABC為 |AB | |AC|非零向量 AB與AC滿足CAB +竽 ) BC=0|AB| |AC|( )